« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions
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== Exercice == |
== Exercice == |
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<math>E=\mathcal C([-1 |
<math>E=\mathcal C([-1,1],\R)</math> muni de la norme de la convergence uniforme |
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<math>\begin{array}{ccccc} |
<math>\begin{array}{ccccc} |
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\end{array}</math> |
\end{array}</math> |
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Montrer que <math>\varphi\in\mathcal |
Montrer que <math>\varphi\in\mathcal L(E,\R)</math> et calculer <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|</math>. |
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| contenu = |
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* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de |
* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de <math>\varphi</math>. |
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* Soit <math>f\in E</math> |
* Soit <math>f\in E</math>. On a |
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:<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\mathrm dt\right|</math> |
*:<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\,\mathrm dt\right|</math> |
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: |
*:donc <math>|\varphi(f)|\leq\int_{-1}^1\frac{|t\,f(t)|}{1+t^2}\,\mathrm dt\le\|f\|_\infty\int_0^1\frac{2t}{1+t^2}\,\mathrm dt</math> |
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: |
*:donc <math>|\varphi(f)|\le\|f\|_\infty\ln2</math>. |
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*:Conclusion : <math>\varphi\in\mathcal L(E,\R)</math> et <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|\leq\ln2</math>. |
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** vaut <math>1</math> sur <math>\left[\frac1n,1\right]</math> ; |
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* qui vaut 1 sur <math>\left[\frac1n;1\right]</math> |
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Version du 23 juin 2017 à 08:48
Exercice
muni de la norme de la convergence uniforme
Montrer que et calculer .
Solution
- La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de .
- Soit . On a
- donc
- donc .
- Conclusion : et .
- On pose pour tout la fonction qui :
- vaut sur ;
- vaut sur ;
- est affine sur .
- On montre que .
- Finalement, .