Fonction exponentielle/Croissances comparées

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Comparaison entre e^x et x en + ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur $\mathbb {R}$ et tend vers $+\infty$ quand x tend vers $+\infty$. On va montrer qu'elle croît « très vite » : plus vite que $x^{n}$, pour tout entier $n$.

Pour formaliser cela, on étudie la limite $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}$, qui est une forme indéterminée ${\frac {\infty }{\infty }}$.

Début d’un théorème

Croissances comparées en $+\infty$

$\forall n\in \mathbb {N} \quad \lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}=+\infty$.

Fin du théorème

Démonstration

Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x>0$,

${\sqrt[{n+1}]{\mathrm {e} ^{x}}}=\mathrm {e} ^{\frac {x}{n+1}}\geq 1+{\frac {x}{n+1}}>{\frac {x}{n+1}}$ donc $\mathrm {e} ^{x}>\left({\frac {x}{n+1}}\right)^{n+1}=Cx^{n+1}$ donc ${\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}>Cx$.

Puisque $C>0$, $\lim _{x\to +\infty }Cx=+\infty$ donc par comparaison, $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}=+\infty$.

(Pour le cas $n=1$, autre méthode est proposée en exercice.)

 

Comparaison entre e^x et x en - ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur $\mathbb {R}$ et tend vers 0 quand x tend vers $-\infty$, à la vitesse de la suite géométrique (e^-n).

Pour formaliser, on étudie la limite :

$\lim _{x\to -\infty }xe^{x}$

qui est une forme indéterminée $-\infty \times 0^{+}$

Début d’un théorème

Théorème

$\lim _{x\to -\infty }xe^{x}=0$

Fin du théorème

Preuve: $\lim \limits _{x\to -\infty }xe^{x}=\lim \limits _{x\to -\infty }{\dfrac {x}{e^{-x}}}=-\lim \limits _{x\to -\infty }{\dfrac {-x}{e^{-x}}}$

En posant $t=-x$, on a $-\lim \limits _{x\to -\infty }{\dfrac {-x}{e^{-x}}}=-\lim \limits _{t\to +\infty }{\dfrac {t}{e^{t}}}=-\lim \limits _{t\to +\infty }{\dfrac {1}{\dfrac {e^{t}}{t}}}=0$

Application

Déterminer les limites suivantes :

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{x}}}$

Solution

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}=+\infty$
• Donc $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{x}}}=0$

 

• $\lim _{x\to +\infty }(e^{x}-x)$

Solution

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~e^{x}-x=e^{x}\left(1-{\frac {x}{e^{x}}}\right)$
• Or, $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{x}}}=0$
• De plus, $\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty$
• Donc $\lim _{x\to +\infty }(e^{x}-x)=+\infty$

 

• $\lim _{x\to +\infty }e^{-x}x^{3}$

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~{\sqrt[{3}]{e^{-x}x^{3}}}=x~e^{-{\frac {x}{3}}}=-3{\frac {-x}{3}}e^{-{\frac {x}{3}}}$.

• Pour tout $x\in \mathbb {R}$, on pose $X=-{\frac {x}{3}}$
• On a alors pour tout $x\in \mathbb {R} ,~{\sqrt[{3}]{e^{-x}x^{3}}}=-3Xe^{X}$.
• On sait que $\lim _{X\to -\infty }Xe^{X}=0$
• Donc $\lim _{x\to +\infty }{\sqrt[{3}]{e^{-x}x^{3}}}=0$
• De plus, $\lim _{t\to 0}t^{3}=0$
• Donc $\lim _{x\to +\infty }e^{-x}x^{3}=0$

 

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{(x^{2})}}}$

Solution

On pose $X=x^{2}$.

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~{\frac {x}{e^{(x^{2})}}}={\frac {\sqrt {X}}{e^{X}}}$
• On sait que $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{\sqrt {x}}}=+\infty$
• Donc $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{(x^{2})}}}=0$.

 

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {e^{x}}}{x}}$

Solution

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~{\frac {\sqrt {e^{x}}}{x}}={\sqrt {\frac {e^{x}}{x^{2}}}}$
• On a $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{2}}}=+\infty$
• De plus, $\lim _{X\to +\infty }{\sqrt {X}}=+\infty$
• Donc $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {e^{x}}}{x}}=+\infty$

 

• $\lim _{x\to -\infty }(x^{2}+1)e^{x}$

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R}$, on pose $X=-x$.

• Soit $x\in \mathbb {R}$.
• On a

${\begin{aligned}(x^{2}+1)e^{x}&=((-X)^{2}+1)e^{-X}\\&={\frac {X^{2}+1}{e^{X}}}\\&={\frac {X^{2}\left({\frac {1}{X^{2}}}+1\right)}{e^{X}}}\end{aligned}}$

• On sait que $\lim _{X\to +\infty }{\frac {X^{2}}{e^{X}}}=0$
• et que $\lim _{X\to +\infty }{\frac {1}{X^{2}}}+1=1$
• Donc $\lim _{x\to -\infty }(x^{2}+1)e^{x}=\lim _{X\to +\infty }{\frac {X^{2}+1}{e^{X}}}=0$

 

• $\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {e^{-x}}}x$

Solution

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~{\sqrt {e^{-x}}}x={\frac {x}{\sqrt {e^{x}}}}$
• On a montré plus haut que $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {e^{x}}}{x}}=+\infty$
• Donc $\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {e^{-x}}}x=0$

 

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}$

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$ : ${\begin{aligned}\ln \left({\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}\right)&=x-\ln(x^{2}+1)\\&=x-\ln \left(x^{2}\left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\right)\\&=x-\ln(x^{2})-\ln \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\\&=x-2\ln(x)-\ln \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\\\end{aligned}}$

• $\lim _{x\to +\infty }\ln \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0$
• $\lim _{x\to +\infty }x-2\ln(x)=+\infty$
• Donc $\lim _{x\to +\infty }\ln \left({\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}\right)=+\infty$
• De plus, $\lim _{X\to +\infty }e^{X}=+\infty$
• Donc $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}=+\infty$

 

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{\sqrt {x}}}$

Solution

Soit $x\in [0;+\infty [$ : ${\begin{aligned}\ln \left({\frac {e^{x}}{\sqrt {x}}}\right)&=x-\ln({\sqrt {x}})\\&=x-{\frac {1}{2}}\ln(x)\\\end{aligned}}$

• $\lim _{x\to +\infty }x-{\frac {1}{2}}\ln(x)=+\infty$
• Donc $\lim _{x\to +\infty }\ln \left({\frac {e^{x}}{\sqrt {x}}}\right)=+\infty$
• De plus, $\lim _{X\to +\infty }e^{X}=+\infty$
• Donc $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{\sqrt {x}}}=+\infty$

 

Extension aux puissances de x

Début d’un théorème

Pour tout entier naturel n non nul

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{n}}}=+\infty$

Fin du théorème

​

Début d’un théorème

Théorème

$\lim _{x\to -\infty }x^{n}.e^{x}=0$

Fin du théorème

En résumé

Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».