Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites

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Suites extraites

Définition

On dit que $(v_{p})$ est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite $(u_{n})$ s'il existe une application $\phi :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ strictement croissante telle que $\forall p\in \mathbb {N} \quad v_{p}=u_{\phi (p)}$.

Limites de suites extraites

Début d’un théorème

Théorème

Si une suite admet une limite $\ell$ (finie ou infinie) alors toutes ses suites extraites ont pour limite $\ell$.

Fin du théorème

Corollaire

Si deux suites extraites de $(u_{n})$ ont deux limites différentes, alors $(u_{n})$ diverge.

Début de l'exemple

Exemple

La suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ définie par

$u_{n}={\frac {1}{n}}+(-1)^{n}$

diverge car $u_{2k}={\frac {1}{2k}}+1\to 1$ et $u_{2k+1}={\frac {1}{2k+1}}-1\to -1$.

Fin de l'exemple

Suite extraite d'une suite bornée

Début d’un théorème

Théorème

De toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente.

Fin du théorème