Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie

Exercice 2-1

Soit $A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$. Montrer que son exponentielle est un polynôme en $A$ ou plus généralement, que $f(A)\in \mathbb {C} [A]$ pour toute fonction $f$ d'une variable complexe développable en série entière en $0$, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de $A$ (pour une norme arbitraire fixée sur $\mathbb {C} ^{n}$).

Solution

Par définition, $f(A)$ est une limite de polynômes en $A$ (les sommes partielles de la série entière). Puisque $\operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$ est de dimension finie, le sous-espace vectoriel $\mathbb {C} [A]$ est fermé.

 

Exercice 2-2 : densité de GL_n

Soit $K=\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$. Démontrer que dans $\mathrm {M} _{n}(K)$ (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble $\mathrm {GL} _{n}(K)$ des matrices inversibles est dense.

Solution

Soit $A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )$. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe $N\in \mathbb {N}$ tel que pour tout entier $k>N$, $A-{\frac {1}{k}}\mathrm {I} _{n}\in \mathrm {GL} _{n}(K)$, ce qui prouve que $A$ est adhérent à $\mathrm {GL} _{n}(K)$.

 

Exercice 2-3 : quelques normes sur $\mathbb {R} ^{2}$

1. Représenter graphiquement les boules unité de $\mathbb {R} ^{2}$ muni respectivement des normes

   $\|(x,y)\|_{1}=|x|+|y|,\quad \|(x,y)\|_{2}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(|x|,|y|)$.

2. Montrer que ces normes sont équivalentes en explicitant les constantes associées.
3. On considère l'application linéaire $u:(\mathbb {R} ^{2},\|\cdot \|_{2})\to (\mathbb {R} ^{2},\|\cdot \|_{2})$ définie par $u(x,y)=(x+y,x-y)$. Calculer la norme d'opérateur $|\!|\!|u|\!|\!|$ associée.
4. Même question en remplaçant $\|\cdot \|_{2}$ par les deux autres normes ci-dessus.

Solution

1. 

   Les cercles unité (en gras) associés aux trois normes.
2. La figure montre que $\|(x,y)\|_{1}\geq \|(x,y)\|_{2}\geq \|(x,y)\|_{\infty }$, avec égalités si $\{|x|,|y|\}=\{0,1\}$, et que $\|(x,y)\|_{\infty }\geq {\frac {1}{2}}\|(x,y)\|_{1}$, avec égalité si $\{|x|,|y|\}=\{1,1\}$.
   Il est très facile de redémontrer directement ces trois inégalités (et les cas d'égalité).
   Pour la comparaison entre $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{\infty }$, on a même trouvé les constantes optimales : $\|(x,y)\|_{\infty }\leq \|(x,y)\|_{1}\leq 2\|(x,y)\|_{\infty }$. On les trouve de même pour les deux autres paires (en dilatant l'une des deux boules jusqu'à contenir l'autre) : $\|(x,y)\|_{\infty }\leq \|(x,y)\|_{2}\leq {\sqrt {2}}\|(x,y)\|_{\infty }$ et $\|(x,y)\|_{2}\leq \|(x,y)\|_{1}\leq {\sqrt {2}}\|(x,y)\|_{2}$.
   Plus généralement, sur $\mathbb {R} ^{n}$, on a $1\leq r\leq p\leq \infty \Rightarrow \|\cdot \|_{p}\leq \|\cdot \|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|\cdot \|_{p}$, la seconde inégalité se déduisant de l'inégalité de Hölder.
3. $u$ est une similitude directe de rapport ${\sqrt {2}}$ donc $|\!|\!|u|\!|\!|={\sqrt {2}}$
4. • Pour $\|\cdot \|_{\infty }$, $|\!|\!|u|\!|\!|=\max _{|x|,|y|\leq 1}\max(|x+y|,|x-y|)=\max _{0\leq s,t\leq 1}(s+t)=2$.
   • Pour $\|\cdot \|_{1}$, $|\!|\!|u|\!|\!|=\max _{|x|+|y|\leq 1}(|x+y|+|x-y|)=\max _{0\leq t\leq s,\;s+t\leq 1}(s+t+s-t)=2$.

 

Exercice 2-4 : quelques normes sur les polynômes

1. Montrer que les applications suivantes sont des normes sur l'espace $\mathbb {R} [X]$ des polynômes réels :
   • $P\mapsto \|P\|_{1}=\int _{0}^{1}|P(t)|\;\mathrm {d} t$ ;
   • $P\mapsto |P(0)|+\|P'\|_{1}$ ;
   • $P\mapsto \|P\|_{\infty }=\sup\{|P(t)|\mid t\in [0,1]\}$.
2. Soient $x_{0},\dots ,x_{n}$, $n+1$ nombres réels distincts. Montrer que pour tout $p\in \left[1,+\infty \right]$, l'application suivante est une norme sur le sous-espace $\mathbb {R} _{n}[X]$ des polynômes de degré au plus $n$ :

   $P\mapsto \|\left(P(x_{0}),\dots ,P(x_{n})\right)\|_{p}$, où $\|\cdot \|_{p}$ est la norme $\ell ^{p}$ sur $\mathbb {R} ^{n+1}$.

3. Montrer que pour tout $n\in \mathbb {N}$, il existe une constante $C_{n}$ (qu'on ne demande pas d'expliciter) telle que :

   $\forall P\in \mathbb {R} _{n}[X]\quad \|P\|_{\infty }\leq C_{n}\|P\|_{1}$.

4. Est-ce encore vrai sur $\mathbb {R} [X]$ ? (On pourra considérer la suite des polynômes $X^{n}$.)

Solution

1. • $\|\cdot \|_{1}$ est même une norme sur l'espace des fonctions intégrables de $\left[0,1\right]$ dans $\mathbb {R}$, dont $\mathbb {R} [X]$ s'identifie à un sous-espace.
   • $P\mapsto |P(0)|+\|P'\|_{1}$ est une semi-norme (c.-à-d. qu'elle est positivement homogène et sous-additive) car les deux applications dont elle est la somme sont semi-normes. En effet, plus généralement, la composée d'une semi-norme et d'une application linéaire est une semi-norme. De plus, si $|P(0)|+\|P'\|_{1}=0$ alors $P(0)=0$ et $P'=0$ donc $P=P(0)=0$.
   • $\|\cdot \|_{\infty }$ est même une norme sur l'espace des fonctions bornées de $\left[0,1\right]$ dans $\mathbb {R}$. En effet, c'est une semi-norme (comme sup d'une famille d'applications qui, par le principe général énoncé au point précédent, sont des semi-normes) et elle ne s'annule qu'en 0.
2. C'est une semi-norme (toujours par le même principe général) et elle ne s'annule qu'en 0, car si $P\in \mathbb {R} _{n}[X]$ a $n+1$ racines distinctes alors $P=0$.
3. Sur $\mathbb {R} _{n}[X]$, toutes les normes sont équivalentes.
4. Non car $\|X^{n}\|_{\infty }=1$ tandis que $\|X^{n}\|_{1}={\frac {1}{n+1}}$.

 

Exercice 2-5 : extrema d'une fonction continue

Soit $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ une application continue, admettant à l'infini une limite $L$ (finie ou infinie) :

$\lim _{\|x\|\to +\infty }f(x)=L\in \left[-\infty ,+\infty \right]$.

On pose $m:=\inf \left(\operatorname {Im} f\right)\in \left[-\infty ,+\infty \right[$ et $M:=\sup \left(\operatorname {Im} f\right)\in \left]-\infty ,+\infty \right]$ (donc $m\leq L\leq M$).

1. Montrer que si $m<L$, alors la valeur $m$ est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
2. En déduire que (sans cette hypothèse) $f$ admet un extremum.
3. En déduire également que si $L$ est finie, alors $f$ est bornée.

(Ceci généralise les exercices 3 et (en partie) 2 de Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité.)

Solution

1. Soit $m'$ strictement compris entre $m$ et $L$. Puisque $m'<L$, on a $f(x)\geq m'$ pour tout $x\in \mathbb {R} ^{n}$ de norme suffisamment grande, disons supérieure à un certain réel $R$. Puisque $m'>m$, $m$ est aussi la borne inférieure de $f$ restreinte à la boule fermée ${\overline {B}}(0,R)$. Puisque cette boule est compacte et que $f$ est continue, cette borne inférieure est atteinte.
2. Si $m<L$ alors $f$ a un minimum. De même, si $M>L$ alors $f$ a un maximum (en raisonnant sur $-f$). Enfin, si $m=M$ alors $f$ est constante.
3. D'après la question 1, si $m<L$ alors $m>-\infty$. Si $m=L$ (supposée finie), on a aussi $m>-\infty$. Donc $f$ est minorée. On démontre de même (ou on le déduit en remplaçant $f$ par $-f$) que $f$ est majorée.