Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues

Exercice

$E={\mathcal {C}}([-1;1],\mathbb {R} )$ muni de la norme de la convergence uniforme

${\begin{array}{ccccc}\varphi &:&E&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&f&\mapsto &\displaystyle {\int _{-1}^{1}{\frac {t\,f(t)}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t}\end{array}}$

Montrer que $\varphi \in {\mathcal {L}}_{c}(E)$ et calculer |||φ|||.

Solution

• La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de φ.
• Soit $f\in E$

$|\varphi (f)|=\left|\int _{-1}^{1}{\frac {t\,f(t)}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t\right|$

Donc $|\varphi (f)|\leq \int _{-1}^{1}{\frac {|t\,f(t)|}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t\leq ||f||_{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {2t}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t$

Donc $|\varphi (f)|\leq \ln(2)||f||_{\infty }$

$\varphi \in {\mathcal {L}}_{c}(E)$ et $|||\varphi |||\leq \ln(2)$

On pose pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ la fonction f_n de E définie par :

• qui vaut -1 sur $\left[-1;-{\frac {1}{n}}\right]$
• qui vaut 1 sur $\left[{\frac {1}{n}};1\right]$
• affine sur $\left[-{\frac {1}{n}};{\frac {1}{n}}\right]$

On montre que $|\varphi (f_{n})|\longrightarrow _{n\rightarrow +\infty }\ln(2)$

Finalement $|||\varphi |||=\ln(2)$