Polynôme/Exercices/Racines de polynômes

Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes $P$ tels que $P(X^{2})=P(X)P(X+1)$.

Solution

Soit $\lambda$ une racine de $P$. On a $P(\lambda ^{2})=P(\lambda )P(\lambda +1)=0$.

Si $\left|\lambda \right|\notin \{0,1\},P$ admet une infinité de racines. Donc $P$ est le polynôme nul.

Donc tout polynôme non nul satisfaisant cette équation n'admet comme racine éventuelle que 1, -1 et 0.

Si $P(X)=aX^{n_{1}}(X-1)^{n_{2}}(X+1)^{n_{3}}$, avec a un scalaire, $n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {N}$.

$P(X^{2})=aX^{2n_{1}}(X^{2}-1)^{n_{2}}(X^{2}+1)^{n_{3}}=aX^{2n_{1}}(X-1)^{n_{2}}(X+1)^{n_{2}}(X-i)^{n_{3}}(X+i)^{n_{3}}$

$P(X)P(X+1)=a^{2}X^{n_{1}+n_{2}}(X-1)^{n_{2}}(X+1)^{n_{3}+n_{1}}(X+2)^{n_{3}}$

Par identification, on obtient le système :

${\begin{cases}a=a^{2}\\2n_{1}=n_{1}+n_{2}\\n_{2}=n_{2}\\n_{2}=n_{3}+n_{1}\\n_{3}=0\end{cases}}$ $\Leftrightarrow$ ${\begin{cases}a=1{\text{ ou }}0\\n_{1}=n_{2}\\n_{3}=0\end{cases}}$

Donc $P$ est nul ou $P$ est de la forme $P(X)=(X^{2}-X)^{n}{\text{, avec }}n\in \mathbb {N}$

Réciproquement, les polynômes de cette forme vérifient bien l'équation :

$P(X)P(X+1)=(X^{2}-X)^{n}((X+1)^{2}-(X+1))^{n}=(X^{2}-X)^{n}(X^{2}+2X+1-X-1)^{n}=X^{2n}(X^{2}-1)^{n}=P(X^{2})$

 

Exercice 1-2

On note $E_{n}$ l’ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ de $\mathbb {Z} [X]$ dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.

1. Montrer que $E_{n}$ est fini.
2. Soit $P=\prod _{k=1}^{n}(X-z_{k})$ un élément de $E_{n}$. On note $Q$ le polynôme $\prod _{k=1}^{n}(X-z_{k}^{2})$. Montrer que $Q\in E_{n}$.
3. Montrer que les racines non nulles des éléments de $E_{n}$ sont des racines de l'unité.

Solution

1. D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
2. $Q\in \mathbb {Z} [X]$ car $(-1)^{n}Q(X^{2})=P(X)P(-X)$.
3. Soit $z$ une racine non nulle d'un élément de $E_{n}$. D'après la question 2, les $z^{2^{p}}$ pour $p\in \mathbb {N}$ sont aussi des racines d'éléments de $E_{n}$ et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc $p,q\in \mathbb {N}$ distincts tels que $z^{2^{p}}=z^{2^{q}}$.

 

Exercice 1-3

Déterminer les polynômes $P\in \mathbb {C} [X]$ tels que $\left.XP(X+1)=(X+4)P(X)\right.$.

Solution

Supposons que $a\in \mathbb {C} ,\,a\not =0$ soit une racine de $P$, alors $aP(a+1)=(a+4)P(a)=0$, donc $P(a+1)=0$, ainsi $a+1$ est une racine de $P$.

• Si $a\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N}$ est racine de $P$, alors l’ensemble des racines de $P$ contient $a\mathbb {N}$, ce qui est impossible, l’ensemble des racines de $P$ étant fini.
• Si $n\in \mathbb {N} ^{*}$ est racine de $P$, on abouti à la même contradiction.
• Si $n\in \mathbb {Z} ,\,n\leq 0$ est racine de $P$, alors l’ensemble des racines de $P$ contient $\left\{n,n+1,\ldots ,0\right\}$.

Notons $-n$ la plus petite racine de $P$, nécessairement les racines de $P$ sont exactement $-n$, $-n+1$, ..., $0$.

Comme $P\in \mathbb {C} [X]$, $P$ est scindé, on a alors :

$P=\alpha \prod _{k=0}^{n}(X+k)$.

L'égalité $XP(X+1)=(X+4)P(X)$ s'écrit :

$X\prod _{k=0}^{n}(X+1+k)=(X+4)\prod _{k=0}^{n}(X+k)$

$(X+1+n)=(X+4)$

Donc nécessairement $n=3$.

Réciproquement on vérifie que tout polynôme $P=\alpha X(X+1)(X+2)(X+3)$ convient.

 

Exercice 1-4

Soit $P(X)=X^{3}-X+1$. Montrer que :

1. $P$ a une unique réelle $\alpha$ ;
2. $\alpha <-1$.
3. Soient $\beta ,\gamma \in \mathbb {C}$ les deux autres racines de $P$. Exprimer $\beta +\gamma$ et $\beta \gamma$ en fonction de $\alpha$.
4. En déduire que $|\beta |=|\gamma |<1$.
5. Calculer $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}$.

Solution

1. Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré $x\mapsto x^{3}-x+1$ (continue, et de limite $-\infty$ en $-\infty$) est strictement positive sur $\left[-1/{\sqrt {3}},+\infty \right[$ et strictement croissante sur $\left]-\infty ,-1/{\sqrt {3}}\right]$. Elle s'annule donc exactement une fois.
2. $\alpha <-1/{\sqrt {3}}<-1$.
3. De $X^{3}-X+1=(X-\alpha )(X-\beta )(X-\gamma )$ on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : $\beta +\gamma =-\alpha$ et $\beta \gamma =-1/\alpha$.
4. $\beta +\gamma ,\beta \gamma \in \mathbb {R}$ donc $\gamma ={\overline {\beta }}$, et $|\beta |^{2}=|\gamma |^{2}=-1/\alpha <1$.
5. $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=\alpha ^{2}+\left(\beta +\gamma \right)^{2}-2\beta \gamma =2\alpha ^{2}+2/\alpha =2{\frac {\alpha ^{3}+1}{\alpha }}=2$.