« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
→Exercice 1-3 : Simplif |
→Exercice 1-1 : rectif (cf. pdd) et simplif |
||
Ligne 9 : | Ligne 9 : | ||
== Exercice 1-1 == |
== Exercice 1-1 == |
||
Trouver tous les polynômes <math> |
Trouver tous les polynômes <math>P\in\C[X]</math> tels que <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)</math>. |
||
{{Solution|contenu= |
{{Solution|contenu= |
||
Soit <math> |
Soit <math>P</math> une solution non nulle. |
||
On a <math>P(\lambda^2) = P(\lambda)P(\lambda + 1) = 0</math>. |
|||
Remarquons d'abord que son coefficient dominant est nécessairement égal à <math>1</math>. Cherchons ensuite ses racines. |
|||
Donc <math>P</math> est le polynôme nul. |
|||
Soit <math>\lambda</math> une racine de <math>P</math>. Alors : |
|||
Donc tout polynôme non nul satisfaisant cette équation n'admet comme racine éventuelle que 1, -1 et 0. |
|||
*<math>P(\lambda^2) = P(\lambda)P(\lambda + 1) = 0\quad(1)</math> et <math>P((\lambda-1)^2) = P(\lambda-1)P(\lambda) = 0\quad(2)</math> ; |
|||
*D'après <math>(1)</math>, tous les <math>\lambda^{2^n}\;(n\in\N)</math> sont racines de <math>P</math> donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que <math>\lambda</math> est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ; |
|||
*D'après <math>(2)</math>, <math>\lambda-1</math> est donc aussi nul ou de module 1 ; |
|||
*Par conséquent, <math>\lambda\in\{0,1,-\mathrm j^2,-\overline\mathrm j\}</math>. Mais si <math>\lambda=-\mathrm j</math> alors <math>(\lambda-1)^2=\mathrm j\notin\{0,1,-\mathrm j^2,-\overline{\mathrm j}\}</math>. Donc (d'après <math>(2)</math>) <math>\lambda\ne-\mathrm j</math>. De même, <math>\lambda\ne-\mathrm j^2</math>. |
|||
Finalement, les seules racines possibles de <math>P</math> sont <math>0</math> et <math>1</math>. |
|||
Soit <math>P=X^p(X-1)^q</math> avec <math>p,q\in\N</math>. Alors, <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)\Leftrightarrow X^{2p}(X-1)^{2q}=X^p(X-1)^q(X+1)^pX^q\Leftrightarrow p=q </math> |
|||
Les solutions sont donc : <math>P=0</math> ou <math>P</math> est de la forme <math>P(X) = (X^2-X)^n \text{, avec } n \in \N</math>. |
|||
<math>P(X^2) = a X^{2 n_1}(X^2 -1)^{n_2}(X^2 +1)^{n_3} = a X^{2 n_1}(X-1)^{n_2}(X+1)^{n_2}(X-i)^{n_3}(X+i)^{n_3}</math> |
|||
<math>P(X)P(X+1) = a^2 X^{n_1 + n_2}(X-1)^{n_2}(X+1)^{n_3 + n_1}(X+2)^{n_3}</math> |
|||
Par identification, on obtient le système : |
|||
<math>\begin{cases} a = a^2 \\ 2 n_1 = n_1 + n_2 \\ n_2 = n_2 \\ n_2 = n_3 + n_1 \\ n_3 = 0 \end{cases}</math> |
|||
<math>\Leftrightarrow</math> |
|||
<math>\begin{cases} a = 1 \text{ ou } 0 \\ n_1 = n_2 \\ n_3 = 0 \end{cases}</math> |
|||
Donc <math>P</math> est nul ou <math>P</math> est de la forme <math>P(X) = (X^2-X)^n \text{, avec } n \in \N</math> |
|||
Réciproquement, les polynômes de cette forme vérifient bien l'équation : |
|||
<math>P(X)P(X+1) = (X^2 - X)^n ((X+1)^2-(X+1))^n = (X^2 - X)^n (X^2+2X+1-X-1)^n = X^{2n} (X^2-1)^n = P(X^2)</math> |
|||
}} |
}} |
||
Version du 23 août 2018 à 07:21
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une solution non nulle.
Remarquons d'abord que son coefficient dominant est nécessairement égal à . Cherchons ensuite ses racines.
Soit une racine de . Alors :
- et ;
- D'après , tous les sont racines de donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
- D'après , est donc aussi nul ou de module 1 ;
- Par conséquent, . Mais si alors . Donc (d'après ) . De même, .
Finalement, les seules racines possibles de sont et .
Soit avec . Alors,
Les solutions sont donc : ou est de la forme .
Exercice 1-2
On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.
- D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
- car .
- Soit une racine non nulle d'un élément de . D'après la question 2, les pour sont aussi des racines d'éléments de et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc distincts tels que .
Exercice 1-3
Déterminer les polynômes tels que .
Puisque est premier avec , un polynôme est solution si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
De même, est solution de l'équation précédente si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
Et ainsi de suite. Finalement, est solution si et seulement si pour un tel que .
Les solutions sont donc les polynômes de la forme avec .
Exercice 1-4
Soit . Montrer que :
- a une unique réelle ;
- .
- Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
- En déduire que .
- Calculer .
- Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré (continue, et de limite en ) est strictement positive sur et strictement croissante sur . Elle s'annule donc exactement une fois.
- donc .
- De on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : et .
- donc , et .
- .