« Topologie générale/Continuité et homéomorphismes » : différence entre les versions
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| titre = continuité en un point |
| titre = continuité en un point |
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| contenu = Soient <math>(E,\mathcal{T})</math> et <math>(F, \mathcal{T'})</math> deux espaces topologiques |
| contenu = Soient <math>(E,\mathcal{T})</math> et <math>(F, \mathcal{T'})</math> deux espaces topologiques, <math>f</math> une application de <math>E</math> dans <math>F</math> et <math>a</math> un point de <math>E</math>. |
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On dit que <math>f</math> est continue au point <math>a</math> |
On dit que <math>f</math> est continue au point <math>a</math> si l'image réciproque par <math>f</math> de tout voisinage de <math>f(a)</math> est un voisinage de <math>a</math> : |
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Cette définition s'applique en particulier au cas où <math>(E,\mathcal{T})</math> est un sous-espace (muni de la topologie induite) d'un espace topologique plus vaste. |
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== Caractérisation séquentielle == |
== Caractérisation séquentielle == |
Version du 22 mars 2017 à 14:28
Approche intuitive et historique
Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon !
La notion de continuité s'est clarifiée au XIXe siècle, grâce notamment aux travaux de Cauchy.
Définition de la continuité
Soient et deux espaces topologiques, une application de dans et un point de .
On dit que est continue au point si l'image réciproque par de tout voisinage de est un voisinage de :
.
Cette définition s'applique en particulier au cas où est un sous-espace (muni de la topologie induite) d'un espace topologique plus vaste.
Caractérisation séquentielle
Si est un espace métrique, on dispose d'une propriété équivalente à la définition de la continuité, et qui est bien plus facile à mettre en œuvre lors des exercices :
est continue en si pour toute suite convergeant vers , la suite converge vers .