« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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== Exercice 1-3 ==
== Exercice 1-3 ==
Déterminer les polynômes <math>P \in \C[X]</math> tels que <math>\left.X P(X+1) = (X+4) P(X)\right.</math>.
Déterminer les polynômes <math>P\in\C[X]</math> tels que <math>XP(X+1)=(X+4)P(X)</math>.
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Supposons que <math>a\in\C,\, a\not=0</math> soit une racine de <math>P</math>, alors <math>a P(a+1) = (a+4) P(a) = 0</math>, donc <math>P(a+1) = 0</math>, ainsi <math>a+1</math> est une racine de <math>P</math>.
Puisque <math>X</math> est premier avec <math>X+4</math>, un polynôme <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=XQ</math> pour un <math>Q\in\C[X]</math> tel que <math>X(X+1)Q(X+1)=(X+4)XQ(X)</math>, c.-à-d. <math>(X+1)Q(X+1)=(X+4)Q(X)</math>.
* Si <math>a \in \C\setminus \N</math> est racine de <math>P</math>, alors l’ensemble des racines de <math>P</math> contient <math>a\N</math>, ce qui est impossible, l’ensemble des racines de <math>P</math> étant fini.
* Si <math>n\in\N^*</math> est racine de <math>P</math>, on abouti à la même contradiction.
* Si <math>n\in\Z,\, n \leq 0</math> est racine de <math>P</math>, alors l’ensemble des racines de <math>P</math> contient <math>\left\{n, n+1, \ldots, 0\right\}</math>.


Notons <math>-n</math> la plus petite racine de <math>P</math>, nécessairement les racines de <math>P</math> sont exactement <math>-n</math>, <math>-n+1</math>, ..., <math>0</math>.
De même, <math>Q</math> est solution de l'équation précédente si et seulement si <math>Q=(X+1)R</math> pour un <math>R\in\C[X]</math> tel que <math>(X+1)(X+2)R(X+1)=(X+4)(X+1)R(X)</math>, c.-à-d. <math>(X+2)R(X+1)=(X+4)R(X)</math>.


Et ainsi de suite. Finalement, <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=X(X+1)(X+2)(X+3)T</math> pour un <math>T\in\C[X]</math> tel que <math>T(X+1)=T(X)</math>.
Comme <math>P\in\C[X]</math>, <math>P</math> est scindé, on a alors :
: <math>P = \alpha \prod_{k = 0}^{n} (X+k)</math>.


L'égalité <math>X P(X+1) = (X+4) P(X)</math> s'écrit :
Les solutions <math>P</math> sont donc les polynômes de la forme <math>aX(X+1)(X+2)(X+3)</math> avec <math>a\in\C</math>.
: <math>X \prod_{k=0}^{n} (X+1+k) = (X+4) \prod_{k = 0}^{n} (X+k)</math>
: <math>(X+1+n) = (X+4)</math>

Donc nécessairement <math>n = 3</math>.

Réciproquement on vérifie que tout polynôme <math>P = \alpha X(X+1)(X+2)(X+3)</math> convient.
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Version du 23 août 2018 à 06:17

Racines de polynômes
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Exercices no1
Leçon : Polynôme

Exercices de niveau 14.

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Polynôme/Exercices/Racines de polynômes
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Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes tels que .

Exercice 1-2

On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.

  1. Montrer que est fini.
  2. Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
  3. Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.

Exercice 1-3

Déterminer les polynômes tels que .

Exercice 1-4

Soit . Montrer que :

  1. a une unique réelle  ;
  2. .
  3. Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
  4. En déduire que .
  5. Calculer .