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Version du 6 octobre 2017 à 12:52
Dans cette leçon, nous allons étudier quelques méthodes particulières de résolution des équations du quatrième degré. Nous attirons d'emblée l'attention du lecteur sur le fait que ces méthodes ne marchent que dans des cas très particuliers. L'avantage de ces méthodes sur les méthodes générales que nous verrons dans les chapitres suivants sera qu’elles sont plus simples à utiliser et donnent la plupart du temps les racines sous une forme plus agréable.
Résolution par la recherche d'une racine évidente
Nous commençons par rechercher une racine évidente et une fois celle-ci trouvée, nous nous ramenons, grâce à elle, à la résolution d’une équation du troisième degré.
Recherche d'une racine évidente (12)
Rechercher une racine évidente, c’est essayer de trouver une racine sans utiliser de méthodes sophistiquées. On essaye de remplacer x par des nombres simples jusqu'à ce que l’équation soit vérifiée. Heureusement, cette recherche est facilitée par la propriété suivante :
Si l'équation à coefficients entiers :
admet une racine sous forme de fraction irréductible p/q, alors p divise e et q divise a.
En posant x=p/q, on a :
On obtiens alors :
Du fait que pgcd(p,q) = 1 et par le lemme de gauss (arithmétique) on en déduit :
De même :
Par exemple, pour l’équation :
Nous essayerons seulement les nombres : 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, qui sont les diviseurs du terme constant 6.
Pour l’équation :
Nous rajouterons, en plus des nombres précédents, les nombres :
Factorisation du premier membre (12)
Soit l'équation :
supposons que l’on ait réussit à lui trouver une racine simple sous la forme :
On peut alors utiliser le théorème suivant :
Si l’équation :
admet une racine sous la forme :
elle peut alors se factoriser sous la forme :
Avec Q(x) polynôme du troisième degré.
Posons :
Effectuons la division euclidienne de P(x) par qx - p. Il existe un unique polynôme Q(x) et un unique polynôme R(x) tel que :
Avec :
On en déduit que le degré de R(x) est 0 et par conséquent R(x) est une constante r.
On aura donc :
Calculons la constante r. Pour cela, remplaçons x par p/q.
Soit :
On obtient donc :
L'équation :
Se factorise donc sous la forme :
De plus de la relation :
On déduit :
Et donc :
Il ne nous reste plus qu’à résoudre l'équation :
qui est du troisième degré pour trouver les trois racines manquantes.
On aura ainsi complètement résolu une équation du quatrième degré.
Équation bicarrée du quatrième degré
L'équation :
Sera dite équation bicarrée du quatrième degré si :
L'usage veut qu'on la note plus simplement :
Les équations bicarrées du quatrième degré :
se résolvent simplement en posant :
Nous voyons qu’elles s'écrivent alors :
Et nous nous sommes simplement ramenés à la résolution d'une équation de second degré.
Par le changement de variable :
l'équation :
se ramènera à une équation bicarrée du quatrième degré si et seulement si :
Faisons le changement de variable :
L'équation devient :
Qui après développement et simplification nous donne :
Comme :
Il nous reste :
Qui est bien une équation bicarrée du quatrième degré.
Équations réciproques du quatrième degré
Équations symétriques
Elles sont de la forme :
En divisant tous les termes par x2, on obtient :
Que l’on peut écrire :
Posons alors :
On a alors :
L'équation devient alors :
C'est-à-dire :
Et nous nous sommes ramenés à une équation du second degré qui nous donnera deux valeurs pour z. En portant respectivement ces deux valeurs de z dans :
Nous obtiendrons deux équations du second degré de la forme :
Chacune des deux équations nous donnant deux valeurs de x. Soit en tout quatre valeurs de x qui sont les solutions de l'équation que l’on avait à résoudre initialement.
Équations antisymétriques
Elles sont de la forme :
En divisant tous les termes par x2, on obtient :
Que l’on peut écrire :
Posons alors :
On a alors :
L'équation devient alors :
C'est-à-dire :
Et nous nous sommes ramenés à une équation du second degré qui nous donnera deux valeurs pour z. En portant respectivement ces deux valeurs de z dans :
Nous obtiendrons deux équations du second degré de la forme :
Chacune des deux équations nous donnant deux valeurs de x. Soit en tout quatre valeurs de x qui sont les solutions de l'équation que l’on avait à résoudre initialement.
Équations quasisymétriques
Elles généralisent les deux cas précédents et répondent à la définition suivante :
L'équation du quatrième degré :
sera dite quasisymétrique (ou plus simplement réciproque) si elle vérifie la condition :
avec b non nul.
Nous voyons que ces équation peuvent s'écrire :
En divisant tous les termes par x2, on obtient :
Que l’on peut écrire :
Posons alors :
On a alors :
L'équation devient alors :
C'est-à-dire :
Et nous nous sommes ramenés à une équation du second degré qui nous donnera deux valeurs pour z. En portant respectivement ces deux valeurs de z dans :
Nous obtiendrons deux équations du second degré de la forme :
Chacune des deux équations nous donnant deux valeurs de x. Soit en tout quatre valeurs de x qui sont les solutions de l'équation que l’on avait à résoudre initialement.