Polynôme/Exercices/Racines de polynômes

Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes $P\in \mathbb {C} [X]$ tels que $P(X^{2})=P(X)P(X+1)$.

Solution

Soit $P$ une solution non nulle.

Soit $\lambda$ une racine de $P$. Alors :

• $P(\lambda ^{2})=P(\lambda )P(\lambda +1)=0\quad (1)$ et $P((\lambda -1)^{2})=P(\lambda -1)P(\lambda )=0\quad (2)$ ;
• D'après $(1)$, tous les $\lambda ^{2^{n}}\;(n\in \mathbb {N} )$ sont racines de $P$ donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que $\lambda$ est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
• D'après $(2)$, $\lambda -1$ est donc aussi nul ou de module 1 ;
• Par conséquent, $\lambda \in \{0,1,-\mathrm {j} ^{2},-\mathrm {j} \}$ donc aussi (d'après $(1)$) $\lambda ^{2}\in \{0,1,-\mathrm {j} ^{2},-\mathrm {j} \}$.

Finalement, les seules racines possibles de $P$ sont $0$ et $1$.

Soit $P=aX^{p}(X-1)^{q}$ avec $p,q\in \mathbb {N}$ et $a\in \mathbb {C} ^{*}$. Alors, $P(X^{2})=P(X)P(X+1)\Leftrightarrow aX^{2p}(X-1)^{2q}=a^{2}X^{p}(X-1)^{q}(X+1)^{p}X^{q}\Leftrightarrow a=1{\text{ et }}p=q$.

Les solutions sont donc : $P=0$ ou $P(X)=(X^{2}-X)^{n}{\text{ avec }}n\in \mathbb {N}$.

 

Exercice 1-2

On note $E_{n}$ l’ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ de $\mathbb {Z} [X]$ dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.

1. Montrer que $E_{n}$ est fini.
2. Soit $P=\prod _{k=1}^{n}(X-z_{k})$ un élément de $E_{n}$. On note $Q$ le polynôme $\prod _{k=1}^{n}(X-z_{k}^{2})$. Montrer que $Q\in E_{n}$.
3. Montrer que les racines non nulles des éléments de $E_{n}$ sont des racines de l'unité.

Solution

1. D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
2. $Q\in \mathbb {Z} [X]$ car $(-1)^{n}Q(X^{2})=P(X)P(-X)$.
3. Soit $z$ une racine non nulle d'un élément de $E_{n}$. D'après la question 2, les $z^{2^{p}}$ pour $p\in \mathbb {N}$ sont aussi des racines d'éléments de $E_{n}$ et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc $p,q\in \mathbb {N}$ distincts tels que $z^{2^{p}}=z^{2^{q}}$.

 

Exercice 1-3

Déterminer les polynômes $P\in \mathbb {C} [X]$ tels que $XP(X+1)=(X+4)P(X)$.

Solution

Puisque $X$ est premier avec $X+4$, un polynôme $P$ est solution si et seulement si $P=XQ$ pour un $Q\in \mathbb {C} [X]$ tel que $X(X+1)Q(X+1)=(X+4)XQ(X)$, c.-à-d. $(X+1)Q(X+1)=(X+4)Q(X)$.

De même, $Q$ est solution de l'équation précédente si et seulement si $Q=(X+1)R$ pour un $R\in \mathbb {C} [X]$ tel que $(X+1)(X+2)R(X+1)=(X+4)(X+1)R(X)$, c.-à-d. $(X+2)R(X+1)=(X+4)R(X)$.

Et ainsi de suite. Finalement, $P$ est solution si et seulement si $P=X(X+1)(X+2)(X+3)T$ pour un $T\in \mathbb {C} [X]$ tel que $T(X+1)=T(X)$.

Les solutions $P$ sont donc les polynômes de la forme $aX(X+1)(X+2)(X+3)$ avec $a\in \mathbb {C}$.

 

Exercice 1-4

Soit $P(X)=X^{3}-X+1$. Montrer que :

1. $P$ a une unique réelle $\alpha$ ;
2. $\alpha <-1$.
3. Soient $\beta ,\gamma \in \mathbb {C}$ les deux autres racines de $P$. Exprimer $\beta +\gamma$ et $\beta \gamma$ en fonction de $\alpha$.
4. En déduire que $|\beta |=|\gamma |<1$.
5. Calculer $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}$.

Solution

1. Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré $x\mapsto x^{3}-x+1$ (continue, et de limite $-\infty$ en $-\infty$) est strictement positive sur $\left[-1/{\sqrt {3}},+\infty \right[$ et strictement croissante sur $\left]-\infty ,-1/{\sqrt {3}}\right]$. Elle s'annule donc exactement une fois.
2. $P\left(-1\right)=1>0$ donc $\alpha <-1$.
3. De $X^{3}-X+1=(X-\alpha )(X-\beta )(X-\gamma )$ on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : $\beta +\gamma =-\alpha$ et $\beta \gamma =-1/\alpha$.
4. $\beta +\gamma ,\beta \gamma \in \mathbb {R}$ donc $\gamma ={\overline {\beta }}$, et $|\beta |^{2}=|\gamma |^{2}=-1/\alpha <1$.
5. $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=\alpha ^{2}+\left(\beta +\gamma \right)^{2}-2\beta \gamma =2\alpha ^{2}+2/\alpha =2{\frac {\alpha ^{3}+1}{\alpha }}=2$.

 

Exercice 1-5

Soit $P\in \mathbb {R} [X]$ tel que $\forall x\in \mathbb {R} \quad P(x)\geq 0$. Montrer qu'il existe $A,B\in \mathbb {R} [X]$ tels que $P=A^{2}+B^{2}$.

Indication

On pourra chercher à factoriser $P$ dans $\mathbb {C} [X]$ sous la forme $P=Q{\overline {Q}}$.

 

Solution

$P\in \mathbb {R} [X]$ est a priori le produit dans $\mathbb {R} [X]$ d'un polynôme $Q$ scindé et d'un polynôme unitaire $R$ à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors $R(\mathbb {R} )>0$ donc (puisque $P(\mathbb {R} )\geq 0$) $Q(\mathbb {R} )\geq 0$. Par conséquent, toutes les racines de $Q$ sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que $Q$ est le carré d'un polynôme $S\in \mathbb {R} [X]$. $R$ étant pour sa part de la forme $T{\overline {T}}$ avec $T\in \mathbb {C} [X]$, on obtient : $P=Q{\overline {Q}}$, avec $Q=ST\in \mathbb {C} [X]$. En décomposant $Q$ sous la forme $A+\mathrm {i} B$ avec $A,B\in \mathbb {R} [X]$, on conclut : $P=A^{2}+B^{2}$.

 

Exercice 1-6

Soient $a_{1},\dots ,a_{n}$ n entiers deux à deux distincts ($n\geq 1$). Montrer que dans $\mathbb {Z} [X]$, le polynôme $P(X)=1+\prod _{i=1}^{n}(X-a_{i})^{2}$ est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont $\pm 1,\pm P$.

Solution

Soient $T=\prod _{i=1}^{n}(X-a_{i})$ et $Q,R\in \mathbb {Z} [X]$ tels que $1+T^{2}=P=QR$ avec, sans perte de généralité, $Q$ unitaire et de degré inférieur ou égal à n. Montrons que $Q=1$.

Sur $\mathbb {R}$, puisque $Q$ est unitaire et ne s'annule pas (car $QR=1+T^{2}>0$), $Q>0$. Or $Q(a_{i})R(a_{i})=1$, donc $Q(a_{i})=1$. Par conséquent, $Q=1+TU$ avec (puisque $Q$ est unitaire et de degré $\leq n$), $U=0$ ou $1$. Mais $U=1$ est impossible ($T^{2}+1$ n'est pas divisible par $T+1$) donc $U=0$, si bien que $Q=1$.

(Cette solution est inspirée de ce document : https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=2ahUKEwiIiejAiLjfAhWOyoUKHdPAA6AQFjABegQIARAB&url=https%3A%2F%2Fservices.artofproblemsolving.com%2Fdownload.php%3Fid%3DYXR0YWNobWVudHMvZC84L2VhZTZkNzZmODQ1MGI5ZTE5ODc4MDJhMDkwMmZhYmQzOGY2ZDQ4%26rn%3DMDlfNDNFTlNMIE5vcm1lcyBldCBLZXJmID0gS2VyZjIucGRm&usg=AOvVaw1Emxpjkzuk7vVe08delrXa.

Voir aussi l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf)