« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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Soit <math>P</math> une solution non nulle.
Soit <math>P</math> une solution non nulle.

Remarquons d'abord que son coefficient dominant est nécessairement égal à <math>1</math>. Cherchons ensuite ses racines.


Soit <math>\lambda</math> une racine de <math>P</math>. Alors :
Soit <math>\lambda</math> une racine de <math>P</math>. Alors :
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*D'après <math>(1)</math>, tous les <math>\lambda^{2^n}\;(n\in\N)</math> sont racines de <math>P</math> donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que <math>\lambda</math> est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
*D'après <math>(1)</math>, tous les <math>\lambda^{2^n}\;(n\in\N)</math> sont racines de <math>P</math> donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que <math>\lambda</math> est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
*D'après <math>(2)</math>, <math>\lambda-1</math> est donc aussi nul ou de module 1 ;
*D'après <math>(2)</math>, <math>\lambda-1</math> est donc aussi nul ou de module 1 ;
*Par conséquent, <math>\lambda\in\{0,1,-\mathrm j^2,-\mathrm j\}</math>. Mais si <math>\lambda=-\mathrm j</math> alors <math>(\lambda-1)^2=\mathrm j\notin\{0,1,-\mathrm j^2,-\mathrm j\}</math>. Donc (d'après <math>(2)</math>) <math>\lambda\ne-\mathrm j</math>. De même, <math>\lambda\ne-\mathrm j^2</math>.
*Par conséquent, <math>\lambda\in\{0,1,-\mathrm j^2,-\mathrm j\}</math> donc aussi (d'après <math>(1)</math>) <math>\lambda^2\in\{0,1,-\mathrm j^2,-\mathrm j\}</math>.
Finalement, les seules racines possibles de <math>P</math> sont <math>0</math> et <math>1</math>.
Finalement, les seules racines possibles de <math>P</math> sont <math>0</math> et <math>1</math>.


Soit <math>P=X^p(X-1)^q</math> avec <math>p,q\in\N</math>. Alors, <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)\Leftrightarrow X^{2p}(X-1)^{2q}=X^p(X-1)^q(X+1)^pX^q\Leftrightarrow p=q </math>
Soit <math>P=aX^p(X-1)^q</math> avec <math>p,q\in\N</math> et <math>a\in\C^*</math>. Alors, <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)\Leftrightarrow aX^{2p}(X-1)^{2q}=a^2X^p(X-1)^q(X+1)^pX^q\Leftrightarrow a=1\text{ et }p=q</math>.


Les solutions sont donc : <math>P=0</math> ou <math>P</math> est de la forme <math>P(X) = (X^2-X)^n \text{, avec } n \in \N</math>.
Les solutions sont donc : <math>P=0</math> ou <math>P(X)=(X^2-X)^n\text{ avec }n\in\N</math>.
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Version du 23 août 2018 à 10:38

Racines de polynômes
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Exercices no1
Leçon : Polynôme

Exercices de niveau 14.

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Polynôme/Exercices/Racines de polynômes
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Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes tels que .

Exercice 1-2

On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.

  1. Montrer que est fini.
  2. Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
  3. Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.

Exercice 1-3

Déterminer les polynômes tels que .

Exercice 1-4

Soit . Montrer que :

  1. a une unique réelle  ;
  2. .
  3. Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
  4. En déduire que .
  5. Calculer .