Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites

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Dans cette leçon, nous allons étudier la notion de suite extraite qui correspond à l'idée intuitive de ne prendre que certains termes au sein d'une suite. L'exemple le plus marquant pour illustrer cette idée est de prendre tous les termes de rang pair (ou impair) d'une suite. Cette notion nous permet d'obtenir des informations sur la limite d'une suite, et nous permet d'énoncer l'un des premiers théorèmes fondamentales de topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Définitions et premières propriétés

Suites extraites

Formalisons tout d'abord l'idée de ne prendre que certains termes de la suite dans la définition suivante :

Définition

On dit que $(v_{p})$ est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite $(u_{n})$ s'il existe une application $\phi :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ strictement croissante, appelée extractrice, telle que $\forall p\in \mathbb {N} ,\ v_{p}=u_{\phi (p)}$.

Remarques

1. On montre par une récurrence directe que pour toute extractrice $\phi$, on a : $\phi (n)\geq n$. Ce qui prouve que $\phi (n)\to \infty$.
2. Si $\phi ,\ \psi$ sont deux extractrices, alors $\phi \circ \phi$ est également une extractrice.
3. L'exemple fondamentale est donnée par les deux suites $(u_{2n}),\ (u_{2n+1})$ qui sont donc les suites extraites des termes de rang pair, et de rang impair respectivement.

Limites de suites extraites

Le théorème suivant est le point central de cette partie, et va nous permettre d'obtenir des informations sur la limite d'une suite à partir de ses suites extraites. En particulier, il nous donne un candidat potentiel pour la limite d'une suite à partir de la limite d’une de ses suites extraites.

Début d’un théorème

Théorème

Si une suite admet une limite $\ell$ (finie ou infinie) alors toutes ses suites extraites ont pour limite $\ell$.

Fin du théorème

Démonstration

Soit $(u_{n})$ tel que $u_{n}\to \ell$, $\phi$ une extractrice, et $\epsilon >0$.
Par définition de la convergence, on a : $\exists N\in \mathbb {N} ,\ \forall n>N,\ |u_{n}-\ell |<\epsilon$.
Par stricte croissance de $\phi$, et par la première remarque ci-dessus, on a : $\forall n>N,\ \phi (n)>\phi (N)\geq N$.
Ce qui implique $|u_{\phi (n)}-\ell |<0$ et donc $u_{\phi (n)}\to \ell$.

 

On affine le résultat à l'aide du corollaire suivant qui va nous permettre de dire facilement si une suite diverge.

Corollaire

Soit $(u_{n})$ une suite.

• Si deux suites extraites de $(u_{n})$ ont deux limites différentes, alors $(u_{n})$ diverge.
• S'il existe une suite extraite de $(u_{n})$ qui n'admet pas de limite, alors $(u_{n})$ n'admet pas de limite.

Début de l'exemple

Exemple

La suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ définie par

$u_{n}={\frac {1}{n}}+(-1)^{n}$

diverge car $u_{2k}={\frac {1}{2k}}+1\to 1$ et $u_{2k+1}={\frac {1}{2k+1}}-1\to -1$.

Fin de l'exemple

Démontrons maintenant un résultat qui paraît évident mais qui est très souvent utile dans la pratique :

Proposition

Soit $(u_{n})$, et $\ell \in {\bar {\mathbb {R} }}$ une suite. Si $u_{2n}\to \ell$ et $u_{2n+1}\to \ell$, alors $u_{n}\to \ell$.

Démonstration

Soit $(u_{n})$ tel que $u_{2n}\to \ell$, et $u_{2n+1}\to \ell$, et $\epsilon >0$.
On a : $\exists N_{1}\in \mathbb {N} ,\ \forall n>N_{1},\ |u_{2n}-\ell |<\epsilon$ et $\exists N_{2}\in \mathbb {N} ,\ \forall n>N_{2},\ |u_{2n+1}-\ell |<\epsilon$ .
Donc, en posant $N=max(2N_{1},2N_{2}+1)$, on a $\forall n>N,\ |u_{n}-\ell |<\epsilon$.
En effet, pour $n>N$, il existe $p\in \mathbb {N}$ tel que $n=2p$ ou $n=2p+1$. Et finalement, on a prouvé que : $u_{n}\to \ell$.

 

Remarque

Il est important de souligner que ce n'est pas parce que les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent que la suite $(u_{n})$ converge (comme le montre l'exemple précédent), il faut qu'elle converge vers la même limite.

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Début d’un théorème

Théorème

De toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente.

Fin du théorème