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== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ ==
== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ ==
On a vu que la fonction <math>\exp</math> est strictement croissante sur <math>\R</math>. On va montrer que quand <math>x</math> tend vers <math>+\infty</math>, <math>\mathrm e^x</math> tend vers <math>+\infty</math> « très vite » : plus vite que <math>x^n</math>, pour tout entier <math>n</math>.
On a vu que la fonction <math>\exp</math> est strictement croissante sur <math>\R</math>. On va montrer que quand <math>x</math> tend vers <math>+\infty</math>, <math>\mathrm e^x</math> tend vers <math>+\infty</math> « très vite » : plus vite que <math>x^n</math>, pour tout entier <math>n</math>.
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== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en - ∞ ==
== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en - ∞ ==
On en déduit la limite <math>\lim_{x\to-\infty}x^n\mathrm e^x</math>, qui est une forme indéterminée <math>\pm\infty\times 0^+ </math>.
On en déduit la limite <math>\lim_{x\to-\infty}x^n\mathrm e^x</math>, qui est une forme indéterminée <math>\pm\infty\times 0^+ </math>.


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== En résumé ==
== En résumé ==
Quand on a une forme indéterminée produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».
Quand on a une forme indéterminée produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».



Version du 1 août 2017 à 15:31

Début de la boite de navigation du chapitre
Croissances comparées
Icône de la faculté
Chapitre no 5
Leçon : Fonction exponentielle
Chap. préc. :Étude de la fonction exponentielle
Chap. suiv. :Dérivée de exp(u)

Exercices :

Croissances comparées
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonction exponentielle : Croissances comparées
Fonction exponentielle/Croissances comparées
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Comparaison entre ex et x en + ∞

On a vu que la fonction est strictement croissante sur . On va montrer que quand tend vers , tend vers « très vite » : plus vite que , pour tout entier .

Pour formaliser cela, on étudie la limite , qui est une forme indéterminée .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Comparaison entre ex et x en - ∞

On en déduit la limite , qui est une forme indéterminée .


En résumé

Quand on a une forme indéterminée produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».