« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions
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== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ == |
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On a vu que la fonction <math>\exp</math> est strictement croissante sur <math>\R</math>. On va montrer que quand <math>x</math> tend vers <math>+\infty</math>, <math>\mathrm e^x</math> tend vers <math>+\infty</math> « très vite » : plus vite que <math>x^n</math>, pour tout entier <math>n</math>. |
On a vu que la fonction <math>\exp</math> est strictement croissante sur <math>\R</math>. On va montrer que quand <math>x</math> tend vers <math>+\infty</math>, <math>\mathrm e^x</math> tend vers <math>+\infty</math> « très vite » : plus vite que <math>x^n</math>, pour tout entier <math>n</math>. |
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== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en - ∞ == |
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On en déduit la limite <math>\lim_{x\to-\infty}x^n\mathrm e^x</math>, qui est une forme indéterminée <math>\pm\infty\times 0^+ </math>. |
On en déduit la limite <math>\lim_{x\to-\infty}x^n\mathrm e^x</math>, qui est une forme indéterminée <math>\pm\infty\times 0^+ </math>. |
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== En résumé == |
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Quand on a une forme indéterminée produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ». |
Quand on a une forme indéterminée produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ». |
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Version du 1 août 2017 à 15:31
Comparaison entre ex et x en + ∞
On a vu que la fonction est strictement croissante sur . On va montrer que quand tend vers , tend vers « très vite » : plus vite que , pour tout entier .
Pour formaliser cela, on étudie la limite , qui est une forme indéterminée .
Démonstration
Pour tout entier naturel et tout réel ,
donc donc .
Puisque , donc par comparaison, .
(Pour le cas , une autre méthode est proposée en exercice.)
Comparaison entre ex et x en - ∞
On en déduit la limite , qui est une forme indéterminée .
Démonstration
Qand , donc .
En résumé
Quand on a une forme indéterminée produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».