« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions

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| idfaculté = mathématiques
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== Exercice ==
== Exercice ==


<math>E=\mathcal C([-1;1],\R)</math> muni de la norme de la convergence uniforme
<math>E=\mathcal C([-1,1],\R)</math> muni de la norme de la convergence uniforme


<math>\begin{array}{ccccc}
<math>\begin{array}{ccccc}
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\end{array}</math>
\end{array}</math>


Montrer que <math>\varphi\in\mathcal L_c(E)</math> et calculer |||φ|||.
Montrer que <math>\varphi\in\mathcal L(E,\R)</math> et calculer <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|</math>.


{{clr}}
{{clr}}
{{Solution
{{Solution
| contenu =
| contenu =
* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de φ.
* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de <math>\varphi</math>.
* Soit <math>f\in E</math>
* Soit <math>f\in E</math>. On a
:<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\mathrm dt\right|</math>
*:<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\,\mathrm dt\right|</math>
:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\int_{-1}^1\frac{|t\,f(t)|}{1+t^2}\mathrm dt\leq||f||_\infty\int_0^1\frac{2t}{1+t^2}\mathrm dt</math>
*:donc <math>|\varphi(f)|\leq\int_{-1}^1\frac{|t\,f(t)|}{1+t^2}\,\mathrm dt\le\|f\|_\infty\int_0^1\frac{2t}{1+t^2}\,\mathrm dt</math>
:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\ln(2)||f||_\infty</math>
*:donc <math>|\varphi(f)|\le\|f\|_\infty\ln2</math>.
*:Conclusion : <math>\varphi\in\mathcal L(E,\R)</math> et <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|\leq\ln2</math>.

*On pose pour tout <math>n\in\N^*</math> la fonction <math>f_n\in E</math> qui :
{{Encadre
** vaut <math>-1</math> sur <math>\left[-1,-\frac1n\right]</math> ;
| contenu =
<math>\varphi\in\mathcal L_c(E)</math> et <math>|||\varphi|||\leq\ln(2)</math>
** vaut <math>1</math> sur <math>\left[\frac1n,1\right]</math> ;
** est affine sur <math>\left[-\frac1n,\frac1n\right]</math>.
}}
*:On montre que <math>|\varphi(f_n)|\longrightarrow_{n\to+\infty}\ln2</math>.

*:Finalement, <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|=\ln2</math>.
On pose pour tout <math>n\in\mathbb N^*</math> la fonction f<sub>n</sub> de E définie par :
* qui vaut -1 sur <math>\left[-1;-\frac1n\right]</math>
* qui vaut 1 sur <math>\left[\frac1n;1\right]</math>
* affine sur <math>\left[-\frac1n;\frac1n\right]</math>

On montre que <math>|\varphi(f_n)|\longrightarrow_{n \rightarrow + \infty}\ln(2)</math>

{{Encadre
| contenu =
Finalement <math>|||\varphi|||=\ln(2)</math>
}}
}}
}}


{{Bas de page
{{Bas de page
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| idfaculté = mathématiques
| précédent =[[../../|Sommaire]]
| précédent = [[../../|Sommaire]]
| suivant = [[../../|Sommaire]]
| suivant = [[../Dimension finie/]]
}}
}}

Version du 23 juin 2017 à 08:48

Applications linéaires continues
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chapitre du cours : Limites et continuité

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Dimension finie
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Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice

muni de la norme de la convergence uniforme

Montrer que et calculer .