« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions
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→Suites équivalentes : Suite du cours sur la relation d'équivalence des suites. |
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Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites et l'objectif est de se concentrer sur le comportement des suites en l'infini. |
Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites et l'objectif est de se concentrer sur le comportement des suites en l'infini. Notons que les notions abordées dans cette leçon (équivalence, domination, et suites négligeables) sont similaires à celles sur les [[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison| fonctions]], aussi le lecteur peut avoir intérêt à lire ce cours en parallèle à celui sur les[[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison| fonctions]] pour voir les subtilités de ces notions. |
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{{clr}} |
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== Suites équivalentes == |
== Suites équivalentes == |
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=== Premiers pas === |
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Intuitivement, deux suites vont être équivalentes si elles sont « à peu près égales quand <math>n</math> devient très grand », et ainsi elles auront le même « comportement » en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante : |
Intuitivement, deux suites vont être équivalentes si elles sont « à peu près égales quand <math>n</math> devient très grand », et ainsi elles auront le même « comportement » en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante : |
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Montrons maintenant que le vocabulaire retenu ici est cohérent. |
Montrons maintenant que le vocabulaire retenu ici est cohérent. |
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{{Proposition |
{{Proposition |
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|contenu = La relation <math>u_n\sim v_n</math> est une [[Relation (mathématiques)/Relation d'équivalence|relation d'équivalence]]. |
|contenu = La relation <math>u_n\sim v_n</math> est une [[Relation (mathématiques)/Relation d'équivalence|relation d'équivalence]]. |
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*:Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nv_n</math>, et une suite <math>(\beta_n)</math> telle que <math>\beta_n\to1</math> et <math>\exists N_1\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_1\quad v_n=\beta_nw_n</math>. |
*:Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nv_n</math>, et une suite <math>(\beta_n)</math> telle que <math>\beta_n\to1</math> et <math>\exists N_1\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_1\quad v_n=\beta_nw_n</math>. |
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*:Et finalement, <math>\forall n>\max(N_0,N_1)\quad u_n=\alpha_n\beta_nw_n</math> et <math>\alpha_n\beta_n\to1</math>, d'où <math>u_n\sim w_n</math>. |
*:Et finalement, <math>\forall n>\max(N_0,N_1)\quad u_n=\alpha_n\beta_nw_n</math> et <math>\alpha_n\beta_n\to1</math>, d'où <math>u_n\sim w_n</math>. |
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=== Opérations sur les suites équivalentes === |
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L'objectif est ici de voir les propriétés qui vont nous servir pour le calcul des équivalents. En premier lieu, voici les opérations qu'il est possible de réaliser sur les suites équivalentes, ce qui permettra de simplifier le calcul effectif d'équivalent : |
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{{Proposition |
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|titre =Proposition : Opérations sur les équivalents |
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| contenu = |
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Soient <math>(u_n), (v_n), (w_n)</math> trois suites numériques, et <math>\lambda, \alpha \in \R</math>. |
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*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>u'_n\sim v'_n</math> alors <math>u_nu'_n \sim v_nv'n</math>. |
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En particulier, si <math>u_n\sim v_n</math> alors <math>\lambda u_n\sim \lambda v_n</math> et <math>u_nw_n\sim v_nw_n</math>. |
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*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>u_nv_n\neq 0</math> pour <math>n</math> assez grand, alors <math>\frac{1}{u_n}\sim \frac{1}{v_n}</math>. |
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*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>u_n, v_n>0</math> pour <math>n</math> assez grand, alors <math>u_n^{\alpha}\sim v_n^{\alpha}</math>. |
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{{Démonstration déroulante |
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|contenu= |
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On ne démontre que la première propriété, les autres se démontrant de façon similaire. |
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:Supposons que <math>u_n\sim u'_n</math> et <math>v_n\sim v'_n</math>. |
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:Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nu'_n</math>, et une suite <math>(\beta_n)</math> telle que <math>\beta_n\to1</math> et <math>\exists N_1\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_1\quad v_n=\beta_nv'_n</math>. |
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:Alors, on a <math>\forall n>\max(N_0,N_1)\quad u_nu'_n=\alpha_n\beta_nv_nv'_n</math> et <math>\alpha_n\beta_n \to1</math>. |
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;Remarques |
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:De manière générale, il est interdit de réaliser des sommes d'équivalents ou de composer une relation d'équivalence par une fonction. De manière formelle, si <math>u_n \sim v_n</math> et <math>u'_n \sim v'_n</math>, on peut avoir <math>u_n+u'_n \nsim v_n+v'_n</math>, et pour une fonction <math>f</math>, <math>f(u_n)\nsim f(v_n)</math>. |
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:Par exemple, on a <math>n^3+1 \sim n^3</math> et <math>-n^3 \sim -n^3</math> mais <math>n^3+1-n^3=1 \nsim 0</math>. |
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: Et pour la composition, un contre-exemple est donné pour <math>f=ln</math>, et <math>\frac{1}{n}+1\sim 1</math> mais <math>\ln(\frac{1}{n}+1)\nsim \ln(1)=0</math>. |
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Voyons maintenant des équivalents qui servirons de référence. |
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{{Proposition |
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|titre =Proposition : Equivalents de référence |
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| contenu = |
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Soit <math>(u_n)</math> une suite numérique telle que <math>u_n \to 0</math>, alors : |
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*<math>\ln(1+u_n)\sim u_n</math> |
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*<math>\exp(u_n)-1\sim u_n</math> |
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*<math>\tan(u_n)\sim u_n</math> |
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*<math>\sin(u_n)\sim u_n</math> |
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*<math>\sqrt{1+u_n}-1\sim \frac{1}{2}u_n</math> |
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*<math>(1+u_n)^{\alpha}-1\sim \alpha u_n (\alpha \in \R)</math> |
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{{Démonstration déroulante |
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|contenu= |
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On ne démontre que la première propriété, les autres se démontrant de façon similaire. |
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Comme <math>u_n \to0</math>, alors <math>u_n \neq 0</math> pour <math>n</math> assez grand. |
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On a alors <math>\frac{\ln(1+u_n)}{u_n} \to1</math>, car le taux d'accroissement <math>\frac{\ln(1+h)}{h}\to1</math> quand <math>h\to0</math>, d'où <math>\ln(1+u_n)\sim u_n</math>. |
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Donnons des exemples de calcul d'équivalent en utilisant ces équivalents de référence : |
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{{Exemple |
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|contenu = |
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*Déterminer un équivalent de <math>u_n=\ln(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2})</math>. |
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*:On a <math>\ln(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2})=\ln(1+(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2}-1))</math>. |
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*:Or,<math>\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2}-1=\frac{n^2+n+3}{n^3-n^2}\sim \frac{n^2}{n^3}=\frac{1}{n}\to0</math>. |
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*:D'où, <math>\ln(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2})\sim \frac{1}{n}</math>. |
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*Déterminer un équivalent de <math>u_n=\sqrt{1+\sqrt{n}}</math>. |
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*:On a <math>u_n^2=1+\sqrt{n} \sim \sqrt{n}</math>, donc <math>u_n=(u_n^2)^{\frac{1}{2}}\sim (\sqrt{n})^{\frac{1}{2}}=n^{\frac{1}{4}}</math>. |
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}} |
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=== Applications === |
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Ici, nous allons voir quelques applications du calcul d'équivalent. Ces applications vont reposer majoritairement sur la propriété suivante : |
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{{Proposition |
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|contenu= |
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Soient <math>(u_n), (v_n)</math> deux suites telles que <math>u_n\sim v_n</math>. |
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Alors : |
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* Si <math>(v_n)</math> admet une limite <math>l</math> alors <math>(u_n)</math> admet la même limite. |
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* Si <math>(v_n)</math> est bornée alors<math>(u_n)</math> est bornée aussi. |
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* Si <math>(v_n)\neq 0</math> à partir d'un certain rang, alors <math>(u_n)</math> aussi. |
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* Si <math>(v_n)> 0</math> (ou <math><0</math>) à partir d'un certain rang, alors <math>(u_n)</math> aussi. |
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}} |
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{{Démonstration déroulante |
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|contenu= |
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Supposons que <math>u_n\sim v_n</math>. |
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Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nv_n</math>. Comme <math>\alpha_n</math> converge vers <math>1</math>, il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout <math>n>N,\quad \alpha_n>0</math>. |
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* Si <math>(v_n)</math> converge vers <math>l</math>, alors pour <math>n>N_0</math> on a <math>u_n=\alpha_nv_n</math> et donc, par produit des limites, <math>v_n \to l</math>. |
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* Si <math>(v_n)</math> est bornée alors <math>\exists M\in \R \quad |v_n|<M</math>, et donc pour <math>n>N_0 \quad |u_n|<|\alpha_n|M</math>. Or, <math>\alpha_n\to1</math> donc <math>(\alpha_n)</math> est bornée, et <math>(u_n)</math> également. |
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*Les deux dernières propriétés se démontrent à partir du même raisonnement. |
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Version du 9 décembre 2018 à 15:31
Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites et l'objectif est de se concentrer sur le comportement des suites en l'infini. Notons que les notions abordées dans cette leçon (équivalence, domination, et suites négligeables) sont similaires à celles sur les fonctions, aussi le lecteur peut avoir intérêt à lire ce cours en parallèle à celui sur les fonctions pour voir les subtilités de ces notions.
Suites équivalentes
Premiers pas
Intuitivement, deux suites vont être équivalentes si elles sont « à peu près égales quand devient très grand », et ainsi elles auront le même « comportement » en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante :
On dit que deux suites et sont équivalentes, ce que l'on note , ou plus simplement , lorsqu'il existe une suite qui converge vers et telle que à partir d'un certain rang.
- Remarques
-
- Pour des suites équivalentes, la notation est non ambiguë (de même que la notation pour la limite d'une suite), contrairement aux fonctions.
- D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites nulles à partir d'un certain rang. Ainsi, nous avons la caractérisation suivante, très utile pour déterminer des équivalents (attention, on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes).
Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que .
- Soit un réel non nul. Une suite converge vers si et seulement si .
- Soit une suite définie par où est un polynôme de degré et de coefficient dominant . Alors, .
- Soit la suite définie par . Alors, .
Montrons maintenant que le vocabulaire retenu ici est cohérent.
La relation est une relation d'équivalence. Pour rappel, on a alors, pour toutes suites , et :
- (réflexivité) ;
- si alors (symétrie) ;
- si et alors (transitivité).
La démonstration est assez directe mais rédigeons-la afin de nous habituer aux raisonnements. Soit , et trois suites.
- Pour la réflexivité :
- Posons . On a ainsi , ce qui par définition donne .
- Pour la symétrie :
- Supposons que .
- Alors, il existe une suite telle que et tel que . Comme converge vers , il existe tel que pour tout .
- On a ainsi et , et donc .
- Pour la transitivité :
- Supposons que et .
- Alors, il existe une suite telle que et tel que , et une suite telle que et tel que .
- Et finalement, et , d'où .
Opérations sur les suites équivalentes
L'objectif est ici de voir les propriétés qui vont nous servir pour le calcul des équivalents. En premier lieu, voici les opérations qu'il est possible de réaliser sur les suites équivalentes, ce qui permettra de simplifier le calcul effectif d'équivalent :
Soient trois suites numériques, et .
- Si et alors .
En particulier, si alors et .
- Si et pour assez grand, alors .
- Si et pour assez grand, alors .
On ne démontre que la première propriété, les autres se démontrant de façon similaire.
- Supposons que et .
- Alors, il existe une suite telle que et tel que , et une suite telle que et tel que .
- Alors, on a et .
- Remarques
- De manière générale, il est interdit de réaliser des sommes d'équivalents ou de composer une relation d'équivalence par une fonction. De manière formelle, si et , on peut avoir , et pour une fonction , .
- Par exemple, on a et mais .
- Et pour la composition, un contre-exemple est donné pour , et mais .
Voyons maintenant des équivalents qui servirons de référence.
On ne démontre que la première propriété, les autres se démontrant de façon similaire. Comme , alors pour assez grand. On a alors , car le taux d'accroissement quand , d'où .
Donnons des exemples de calcul d'équivalent en utilisant ces équivalents de référence :
- Déterminer un équivalent de .
- On a .
- Or,.
- D'où, .
- Déterminer un équivalent de .
- On a , donc .
Applications
Ici, nous allons voir quelques applications du calcul d'équivalent. Ces applications vont reposer majoritairement sur la propriété suivante :
Soient deux suites telles que . Alors :
- Si admet une limite alors admet la même limite.
- Si est bornée alors est bornée aussi.
- Si à partir d'un certain rang, alors aussi.
- Si (ou ) à partir d'un certain rang, alors aussi.
Supposons que . Alors, il existe une suite telle que et tel que . Comme converge vers , il existe tel que pour tout .
- Si converge vers , alors pour on a et donc, par produit des limites, .
- Si est bornée alors , et donc pour . Or, donc est bornée, et également.
- Les deux dernières propriétés se démontrent à partir du même raisonnement.
Théorème de comparaison avec une suite géométrique
Soient une suite strictement positive et un réel.
- Si pour , et si , alors .
- Si pour , et si , alors .