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== Exercice 1-3== |
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Déterminer les polynômes <math>P \in \C[X]</math> tels que <math>\left.X P(X+1) = (X+4) P(X)\right.</math>. |
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Supposons que <math>a\in\C,\, a\not=0</math> soit une racine de <math>P</math>, alors <math>a P(a+1) = (a+4) P(a) = 0</math>, donc <math>P(a+1) = 0</math>, ainsi <math>a+1</math> est une racine de <math>P</math>. |
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* Si <math>a \in \C\setminus \N</math> est racine de <math>P</math>, alors l’ensemble des racines de <math>P</math> contient <math>a\N</math>, ce qui est impossible, l’ensemble des racines de <math>P</math> étant fini. |
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* Si <math>n\in\N^*</math> est racine de <math>P</math>, on abouti à la même contradiction. |
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* Si <math>n\in\Z,\, n \leq 0</math> est racine de <math>P</math>, alors l’ensemble des racines de <math>P</math> contient <math>\left\{n, n+1, \ldots, 0\right\}</math>. |
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Notons <math>-n</math> la plus petite racine de <math>P</math>, nécessairement les racines de <math>P</math> sont exactement <math>-n</math>, <math>-n+1</math>, ..., <math>0</math>. |
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Comme <math>P\in\C[X]</math>, <math>P</math> est scindé, on a alors : |
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: <math>P = \alpha \prod_{k = 0}^{n} (X+k)</math>. |
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L'égalité <math>X P(X+1) = (X+4) P(X)</math> s'écrit : |
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: <math>X \prod_{k=0}^{n} (X+1+k) = (X+4) \prod_{k = 0}^{n} (X+k)</math> |
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: <math>(X+1+n) = (X+4)</math> |
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Donc nécessairement <math>n = 3</math>. |
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Réciproquement on vérifie que tout polynôme <math>P = \alpha X(X+1)(X+2)(X+3)</math> convient. |
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Version du 21 juin 2017 à 20:45
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une racine de . On a .
Si admet une infinité de racines. Donc est le polynôme nul.
Donc tout polynôme non nul satisfaisant cette équation n'admet comme racine éventuelle que 1, -1 et 0.
Si , avec a un scalaire, .
Par identification, on obtient le système :
Donc est nul ou est de la forme
Réciproquement, les polynômes de cette forme vérifient bien l'équation :
Exercice 1-2
On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines des éléments de sont des racines de l'unité.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Exercice 1-3
Déterminer les polynômes tels que .
Supposons que soit une racine de , alors , donc , ainsi est une racine de .
- Si est racine de , alors l’ensemble des racines de contient , ce qui est impossible, l’ensemble des racines de étant fini.
- Si est racine de , on abouti à la même contradiction.
- Si est racine de , alors l’ensemble des racines de contient .
Notons la plus petite racine de , nécessairement les racines de sont exactement , , ..., .
Comme , est scindé, on a alors :
- .
L'égalité s'écrit :
Donc nécessairement .
Réciproquement on vérifie que tout polynôme convient.