Topologie générale/Continuité et homéomorphismes

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Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon ! La notion de continuité s'est clarifiée au XIX^e siècle, grâce notamment aux travaux de Cauchy.

Limite

Définition

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, $A$ une partie de $X$, $f:A\to Y$ une application, $a$ un point adhérent à $A$ et $\ell$ un point de $Y$.

On dit que $f$ a pour limite $\ell$ au point $a$ si, pour tout voisinage $V$ de $\ell$, il existe un voisinage $W$ de $a$ tel que $f(W\cap A)\subset V$.

Proposition

Sous les hypothèses de la définition :

• $\ell$ est nécessairement adhérent à $f(A)$ ;
• si $Y$ est séparé et si une telle limite existe alors elle est unique, ce légitime dans ce cas la notation $\lim _{a}f=\ell$.

Démonstration

Pour tout voisinage $W$ de $a$, $f(W\cap A)$ est inclus dans $f(A)$ et (puisque $a\in {\overline {A}}$) non vide, donc :

• pour tout voisinage $V$ de $\ell$, $V\cap f(A)$ est non vide ;
• pour tous voisinages respectifs $V_{1}$ et $V_{2}$ de deux limites $\ell _{1}$ et $\ell _{2}$, $V_{1}\cap V_{2}$ est non vide (ce qui, si l'espace est séparé, prouve que $\ell _{1}=\ell _{2}$). En effet, il existe deux voisinages $W_{1}$ et $W_{2}$ de $a$ tels que $f(W_{i}\cap A)\subset V_{i}$ ; leur intersection $W$ est alors un voisinage de $a$ (donc $f(W\cap A)\neq \varnothing$) et $f(W\cap A)\subset {V_{1}\cap V_{2}}$.

 

Continuité en un point

Définition

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, $f:X\to Y$ une application et $a$ un point de $X$. On dit que $f$ est continue au point $a$ si $f$ a pour limite $f(a)$ au point $a$.

Proposition

$f$ est continue au point $a$ si et seulement si l'image réciproque par $f$ de tout voisinage de $f(a)$ est un voisinage de $a$ :

$\forall V\in {\mathcal {V}}(f(a))\quad f^{-1}(V)\in {\mathcal {V}}(a)$.

Continuité globale

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques et $f:X\to Y$ une application.

Définition

On dit que $f$ est

• continue (sur $X$) si elle est continue en tout point de $X$ ;
• un homéomorphisme lorsqu'elle est bijective et que $f$ et $f^{-1}$ sont continues.

Proposition

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. l'application $f$ est continue ;
2. l'image réciproque par $f$ de tout ouvert de $Y$ est un ouvert de $X$ ;
3. l'image réciproque par $f$ de tout fermé de $Y$ est un fermé de $X$ ;
4. pour toute partie $A$ de $X$, $f({\overline {A}})\subset {\overline {f(A)}}$ ;
5. pour toute partie $B$ de $Y$, ${\overline {f^{-1}(B)}}\subset f^{-1}({\overline {B}})$.

Démonstration

• 1 ⇔ 2 : d'après la définition locale, f est continue en a si et seulement si, pour tout ouvert O de Y tel que a appartienne à f^–1(O), f^–1(O) est voisinage de a. Donc f est continue en tout point si et seulement si, pour tout ouvert O de Y, f^–1(O) est voisinage de chacun de ses points, c'est-à-dire est ouvert.
• 2 ⇔ 3 : par passage aux complémentaires.
• 3 ⇒ 5 : en posant G = B.
• 5 ⇒ 4 : en posant B = f(A) et en utilisant le fait que A est inclus dans f ^–1(f(A)).
• 4 ⇒ 3 : en posant A = f ^–1(G) et en utilisant le fait que f(f ^–1(G)) est inclus dans G.

 

Caractérisation séquentielle

Si tout point de $X$ admet une base de voisinages (finie ou) dénombrable — en particulier si $X$ est un espace métrique — on dispose d'une caractérisation plus intuitive :

Proposition

Si tout point de $X$ admet une base dénombrable de voisinages, alors, pour tout point $a$ et toute partie $A$ de $X$ :

1. $a$ est adhérent à $A$ (si et) seulement s'il est limite d'une suite d'éléments de $A$ ;
2. si $a$ est adhérent à $A$, une application $f:A\to Y$ a pour limite $\ell$ au point $a$ si (et seulement si) pour toute suite $(a_{n})$ dans $A$ de limite $a$, la suite $(f(a_{n}))$ a pour limite $\ell$.
3. par conséquent, une application $f:X\to Y$ est continue au point $a$ si (et seulement si) pour toute suite $(a_{n})$ de limite $a$, la suite $(f(a_{n}))$ a pour limite $f(a)$.

Démonstration

Soit $(V_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une base de voisinages de $a$, que l'on peut supposer décroissante (quitte à remplacer chaque $V_{n}$ par son intersection avec les $V_{m}$ précédents). Le principe est que toute suite $(a_{n})$ telle que $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}\in V_{n}$ converge alors vers $a$.

1. Si $a$ est adhérent à $A$, comme chaque $V_{n}$ rencontre $A$, on peut choisir a$_{n}\in V_{n}\cap A$.
2. Raisonnons par contraposition. Si $\ell$ n'est pas limite de $f$ en $a$, il existe un voisinage $V$ de $\ell$ dont l'image réciproque ne contient aucun $V_{n}\cap A$. En choisissant dans chaque $V_{n}\cap A$ un $a_{n}$ tel que $f(a_{n})\notin V$, on construit une suite de limite $a$ dont l'image n'admet pas $\ell$ pour limite.