« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions
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== Exercice |
== Exercice 3-1== |
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Soit <math>A\in\operatorname M_n(\Complex)</math>. Montrer que [[Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice|son exponentielle]] est un [[Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes|polynôme en <math>A</math>]] ou plus généralement, que <math>f(A)\in\Complex[A]</math> pour toute [[Fonctions d'une variable complexe|fonction <math>f</math> d'une variable complexe]] développable en [[série entière]] en <math>0</math>, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Continuité des applications linéaires|norme subordonnée]] de <math>A</math> (pour une norme arbitraire fixée sur <math>\Complex^n</math>). |
Soit <math>A\in\operatorname M_n(\Complex)</math>. Montrer que [[Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice|son exponentielle]] est un [[Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes|polynôme en <math>A</math>]] ou plus généralement, que <math>f(A)\in\Complex[A]</math> pour toute [[Fonctions d'une variable complexe|fonction <math>f</math> d'une variable complexe]] développable en [[série entière]] en <math>0</math>, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Continuité des applications linéaires|norme subordonnée]] de <math>A</math> (pour une norme arbitraire fixée sur <math>\Complex^n</math>). |
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== Exercice |
== Exercice 3-2 : Densité de GL{{ind|''n''}}== |
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Soit <math>K=\R</math> ou <math>\Complex</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> des matrices inversibles est dense. |
Soit <math>K=\R</math> ou <math>\Complex</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> des matrices inversibles est dense. |
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== Exercice 2-3 : quelques normes sur <math>\R^2</math>== |
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#Représenter graphiquement les boules unité de <math>\R^2</math> muni respectivement des normes |
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#:<math>\|(x,y)\|_1=|x|+|y|,\quad\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}\quad\text{et}\quad\|(x,y)\|_\infty=\max(|x|,|y|)</math>. |
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#Montrer que ces normes sont équivalentes en explicitant les constantes associées. |
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#On considère l'application linéaire <math>u:(\R^2,\|\cdot\|_2)\to(\R^2,\|\cdot\|_2)</math> définie par <math>u(x,y)=(x+y,x-y)</math>. Calculer la norme d'opérateur <math>|\!|\!|u|\!|\!|</math> associée. |
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#Même question en remplaçant <math>\|\cdot\|_2</math> par les deux autres normes ci-dessus. |
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#[[File:Vector norms2.svg|thumb|left|Les cercles unité (en gras) associés aux trois normes.]]{{clr}} |
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#La figure montre que <math>\|(x,y)\|_1\ge\|(x,y)\|_2\ge\|(x,y)\|_\infty</math>, avec égalités si <math>\{|x|,|y|\}=\{0,1\}</math>, et que <math>\|(x,y)\|_\infty\ge\frac12\|(x,y)\|_1</math>, avec égalité si <math>\{|x|,|y|\}=\{1,1\}</math>.<br>Il est très facile de redémontrer directement ces trois inégalités (et les cas d'égalité).<br>Pour la comparaison entre <math>\|\cdot\|_1</math> et <math>\|\cdot\|_\infty</math>, on a même trouvé les constantes optimales : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_1\le2\|(x,y)\|_\infty</math>. On les trouve de même pour les deux autres paires (en dilatant l'une des deux boules jusqu'à contenir l'autre) : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_2\le\sqrt2\|(x,y)\|_\infty</math> et <math>\|(x,y)\|_2\le\|(x,y)\|_1\le\sqrt2\|(x,y)\|_2</math>.<br>Plus généralement, sur <math>\R^n</math>, on a <math>1\le r\le p\le\infty\Rightarrow\|\cdot\|_p\le\|\cdot\|_r\le n^{\frac1r-\frac1p}\|\cdot\|_p</math>, la seconde inégalité se déduisant de l'[[Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen#Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder|inégalité de Hölder]]. |
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#<math>u</math> est une [[similitude]] directe de rapport <math>\sqrt2</math> donc <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\sqrt2</math> |
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#*Pour <math>\|\cdot\|_\infty</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\max_{|x|,|y|\le1}\max(|x+y|,|x-y|)=\max_{0\le s,t\le1}(s+t)=2</math>. |
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#*Pour <math>\|\cdot\|_1</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\max_{|x|+|y|\le1}(|x+y|+|x-y|)=\max_{0\le t\le s,\;s+t\le1}(s+t+s-t)=2</math>. |
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== Exercice 2-4 : quelques normes sur les polynômes == |
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#Montrer que les applications suivantes sont des normes sur l'espace <math>\R[X]</math> des polynômes réels : |
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#*<math>P\mapsto\|P\|_1=\int_0^1|P(t)|\;\mathrm dt</math> ; |
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#*<math>P\mapsto|P(0)|+\|P'\|_1</math> ; |
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#*<math>P\mapsto\|P\|_\infty=\sup\{|P(t)|\mid t\in[0,1]\}</math>. |
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#Soient <math>x_0,\dots,x_n</math>, <math>n+1</math> nombres réels distincts. Montrer que pour tout <math>p\in\left[1,+\infty\right]</math>, l'application suivante est une norme sur le sous-espace <math>\R_n[X]</math> des polynômes de degré au plus <math>n</math> : |
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#:<math>P\mapsto\|\left(P(x_0),\dots,P(x_n)\right)\|_p</math>, où <math>\|\cdot\|_p</math> est la norme <math>\ell^p</math> sur <math>\R^{n+1}</math>. |
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#Montrer que pour tout <math>n\in\N</math>, il existe une constante <math>C_n</math> (qu'on ne demande pas d'expliciter) telle que : |
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#:<math>\forall P\in\R_n[X]\quad\|P\|_\infty\le C_n\|P\|_1</math>. |
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#Est-ce encore vrai sur <math>\R[X]</math> ? (On pourra considérer la suite des polynômes <math>X^n</math>.) |
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#*<math>\|\cdot\|_1</math> est même une norme sur l'espace des fonctions [[Intégration (mathématiques)|intégrables]] de <math>\left[0,1\right]</math> dans <math>\R</math>, dont <math>\R[X]</math> s'identifie à un sous-espace. |
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#*<math>P\mapsto|P(0)|+\|P'\|_1</math> est une semi-norme (c'est-à-dire qu'elle est positivement homogène et sous-additive) car les deux applications dont elle est la somme sont semi-normes. En effet, plus généralement, la composée d'une semi-norme et d'une application linéaire est une semi-norme. De plus, si <math>|P(0)|+\|P'\|_1=0</math> alors <math>P(0)=0</math> et <math>P'=0</math> donc <math>P=P(0)=0</math>. |
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#*<math>\|\cdot\|_\infty</math> est même une norme sur l'espace des fonctions bornées de <math>\left[0,1\right]</math> dans <math>\R</math>. En effet, c'est une semi-norme (comme sup d'une famille d'applications qui, par le principe général énoncé au point précédent, sont des semi-normes) et elle ne s'annule qu'en 0. |
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#C'est une semi-norme (toujours par le même principe général) et elle ne s'annule qu'en 0, car si <math>P\in\R_n[X]</math> a <math>n+1</math> racines distinctes alors <math>P=0</math>. |
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#Sur <math>\R_n[X]</math>, toutes les normes sont équivalentes. |
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#Non car <math>\|X^n\|_\infty=1</math> tandis que <math>\|X^n\|_1=\frac1{n+1}</math>. |
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== Exercice |
== Exercice 3-3 : Extrema d'une fonction continue == |
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Soit <math>f:\R^n\to\R</math> une application continue, admettant à l'infini une limite <math>L</math> (finie ou infinie) : |
Soit <math>f:\R^n\to\R</math> une application continue, admettant à l'infini une limite <math>L</math> (finie ou infinie) : |
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:<math>\lim_{\|x\|\to+\infty}f(x)=L\in\left[-\infty,+\infty\right]</math>. |
:<math>\lim_{\|x\|\to+\infty}f(x)=L\in\left[-\infty,+\infty\right]</math>. |
Version du 17 avril 2019 à 13:10
Exercice 3-1
Soit . Montrer que son exponentielle est un polynôme en ou plus généralement, que pour toute fonction d'une variable complexe développable en série entière en , avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de (pour une norme arbitraire fixée sur ).
Par définition, est une limite de polynômes en (les sommes partielles de la série entière). Puisque est de dimension finie, le sous-espace vectoriel est fermé.
Exercice 3-2 : Densité de GLn
Soit ou . Démontrer que dans (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble des matrices inversibles est dense.
Soit . Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe tel que pour tout entier , , ce qui prouve que est adhérent à .
Exercice 3-3 : Extrema d'une fonction continue
Soit une application continue, admettant à l'infini une limite (finie ou infinie) :
- .
On pose et (donc ).
- Montrer que si , alors la valeur est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
- En déduire que (sans cette hypothèse) admet un extremum.
- En déduire également que si est finie, alors est bornée.
(Ceci généralise les exercices 3 et (en partie) 2 de Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité.)
- Soit strictement compris entre et . Puisque , on a pour tout de norme suffisamment grande, disons supérieure à un certain réel . Puisque , est aussi la borne inférieure de restreinte à la boule fermée . Puisque cette boule est compacte et que est continue, cette borne inférieure est atteinte.
- Si alors a un minimum. De même, si alors a un maximum (en raisonnant sur ). Enfin, si alors est constante.
- D'après la question 1, si alors . Si (supposée finie), on a aussi . Donc est minorée. On démontre de même (ou on le déduit en remplaçant par ) que est majorée.