« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
m +chapitre |
→Exercice 1-4 : +1 classique |
||
Ligne 62 : | Ligne 62 : | ||
}} |
}} |
||
{{Wikipédia|Dix-septième problème de Hilbert}} |
{{Wikipédia|Dix-septième problème de Hilbert}} |
||
== Exercice 1-5 == |
|||
Soient <math>\alpha\in\R,\,n\in\N,\,P_n=\left(\cos\alpha+X\sin\alpha\right)^n</math>. |
|||
Déterminer les restes des divisions euclidiennes de <math>P_n</math> par <math>(X^2+1)^2</math> et par <math>X^2+1</math>. |
|||
{{Solution|contenu= |
|||
Le reste de la division euclidienne de <math>P_n</math> par <math>(X^2+1)^2</math> est <math>aX^3+bX^2+cX+d</math> avec (puisque <math>\mathrm i</math> et <math>-\mathrm i</math> sont racines doubles de <math>(X^2+1)^2</math>) : |
|||
*<math>-a\mathrm i-b+c\mathrm i+d=P(\mathrm i)=\mathrm e^{n\mathrm i\alpha}</math> ; |
|||
*<math>a\mathrm i-b-c\mathrm i+d=P(-\mathrm i)=\mathrm e^{-n\mathrm i\alpha}</math> ; |
|||
*<math>-3a+2b\mathrm i+c=P'(\mathrm i)=n\sin\alpha\operatorname e^{(n-1)\mathrm i\alpha}</math> ; |
|||
*<math>-3a-2b\mathrm i+c=P'(-\mathrm i)=n\sin\alpha\operatorname e^{-(n-1)\mathrm i\alpha}</math>. |
|||
En résolvant le système, on en déduit : |
|||
:<math>a=2\sin(n\alpha)-n\sin\alpha\cos((n-1)\alpha),\quad b=\frac{n\sin\alpha\sin((n-1)\alpha)}2,</math> |
|||
:<math>c=3\sin(n\alpha)-n\sin\alpha\cos((n-1)\alpha),\quad d=\frac{2\cos(n\alpha)+n\sin\alpha\sin((n-1)\alpha)}2</math>. |
|||
Le reste de la division euclidienne de <math>P_n</math> par <math>X^2+1</math> est donc : |
|||
:<math>(c-a)X+d-b=\sin(n\alpha)X+\cos(n\alpha)</math>. |
|||
}} |
|||
{{Bas de page |
{{Bas de page |
Version du 24 décembre 2018 à 18:14
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une solution non nulle.
Soit une racine de . Alors :
- et ;
- D'après , tous les sont racines de donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
- D'après , est donc aussi nul ou de module 1 ;
- Par conséquent, donc aussi (d'après ) .
Finalement, les seules racines possibles de sont et .
Soit avec et . Alors, .
Les solutions sont donc : ou .
Exercice 1-2
Déterminer les polynômes tels que .
Puisque est premier avec , un polynôme est solution si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
De même, est solution de l'équation précédente si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
Et ainsi de suite. Finalement, est solution si et seulement si pour un tel que .
Les solutions sont donc les polynômes de la forme avec .
Exercice 1-3
Soit . Montrer que :
- a une unique réelle ;
- .
- Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
- En déduire que .
- Calculer .
- Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré (continue, et de limite en ) est strictement positive sur et strictement croissante sur . Elle s'annule donc exactement une fois.
- donc .
- De on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : et .
- donc , et .
- .
Exercice 1-4
Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .
On pourra chercher à factoriser dans sous la forme .
est a priori le produit dans d'un polynôme scindé et d'un polynôme unitaire à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors donc (puisque ) . Par conséquent, toutes les racines de sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que est le carré d'un polynôme . étant pour sa part de la forme avec , on obtient : , avec . En décomposant sous la forme avec , on conclut : .
Exercice 1-5
Soient .
Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .
Le reste de la division euclidienne de par est avec (puisque et sont racines doubles de ) :
- ;
- ;
- ;
- .
En résolvant le système, on en déduit :
- .
Le reste de la division euclidienne de par est donc :
- .