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'''4.''' <math>f_4:x\mapsto \frac{7xe^{-x}}{3}</math> |
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'''4.''' <math>f_4:x\mapsto \frac{7xe^{-x}}{3}</math> |
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* Cette fonction se dérive comme un quotient. Il faut cependant maîtriser [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|le théorème de dérivation d'une fonction composée]] pour pouvoir déterminer la dérivée d'une des fonctions définies ci-après. |
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* La dérivation de cette fonction nécessite [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|le théorème de dérivation d'une fonction composée]]. |
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** On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 7xe^{-x}</math> et <math>v:x\mapsto 3</math> |
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** On a <math>f_4:x\mapsto \frac{7}{3}xe^{-x}</math> |
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** On définit les dérivées de <math>u</math> et de <math>v</math> : |
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** On pose sur <math>\R</math> la fonction <math>u:x\mapsto xe^{-x}</math> |
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*** La dérivée de <math>v</math> est définie par <math>v':x\mapsto 0</math>
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** On dérive <math>f_4</math> selon <math>(ku)'=ku'</math> : |
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*** La dérivée de <math>u</math>, obtenue par l'application du théorème, est définie par <math>u':x\mapsto 7e^{-x}-7xe^{-x}</math> |
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*** La dérivée de <math>u</math> est définie par <math>u':x\mapsto e^{-x}-xe^{-x}</math> |
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** On obtient <math>f_4'(x)= \frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)} {v^(x)} = \frac {(7e^{-x}-7xe^{-x})*3-(7xe^{-x})*0} {3^2}</math> |
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** On obtient <math>f_4'(x)= \frac{7}{3}(e^{-x}-xe^{-x})</math> |
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** Soit, pour tout <math>x\in\R, f_4'(x)= \frac {21e^{-x}-21xe^{-x}} {9}</math> |
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** Soit, pour tout <math>x\in\R, f_4'(x)= \frac {7}{3} e^{-x}(1-x)</math> |
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Étude de la fonction exponentielle
Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Un certain nombre d'études de fonctions ne peuvent se faire sans le théorème de dérivation d'une composée par une fonction affine (niveau 11).
ƒ est la fonction définie sur par :
- pour tout .
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en .
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de et .
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
Solution
1. Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur et, pour tout :
Or, pour tout donc
On en déduit que ƒ est décroissante.
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2. Étudier la limite de ƒ en .
Donc
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3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :
- une partie qui tend vers 0 :
Si on pose , définie sur et de représentation graphique , on a :
4. Étudier les positions relatives de et .
- Pour tout , grandeur négative.
Donc est en-dessous de son asymptote
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5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à au point d'abscisse 2 est :
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
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ƒ est la fonction définie sur par :
- pour tout .
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en .
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de et .
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
Solution
1. Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur et, pour tout :
Or, pour tout donc
On en déduit que ƒ est croissante.
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2. Étudier la limite de ƒ en .
Donc
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3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :
- une partie qui tend vers 0 :
Si on pose , définie sur et de représentation graphique , on a :
4. Étudier les positions relatives de et .
- Pour tout , grandeur positive.
Donc est au-dessus de son asymptote
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5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à au point d'abscisse 2 est :
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
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Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
4.
Solution
Ces quatre fonctions sont définies et dérivables sur .
1.
- Cette fonction se dérive comme un produit.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
2.
- Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
- On remarque que pour tout
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
3.
- On va utiliser ce théorème de niveau 11
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
4.
- La dérivation de cette fonction nécessite le théorème de dérivation d'une fonction composée.
- On a
- On pose sur la fonction
- On dérive selon :
- La dérivée de est définie par
- On obtient
- Soit, pour tout
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Solution
1.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
2.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
3.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
4.
- On pose sur la fonction
- Sa dérivée est définie par
- Comme , on a pour tout
5.
- Pour tout
6.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
7.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
Pour tout réel λ > 0, on note ƒλ la fonction définie sur par :
- pour tout
1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒλ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.
2. Démontrer que ƒλ est paire, c'est-à-dire pour tout .
3. Étudier les variations de ƒλ et déterminer sa limite en .