« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions
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== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ == |
== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ == |
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On a vu que la fonction |
On a vu que la fonction <math>\exp</math> est strictement croissante sur <math>\R</math>. On va montrer que quand <math>x</math> tend vers <math>+\infty</math>, <math>\mathrm e^x</math> tend vers <math>+\infty</math> « très vite » : plus vite que <math>x^n</math>, pour tout entier <math>n</math>. |
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Pour formaliser cela, on étudie la limite <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{x^n}</math>, qui est une forme indéterminée <math>\frac{\infty |
Pour formaliser cela, on étudie la limite <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{x^n}</math>, qui est une forme indéterminée <math>\frac{+\infty}{+\infty}</math>. |
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{{Théorème |
{{Théorème |
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<center><math>\forall n\in\N\quad\lim_{x\to-\infty}x^n\mathrm e^x=0</math>.</center> |
<center><math>\forall n\in\N\quad\lim_{x\to-\infty}x^n\mathrm e^x=0</math>.</center> |
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Preuve: |
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<math>\lim\limits_{x\to-\infty} xe^x= \lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{x}{e^{-x}}= -\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{-x}{e^{-x}}</math> |
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{{Démonstration déroulante|contenu= |
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En posant <math>t=-x</math>, on a <math>-\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{-x}{e^{-x}}= - \lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{t}{e^{t}}=- \lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^t}{t}}=0</math> |
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Qand <math>x\to-\infty</math>, <math>y:=-x\to+\infty</math> donc <math>\left|x^n\mathrm e^x\right|=\frac{y^n}{\mathrm e^y}=1\left/\frac{\mathrm e^y}{y^n}\right.\to1\left/+\infty\right.=0^+</math>. |
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== En résumé == |
== En résumé == |
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Quand on a une forme indéterminée produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ». |
Quand on a une forme indéterminée produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ». |
Version du 27 mai 2017 à 13:19
Comparaison entre ex et x en + ∞
On a vu que la fonction est strictement croissante sur . On va montrer que quand tend vers , tend vers « très vite » : plus vite que , pour tout entier .
Pour formaliser cela, on étudie la limite , qui est une forme indéterminée .
Démonstration
Pour tout entier naturel et tout réel ,
donc donc .
Puisque , donc par comparaison, .
(Pour le cas , autre méthode est proposée en exercice.)
Comparaison entre ex et x en - ∞
On en déduit la limite , qui est une forme indéterminée .
Démonstration
Qand , donc .
En résumé
Quand on a une forme indéterminée produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».