« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Contenu supprimé Contenu ajouté
→‎Exercice 2-1 : +1 : densité de GLn
Ligne 15 : Ligne 15 :


== Exercice 2-2 : densité de GL{{ind|''n''}}==
== Exercice 2-2 : densité de GL{{ind|''n''}}==
Soit <math>K=\R</math> ou <math>\C</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni de n'importe quelle [[Espaces vectoriels normés/Définitions - Éléments de Topologie#Norme et distance|norme, toutes étant équivalentes]]), le sous-ensemble <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> des matrices inversibles est dense.
Soit <math>K=\R</math> ou <math>\C</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> des matrices inversibles est dense.
{{Solution|contenu=
{{Solution|contenu=
Soit <math>A\in\mathrm M_n(\C)</math>. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout entier <math>k>N</math>, <math>A-\frac1k\mathrm I_n\in\mathrm{GL}_n(K)</math>, ce qui prouve que <math>A</math> est adhérent à <math>\mathrm{GL}_n(K)</math>.
Soit <math>A\in\mathrm M_n(\C)</math>. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout entier <math>k>N</math>, <math>A-\frac1k\mathrm I_n\in\mathrm{GL}_n(K)</math>, ce qui prouve que <math>A</math> est adhérent à <math>\mathrm{GL}_n(K)</math>.

Version du 22 juillet 2017 à 20:45

Dimension finie
Image logo représentative de la faculté
Exercices no2
Leçon : Espaces vectoriels normés

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Applications linéaires continues
Exo suiv. :Sommaire
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Dimension finie
Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Exercice 2-1

Soit . Montrer que son exponentielle est un polynôme en ou plus généralement, que pour toute fonction d'une variable complexe développable en série entière en , avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de (pour une norme arbitraire fixée sur ).

Exercice 2-2 : densité de GLn

Soit ou . Démontrer que dans (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble des matrices inversibles est dense.