« Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites » : différence entre les versions
inclure dans la preuve le cas d'une limite infinie |
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et donc <math>u_{\phi(n)}\to\ell</math>. |
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Par [[Implication et équivalence/Contraposées|contraposition]], ce théorème équivaut au corollaire suivant qui va nous permettre, lorsqu'une suite diverge, de le prouver facilement. |
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{{Corollaire|contenu= |
{{Corollaire|contenu= |
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Soit <math>(u_n)</math> une suite. |
Soit <math>(u_n)</math> une suite. |
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*Si deux suites extraites de <math>(u_n)</math> ont deux limites différentes, alors <math>(u_n)</math> |
*Si deux suites extraites de <math>(u_n)</math> ont deux limites différentes, alors <math>(u_n)</math> n'admet pas de limite. |
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*S'il existe une suite extraite de <math>(u_n)</math> qui n'admet pas de limite, alors <math>(u_n)</math> n'admet pas de limite.}} |
*S'il existe une suite extraite de <math>(u_n)</math> qui n'admet pas de limite, alors <math>(u_n)</math> n'admet pas de limite.}} |
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{{Exemple|contenu= |
{{Exemple|contenu= |
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diverge car <math>u_{2k}=\frac1{2k}+1\to1</math> et <math>u_{2k+1}=\frac1{2k+1}-1\to-1</math>. |
diverge car <math>u_{2k}=\frac1{2k}+1\to1</math> et <math>u_{2k+1}=\frac1{2k+1}-1\to-1</math>. |
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Vous démontrerez en exercice un résultat qui paraît évident mais qui est très souvent utile dans la pratique : |
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{{Proposition |
{{Proposition |
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|contenu = |
|contenu = Soient <math>(u_n)</math> une suite, et <math>\ell \in\overline\R=\R\cup\{-\infty,+\infty\}</math>. |
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Si <math>u_{2n} \to \ell</math> et <math>u_{2n+1}\to \ell</math>, alors <math>u_n\to \ell</math>. |
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{{CfExo|idfaculté=mathématiques|exercice=[[../Exercices/Convergence#Exercice 3|Convergence, exercice 3]]}} |
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{{Démonstration déroulante |
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|contenu = |
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Soit <math>(u_n)</math> tel que <math>u_{2n} \to \ell</math>, et <math>u_{2n+1} \to \ell</math>, et <math>\epsilon>0</math>.<br /> |
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On a : <math>\exists N_1\in\N,\ \forall n>N_1,\ |u_{2n}-\ell|<\epsilon</math> et <math>\exists N_2\in\N,\ \forall n>N_2,\ |u_{2n+1}-\ell|<\epsilon</math> .<br /> |
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Donc, en posant <math>N=max(2N_1,2N_2+1)</math>, on a <math>\forall n>N,\ |u_n-\ell|<\epsilon</math>. <br /> |
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En effet, pour <math>n>N</math>, il existe <math>p\in \N</math> tel que <math>n=2p</math> ou <math>n=2p+1</math>. Et finalement, on a prouvé que : <math>u_n \to \ell</math>. |
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;Remarque : |
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:Il est important de souligner |
:Il est important de souligner qu'il ne suffit pas que les deux sous-suites <math>(u_{2n})</math> et <math>(u_{2n+1})</math> convergent pour que la suite <math>(u_n)</math> converge (comme le montre l'exemple précédent) : il faut qu'elles convergent vers la même limite. |
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== Théorème de Bolzano-Weierstrass == |
== Théorème de Bolzano-Weierstrass == |
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Nous pouvons maintenant nous attaquer à l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce dernier permet, notamment, de démontrer un théorème bien connu de l'analyse qui nous dit que toute fonction continue sur un segment de <math>\R</math> est bornée et atteint ses bornes. |
Nous pouvons maintenant nous attaquer à l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce dernier permet, notamment, de démontrer un théorème bien connu de l'analyse qui nous dit que toute fonction continue sur un segment de <math>\R</math> est bornée et atteint ses bornes. |
Version du 11 janvier 2019 à 22:42
Dans cette leçon, nous allons étudier la notion de suite extraite qui correspond à l'idée intuitive de ne prendre que certains termes au sein d'une suite. L'exemple le plus marquant, pour illustrer cette idée, est de prendre tous les termes de rang pair (ou impair) d'une suite. Cette notion nous permet d'obtenir des informations sur la limite d'une suite, et nous permet d'énoncer l'un des premiers théorèmes fondamentaux de topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass.
Définitions et premières propriétés
Suites extraites
Formalisons tout d'abord l'idée de ne prendre que certains termes de la suite dans la définition suivante :
On dit que est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite s'il existe une application strictement croissante, appelée extractrice, telle que .
- Remarques
- On montre par une récurrence directe que pour toute extractrice , on a : . Ce qui prouve que .
- Si sont deux extractrices, alors est également une extractrice.
- L'exemple fondamental est donnée par les deux suites , qui sont les suites extraites des termes de rang pair, et de rang impair respectivement.
Limites de suites extraites
Le théorème suivant est le point central de cette partie, et va nous permettre d'obtenir des informations sur la limite d'une suite à partir de ses suites extraites. En particulier, il nous donne un candidat potentiel pour la limite d'une suite à partir de la limite d’une de ses suites extraites.
Si une suite admet une limite (finie ou infinie) alors toutes ses suites extraites ont pour limite .
Soient telle que , une extractrice, et .
D'après la définition de la limite, on a : .
Par stricte croissance de , et par la première remarque ci-dessus, on a : , ce qui implique .
On démontre de même, pour tout :
et donc .
Par contraposition, ce théorème équivaut au corollaire suivant qui va nous permettre, lorsqu'une suite diverge, de le prouver facilement.
Soit une suite.
- Si deux suites extraites de ont deux limites différentes, alors n'admet pas de limite.
- S'il existe une suite extraite de qui n'admet pas de limite, alors n'admet pas de limite.
Vous démontrerez en exercice un résultat qui paraît évident mais qui est très souvent utile dans la pratique :
- Remarque
- Il est important de souligner qu'il ne suffit pas que les deux sous-suites et convergent pour que la suite converge (comme le montre l'exemple précédent) : il faut qu'elles convergent vers la même limite.
Théorème de Bolzano-Weierstrass
Nous pouvons maintenant nous attaquer à l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce dernier permet, notamment, de démontrer un théorème bien connu de l'analyse qui nous dit que toute fonction continue sur un segment de est bornée et atteint ses bornes.
De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous suite convergente.
Soit une suite réelle bornée.
L'idée de la démonstration est d'utiliser une méthode de dichotomie pour construire deux suites qui vérifieront le théorème des fermés emboîtés, et une extractrice telle que .
Comme la suite est bornée, il existe tels que , et l'ensemble est donc infini.
Supposons que, pour , on a réussi à construire vérifiant : , l'ensemble est infini, et .
Posons . On a alors forcément l'un des deux ensembles qui est infini.
Il existe donc vérifiant : , l'ensemble est infini, et . (Prendre si le premier ensemble ci-dessus est infini, et réciproquement).
Les deux suites que nous cherchions sont donc construites ainsi par récurrence. Il reste à définir l'extractrice . Pour cela, on pose : , et pour tout , supposons construit, on sait qu'il existe vérifiant et , (on prends qui est bien un ensemble minoré non vide), et on pose finalement . Et, est alors construite par récurrence.
On a alors, comme voulu, les deux suites qui vérifient le théorème des segments emboîtés, et elle convergent donc toutes les deux vers une limite . Or, d'après l'inégalité (vraie par construction) et le théorème des gendarmes, on a bien .
On a donc bien trouvé une sous suite extraite de la suite réelle bornée .