« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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== Exercice 1-3 == |
== Exercice 1-3 == |
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Déterminer les polynômes <math>P |
Déterminer les polynômes <math>P\in\C[X]</math> tels que <math>XP(X+1)=(X+4)P(X)</math>. |
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{{Solution|contenu= |
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Puisque <math>X</math> est premier avec <math>X+4</math>, un polynôme <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=XQ</math> pour un <math>Q\in\C[X]</math> tel que <math>X(X+1)Q(X+1)=(X+4)XQ(X)</math>, c.-à-d. <math>(X+1)Q(X+1)=(X+4)Q(X)</math>. |
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* Si <math>a \in \C\setminus \N</math> est racine de <math>P</math>, alors l’ensemble des racines de <math>P</math> contient <math>a\N</math>, ce qui est impossible, l’ensemble des racines de <math>P</math> étant fini. |
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* Si <math>n\in\N^*</math> est racine de <math>P</math>, on abouti à la même contradiction. |
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* Si <math>n\in\Z,\, n \leq 0</math> est racine de <math>P</math>, alors l’ensemble des racines de <math>P</math> contient <math>\left\{n, n+1, \ldots, 0\right\}</math>. |
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De même, <math>Q</math> est solution de l'équation précédente si et seulement si <math>Q=(X+1)R</math> pour un <math>R\in\C[X]</math> tel que <math>(X+1)(X+2)R(X+1)=(X+4)(X+1)R(X)</math>, c.-à-d. <math>(X+2)R(X+1)=(X+4)R(X)</math>. |
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Et ainsi de suite. Finalement, <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=X(X+1)(X+2)(X+3)T</math> pour un <math>T\in\C[X]</math> tel que <math>T(X+1)=T(X)</math>. |
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Comme <math>P\in\C[X]</math>, <math>P</math> est scindé, on a alors : |
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: <math>P = \alpha \prod_{k = 0}^{n} (X+k)</math>. |
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Les solutions <math>P</math> sont donc les polynômes de la forme <math>aX(X+1)(X+2)(X+3)</math> avec <math>a\in\C</math>. |
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: <math>X \prod_{k=0}^{n} (X+1+k) = (X+4) \prod_{k = 0}^{n} (X+k)</math> |
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: <math>(X+1+n) = (X+4)</math> |
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Donc nécessairement <math>n = 3</math>. |
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Réciproquement on vérifie que tout polynôme <math>P = \alpha X(X+1)(X+2)(X+3)</math> convient. |
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Version du 23 août 2018 à 06:17
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une racine de . On a .
Si admet une infinité de racines. Donc est le polynôme nul.
Donc tout polynôme non nul satisfaisant cette équation n'admet comme racine éventuelle que 1, -1 et 0.
Si , avec a un scalaire, .
Par identification, on obtient le système :
Donc est nul ou est de la forme
Réciproquement, les polynômes de cette forme vérifient bien l'équation :
Exercice 1-2
On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.
- D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
- car .
- Soit une racine non nulle d'un élément de . D'après la question 2, les pour sont aussi des racines d'éléments de et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc distincts tels que .
Exercice 1-3
Déterminer les polynômes tels que .
Puisque est premier avec , un polynôme est solution si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
De même, est solution de l'équation précédente si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
Et ainsi de suite. Finalement, est solution si et seulement si pour un tel que .
Les solutions sont donc les polynômes de la forme avec .
Exercice 1-4
Soit . Montrer que :
- a une unique réelle ;
- .
- Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
- En déduire que .
- Calculer .
- Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré (continue, et de limite en ) est strictement positive sur et strictement croissante sur . Elle s'annule donc exactement une fois.
- donc .
- De on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : et .
- donc , et .
- .