« Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites » : différence entre les versions

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D'après la définition de la limite, on a : <math>\exists N_0\in\N\quad\forall n\ge N_0\quad A<u_n</math>.
D'après la définition de la limite, on a : <math>\exists N_0\in\N\quad\forall n\ge N_0\quad A<u_n</math>.


Par stricte croissance de <math>\phi</math>, et par la première remarque ci-dessus, on a : <math>\forall n\ge N\quad\phi(n)\ge\phi(N)\ge N</math>,
Par stricte croissance de <math>\phi</math> et par la première remarque ci-dessus, on a : <math>\forall n\ge N_0\quad\phi(n)\ge\phi(N_0)\ge N_0</math>,
ce qui implique <math>A<u_{\phi(n)}</math>.
ce qui implique <math>A<u_{\phi(n)}</math>.



Version du 11 janvier 2019 à 22:48

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Suites extraites
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Chapitre no 4
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chap. préc. :Suites adjacentes
Chap. suiv. :Relations de comparaison

Exercices :

Convergence
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Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites
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Dans cette leçon, nous allons étudier la notion de suite extraite qui correspond à l'idée intuitive de ne prendre que certains termes au sein d'une suite. L'exemple le plus marquant, pour illustrer cette idée, est de prendre tous les termes de rang pair (ou impair) d'une suite. Cette notion nous permet d'obtenir des informations sur la limite d'une suite, et nous permet d'énoncer l'un des premiers théorèmes fondamentaux de topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Définitions et premières propriétés

Suites extraites

Formalisons tout d'abord l'idée de ne prendre que certains termes de la suite dans la définition suivante :


Remarques
  1. On montre par une récurrence directe que pour toute extractrice , on a : . Ce qui prouve que .
  2. Si sont deux extractrices, alors est également une extractrice.
  3. L'exemple fondamental est donnée par les deux suites , qui sont les suites extraites des termes de rang pair, et de rang impair respectivement.

Limites de suites extraites

Le théorème suivant est le point central de cette partie, et va nous permettre d'obtenir des informations sur la limite d'une suite à partir de ses suites extraites. En particulier, il nous donne un candidat potentiel pour la limite d'une suite à partir de la limite d’une de ses suites extraites.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Par contraposition, ce théorème équivaut au corollaire suivant qui va nous permettre, lorsqu'une suite diverge, de le prouver facilement.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple

Vous démontrerez en exercice un résultat qui paraît évident mais qui est très souvent utile dans la pratique :


Remarque
Il est important de souligner qu'il ne suffit pas que les deux sous-suites et convergent pour que la suite converge (comme le montre l'exemple précédent) : il faut qu'elles convergent vers la même limite.

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Nous pouvons maintenant nous attaquer à l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce dernier permet, notamment, de démontrer un théorème bien connu de l'analyse qui nous dit que toute fonction continue sur un segment de est bornée et atteint ses bornes.

Début d’un théorème
Fin du théorème