« Topologie générale/Continuité et homéomorphismes » : différence entre les versions

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{{Définition
{{Définition
| titre = continuité en un point
| titre = continuité en un point
| contenu = Soient <math>(E,\mathcal{T})</math> et <math>(F, \mathcal{T'})</math> deux espaces topologiques et <math>f</math> une application continue de <math>E</math> dans <math>F</math>. Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math> et <math>a \in E</math>.<br />
| contenu = Soient <math>(E,\mathcal{T})</math> et <math>(F, \mathcal{T'})</math> deux espaces topologiques, <math>f</math> une application de <math>E</math> dans <math>F</math> et <math>a</math> un point de <math>E</math>.

On dit que <math>f</math> est continue au point <math>a</math> suivant <math>A</math> si : <br />
On dit que <math>f</math> est continue au point <math>a</math> si l'image réciproque par <math>f</math> de tout voisinage de <math>f(a)</math> est un voisinage de <math>a</math> :
<math>\forall V\in \mathcal{V}(f(a)), \exists U \in \mathcal{V}(a)\text{ tq } f(U\cap A)\subset V</math>

<math>\forall V\in \mathcal{V}(f(a))\quad f^{-1}(V)\in\mathcal{V}(a)</math>.
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Cette définition s'applique en particulier au cas où <math>(E,\mathcal{T})</math> est un sous-espace (muni de la topologie induite) d'un espace topologique plus vaste.


== Caractérisation séquentielle ==
== Caractérisation séquentielle ==

Version du 22 mars 2017 à 14:28

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Continuité et homéomorphismes
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Chapitre no 8
Leçon : Topologie générale
Chap. préc. :Suites
Chap. suiv. :Axiomes de séparation
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Topologie générale/Continuité et homéomorphismes
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Approche intuitive et historique

Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon !
La notion de continuité s'est clarifiée au XIXe siècle, grâce notamment aux travaux de Cauchy.

Définition de la continuité


Cette définition s'applique en particulier au cas où est un sous-espace (muni de la topologie induite) d'un espace topologique plus vaste.

Caractérisation séquentielle

Si est un espace métrique, on dispose d'une propriété équivalente à la définition de la continuité, et qui est bien plus facile à mettre en œuvre lors des exercices :

est continue en si pour toute suite convergeant vers , la suite converge vers .