En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonction exponentielle : Croissances comparées Fonction exponentielle/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On a vu que la fonction est strictement croissante sur . On va montrer que quand tend vers , tend vers « très vite » : plus vite que , pour tout entier .
Pour formaliser cela, on étudie la limite , qui est une forme indéterminée .
Début d’un théorème
Croissances comparées en
.
Fin du théorème
Démonstration
Pour tout entier naturel et tout réel ,
donc donc .
Puisque , donc par comparaison, .
(Pour le cas , une autre méthode est proposée en exercice.)
Comparaison entre ex et x en - ∞
On en déduit la limite , qui est une forme indéterminée .
Croissances comparées en
.
Démonstration
Qand , donc .
En résumé
Quand on a une forme indéterminée produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».