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**Théorème des valeurs intermédiaires**
Leçon : Continuité et variations

Chapitre n^o 2
Chap. préc. :	Langage de la continuité
Chap. suiv. :	Fonctions continues strictement monotones
Exercices :	Théorème des valeurs intermédiaires

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Continuité et variations : Théorème des valeurs intermédiaires
Continuité et variations/Théorème des valeurs intermédiaires », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème

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Wikipédia possède un article à propos de « Théorème des valeurs intermédiaires ».

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\left[a,b\right]$ .

Pour tout réel $u$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ,

il existe (au moins) un réel $c\in \left[a,b\right]$ tel que $u=f(c)$ .

Démonstration

Quitte à considérer $-f$ et passer le problème à l'opposé, on peut supposer $f(a)\leq f(b)$ .

La méthode de dichotomie consiste à construire une suite d'intervalles I_n = [a_n, b_n] tels que pour tout n :

I_n+1 soit inclus dans I_n
la longueur de I_n+1 soit la moitié de celle de I_n
f(a_n) ≤ u ≤ f(b_n).

On procède de la manière suivante :

on pose initialement I₀ = [a, b] ;
quand, à un rang n, l'intervalle I_n est construit, on note m_n son milieu et
- si f(m_n) < u, on prend pour I_n+1 l'intervalle [m_n, b_n] et l'on pose a_n+1 = m_n et b_n+1 = b_n ;
- si f(m_n) ≥ u, on prend pour I_n+1 l'intervalle [a_n, m_n] et l'on pose a_n+1 = a_n et b_n+1 = m_n.

Les suites (a_n) et (b_n) sont alors adjacentes : en effet, la première est croissante (au sens large), la seconde est décroissante, et la différence entre les deux suites est égale à la longueur de I_n, soit (b – a)/2ⁿ qui tend vers 0.

Ces deux suites convergent donc vers une même limite c. Comme f est continue, les suites (f(a_n)) et (f(b_n)) convergent vers f(c).

Comme, d'autre part, f(a_n) ≤ u pour tout n, on obtient f(c) ≤ u par passage à la limite.

Comme, enfin, f(b_n) ≥ u pour tout n, on obtient f(c) ≥ u par passage à la limite.

Il en résulte que f(c) = u.

Exemple

Pour montrer qu'une fonction continue s'annule sur $I$ ,

il suffit de montrer qu'elle change de signe sur $I$ .

Interprétation graphique

La droite d'équation $y=u$ coupe au moins une fois la courbe représentative de f.

Interprétation en termes d'équations

Propriété

Soit f une fonction continue d'un intervalle I, a et b deux réels de I.

Pour tout réel u compris entre f(a) et f(b),

l'équation $f(x)=u$ admet (au moins) une solution c comprise entre a et b. On peut démontrer l'unicité de cette solution si $f$ est strictement monotone sur $I$ et les conditions d'application du théorème.

Remarque : Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d'existence qui ne précise pas la valeur des solutions.

Néanmoins des méthodes algorithmiques (comme la méthode de dichotomie) l'utilisent pour déterminer des valeurs approchées des solutions.

Continuité et variations

Langage de la continuité

Fonctions continues strictement monotones

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 {{Théorème
+  | contenu={{Wikipédia|Théorème des valeurs intermédiaires}}
-  | contenu=
-Soit <math>f</math> une fonction '''continue''' sur un intervalle <math>I</math> et <math>(a, b) \in I^2</math> .
+Soit <math>f</math> une fonction '''continue''' sur un intervalle <math>\left[a,b\right]</math> .
-Pour tout réel <math>k</math> tel que : <math>f(a)\leq k\leq f(b)</math>,
+Pour tout réel <math>u</math> compris entre <math>f(a)</math> et <math>f(b)</math>,
-il existe (au moins)  un réel <math>c \in [a;b]</math> vérifiant l'équation : <math>f(c)=k</math>.
+il existe (au moins)  un réel <math>c\in\left[a,b\right]</math> tel que <math>u=f(c)</math>.
 }}
-{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration |contenu=Quitte à considérer <math>-f</math> et passer le problème à l'opposé, on peut supposer <math>f(a) \leq f(b)</math>.
+{{Démonstration déroulante|contenu=
+Quitte à considérer <math>-f</math> et passer le problème à l'opposé, on peut supposer <math>f(a) \leq f(b)</math>.
+La méthode de dichotomie consiste à construire une suite d'intervalles ''I{{ind|n}}'' = [''a{{ind|n}}'', ''b{{ind|n}}''] tels que pour tout ''n'' :
-Soit <math> y \in [f(a), f(b)]</math>. On souhaite établir l’existence de <math>x\in[a,b]</math> vérifiant <math>f(x) = y</math>.
+* ''I''{{ind|''n''+1}} soit inclus dans ''I{{ind|n}}''
+* la longueur de ''I''{{ind|''n''+1}} soit la moitié de celle de ''I{{ind|n}}''
+* ''f''(''a{{ind|n}}'') ≤ ''u'' ≤ ''f''(''b{{ind|n}}'').
+On procède de la manière suivante :
+* on pose initialement ''I''{{ind|0}} = [''a'', ''b''] ;
+* quand, à un rang ''n'', l'intervalle ''I{{ind|n}}'' est construit, on note ''m{{ind|n}}'' son milieu et
+** si ''f''(''m{{ind|n}}'') < ''u'', on prend pour ''I''{{ind|''n''+1}} l'intervalle [''m{{ind|n}}'', ''b{{ind|n}}''] et l'on pose ''a''{{ind|''n''+1}} = ''m{{ind|n}}'' et ''b''{{ind|''n''+1}} = ''b{{ind|n}}'' ;
+** si ''f''(''m{{ind|n}}'') ≥ ''u'', on prend pour ''I''{{ind|''n''+1}} l'intervalle [''a{{ind|n}}'', ''m{{ind|n}}''] et l'on pose ''a''{{ind|''n''+1}} = ''a{{ind|n}}'' et ''b''{{ind|''n''+1}} = ''m{{ind|n}}''.
+Les suites (''a{{ind|n}}'') et (''b{{ind|n}}'') sont alors ''[[Introduction aux suites numériques/Suites adjacentes|adjacentes]]'' : en effet, la première est croissante (au sens large), la seconde est décroissante, et la différence entre les deux suites est égale à la longueur de ''I{{ind|n}}'', soit (''b – a'')/2{{exp|''n''}} qui tend vers 0.
-On va construire par un procédé dichotomique deux suites adjacentes <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> et <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math> dont la limite commune sera un <math>x</math> tel que <math>f(x) = y</math>.
+Ces deux suites convergent donc vers une même limite ''c''. Comme ''f'' est continue, les suites (''f''(''a{{ind|n}}'')) et (''f''(''b{{ind|n}}'')) convergent vers ''f''(''c'').
-''Etape initiale :''
+Comme, d'autre part, ''f''(''a{{ind|n}}'') ≤ ''u'' pour tout ''n'', on obtient ''f''(''c'') ≤ ''u'' par passage à la limite.
-On pose <math>a_0 = a</math> et <math>b_0 = b</math>, on vérifie <math>f(a_0) \leq y \leq f(b_0)</math>.
+Comme, enfin, ''f''(''b{{ind|n}}'') ≥ ''u'' pour tout ''n'', on obtient ''f''(''c'') ≥ ''u'' par passage à la limite.
-''Etape 1 :''
+Il en résulte que ''f''(''c'') = ''u''.
-On introduit <math>d = \dfrac{a_0+b_0}{2}</math>.
-Si <math>f(d) \leq y</math>, on pose <math>a_1 = d</math> et <math>b_1 = b_0</math>.
-Si <math>f(d) > y</math>, on pose <math>a_1 = a_0</math> et <math>b_1 = d</math>.
-Dans les deux cas, on vérifie <math>f(a_1) \leq y \leq f(b_1)</math>.
-''Etape n+1 :''
-On introduit <math>d = \dfrac{a_n+b_n}{2}</math>.
-Si <math>f(d) \leq y</math>, on pose <math>a_{n+1} = d</math> et <math>b_{n+1} = b_n</math>.
-Si <math>f(d) > y</math>, on pose <math>a_{n+1} = a_n</math> et <math>b_{n+1} = d</math>.
-Dans les deux cas, on vérifie <math>f(a_{n+1}) \leq y \leq f(b_{n+1})</math>.
-On définit ainsi deux suites <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> et <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math>, et par construction on vérifie :
-<center><math>\forall n\in\mathbb N \;,\; a_{n+1} \geq a_n \;,\; b_{n+1} \leq b_n \;\;\mathrm{et}\;\; b_{n+1} - a_{n+1} = \dfrac{b_n - a_n}{2}</math></center>
-La suite <math>(a_n)</math> est croissante, la suite <math>(b_n)</math> est décroissante et <math>b_n - a_n = \dfrac{b-a}{2^n} \;\xrightarrow[n\to+\infty]{}\;0</math>.
-Ainsi ces deux suites sont adjacentes.
-Notons <math>x</math> leur limite commune. Puisque <math>a_n \longrightarrow x</math> et <math>b_n \longrightarrow x</math>, on a <math>f(a_n) \longrightarrow f(x)</math> et <math>f(b_n) \longrightarrow f(x)</math>.
-Or, pour tout <math>n\in\mathbb N</math>, <math>f(a_n) \leq y \leq f(b_n)</math>, donc par le théorème des gendarmes, on obtient <math>y = f(x)</math>.
-L'existence est ainsi établie.
 }}
 {{Exemple
   | contenu =
 Pour montrer qu'une fonction continue s'annule sur <math>I</math>,