« Fonctions d'une variable complexe/Théorèmes de Liouville et de Weierstrass » : différence entre les versions
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Les fonctions entières sont les fonctions qui sont holomorphes sur <math>\ |
Les fonctions entières sont les fonctions qui sont holomorphes sur <math>\Complex</math> telles que l'exponentielle complexe,les fonctions polynômes, les fonctions sinus et cosinus ainsi que les fonctions hyperboliques. Comme nous le verrons au prochain chapitre, ces fonctions sont des cas particuliers des fonctions analytiques ,c'est-à-dire des fonctions développables en série au voisinage d'un point de <math>\Complex</math>. |
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== Théorème de Liouville == |
== Théorème de Liouville == |
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Ce théorème permet de déterminer les fonctions holomorphes sur <math>\ |
Ce théorème permet de déterminer les fonctions holomorphes sur <math>\Complex</math> qui sont polynomiales, il permet aussi de montrer le théorème fondamental de l'algèbre avec une remarquable simplicité. |
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Si <math> f</math> est holomorphe dans <math>\Complex</math> et s'il existe <math>N \in \N</math> et <math>C>0</math> tels que: <math>|f(z)|\leq C(1+|z|)^N\; \; \forall z \in \Complex</math>, |
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alors <math>f</math> est un polynôme de degré inférieur ou égal à <math>N</math>. |
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== Principe du (module) maximum == |
== Principe du (module) maximum == |
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Ce théorème énonce qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de <math>\ |
Ce théorème énonce qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de <math>\Complex</math> dont le module admet un maximum local dans cet ouvert est constante. |
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Il indique aussi que le module d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe réalise sa borne supérieure sur la frontière de l'adhérence de cet ouvert connexe. |
Il indique aussi que le module d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe réalise sa borne supérieure sur la frontière de l'adhérence de cet ouvert connexe. |
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*Si <math>f</math> est holomorphe sur l'ouvert <math>\Omega \subset \ |
*Si <math>f</math> est holomorphe sur l'ouvert <math>\Omega \subset \Complex</math> connexe et s'il existe <math>z_0\in \Omega</math> tel que <math>|f(z_0)|\ge|f(z)| \; \; \forall z</math> dans un voisinage de <math>z_0</math> (<math>|f|</math> admet un maximum local dans <math>\Omega</math>) alors <math>f</math> est constante dans <math>\Omega</math>. |
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*Si l'ouvert <math>\Omega </math> est borné et <math>f</math> dans <math>\Omega</math> et continue dans <math>\overline\Omega</math> (<math>\overline\Omega</math> désignant l'adhérence de <math>\Omega</math>) alors <math>\sup_{\overline\Omega}|f|=\sup_{\partial \Omega} |f|</math>. |
*Si l'ouvert <math>\Omega </math> est borné et <math>f</math> dans <math>\Omega</math> et continue dans <math>\overline\Omega</math> (<math>\overline\Omega</math> désignant l'adhérence de <math>\Omega</math>) alors <math>\sup_{\overline\Omega}|f|=\sup_{\partial \Omega} |f|</math>. |
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Version du 2 février 2019 à 15:04
Fonctions entières
Les fonctions entières sont les fonctions qui sont holomorphes sur telles que l'exponentielle complexe,les fonctions polynômes, les fonctions sinus et cosinus ainsi que les fonctions hyperboliques. Comme nous le verrons au prochain chapitre, ces fonctions sont des cas particuliers des fonctions analytiques ,c'est-à-dire des fonctions développables en série au voisinage d'un point de .
Théorème de Liouville
Ce théorème permet de déterminer les fonctions holomorphes sur qui sont polynomiales, il permet aussi de montrer le théorème fondamental de l'algèbre avec une remarquable simplicité.
Si est holomorphe dans et s'il existe et tels que: ,
alors est un polynôme de degré inférieur ou égal à .
Principe du (module) maximum
Ce théorème énonce qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de dont le module admet un maximum local dans cet ouvert est constante.
Il indique aussi que le module d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe réalise sa borne supérieure sur la frontière de l'adhérence de cet ouvert connexe.
- Si est holomorphe sur l'ouvert connexe et s'il existe tel que dans un voisinage de ( admet un maximum local dans ) alors est constante dans .
- Si l'ouvert est borné et dans et continue dans ( désignant l'adhérence de ) alors .