« Systèmes et représentations » : différence entre les versions
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== Fonction de transfert == |
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=== Définition === |
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La transformée de Laplace permet de définir la fonction de transfert d'un système linéaire régi par un système d'équations différentielles à coefficients constants, ce qui est impossible avec les équations temporelles. |
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Soit le système suivant, avec <math>e(t)</math> en entrée et <math>s(t)</math> en sortie : |
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<math>a_n\frac{d^n\,s(t)}{dt^n} + \ldots + a_1\frac{d\,s(t)}{dt} + a_0\,s(t) = b_m\frac{d^m e(t)}{dt^m} + \ldots + b_1\frac{d\,e(t)}{dt} + b_0\,e(t)</math> |
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En utilisant les propriétés de la transformation de Laplace, on obtient : |
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* <math>\mathcal{L}\left[ \frac{d^m\,e(t)}{dt} \right] = p^m\,E(p) - p^{m-1}\,e(0^{+}) - p^{m-2}\,e^{(1)}(0^{+}) - e^{(m-1)}(0^{+})</math> |
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* <math>\mathcal{L}\left[ \frac{d^n\,s(t)}{dt} \right] = p^n\,S(p) - p^{n-1}\,s(0^{+}) - p^{n-2}\,s^{(1)}(0^{+}) - s^{(n-1)}(0^{+})</math> |
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Si on se place dans le cas où toutes les conditions initiales sont nulles, on a : |
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* <math>\mathcal{L}\left[ \frac{d^m\,e(t)}{dt} \right] = p^m\,E(p)</math> |
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* <math>\mathcal{L}\left[ \frac{d^n\,s(t)}{dt} \right] = p^n\,S(p)</math> |
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L'équation générale devient donc : |
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<math>S(p) \times \left[ a_n\,p^n + \ldots + a_1\,p + a_0 \right] = E(p) \times \left[ b_m\,p^n + \ldots + b_1\,p + b_0 \right]</math> |
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En posant <math>S(p) = H(p) \times E(p)</math>, il vient : <math>H(p) = \frac{b_m\,p^n + \ldots + b_1\,p + b_0}{a_n\,p^n + \ldots + a_1\,p + a_0}</math>. |
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La fonction ''H'' est appelée ''fonction de transfert'' (ou ''transmittance'') du système. Son unité physique dépend du rapport de l'unité de ''E'' et de l'unité de ''S''. |
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Par exemple, pour une résistance, si ''S'' représente la tension à ses bornes et ''E'' l'intensité du courant la parcourant, alors ''H'' a pour unité des ohms (<math>\Omega</math>). |
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=== Ordre, pôle et zéro === |
=== Ordre, pôle et zéro === |
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=== Retour au domaine temporel === |
=== Retour au domaine temporel === |
Version du 23 juin 2007 à 15:59
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Définitions d'un système continu
Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque des variations des grandeurs physiques de sortie qui le caractérisent sont des fonctions du temps continues et que l'on peut donc définir ces grandeurs à chaque instant.
On parle aussi dans ce cas de système analogique.
Linéarité, principe de superposition, invariance
Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs d'entrée et les grandeurs de sortie peuvent se mettre sous la forme d'un ensemble d'équations différentielles linéaires à coefficients constants.
Linéarité
Un système est dit linéaire si et seulement si : si alors
Additivité (principe de superposition)
On suppose que pour une entrée e1(t), on obtient une sortie s1(t) et pour une entrée e2(t), on obtient une sortie s2(t). Alors, le principe de superposition indique :
Invariance
Un système invariant est un système dont les caractéristiques de comportement ne se modifient pas dans le temps. On dit que "le système ne vieillit pas".
Ainsi, si , alors pour un décalage temporel , on : .
Fonctions d'entrées courantes
Fonctions causales
On appelle fonction causale une fonction f de la variable réelle t définie sur et supposée nulle pour .
Fonction normale | |
Fonction causale |
À noter que dans toute la suite, on ne considérera que des fonctions d'entrée causales.
Fonctions impulsions
Impulsion physique (créneau)
Il est défini par :
Impulsion de Dirac
On définit une impulsion comme un créneau de surface unité (A = 1/).
L'impulsion de Dirac s'obtient en faisant tendre vers 0. Cela revient à générer un signal d'amplitude infinie pendant un temps nul.
Un tel signal ne correspond à aucun signal physique réel, mais il permet de définir ultérieurement des caractéristiques temporelles importantes d'un système dynamique. Il modélise par exemple les chocs que peut recevoir un système.
Échelon unité (fonction existence)
Fonction rampe
Fonction sinusoïdale
Représentation des systèmes
On ne considérera que les systèmes linéaires, continus et invariants.
Équation différentielle
Représentation
L'évolution d'un système dynamique linéaire et invariant est généralement représenté par un système d'équations différentielles à coefficient constants liant les grandeurs d'entrée et de sortie. Dans le cas d'une seul équation différentielle linéaire, de la forme :
Avec n>m, n est appelé ordre du système.
On a également : et .
Résolution "classique"
Classiquement, une équation différentielle se résout en trois étapes :
- la résolution de l'équation sans second membre (solution générale), qui représente la solution transitoire du phénomène ;
- la détermination d'une solution particulière de l'équation avec second membre, qui représente la composante permanente du phénomène physique ;
- la solution "totale" est alors obtenue en réalisant la somme des deux solutions précédentes.
Résolution par transformation de Laplace
La méthode par transformation de Laplace permet de ramener l'équation différentielle à une équation polynomiale algébrique en tenant compte des conditions initiales.
La résolution est donc aisée. Par transformation inverse de Laplace, on peut retrouver la solution temporelle.
Transformation de Laplace
Définition
On appelle transformée de Laplace bilatérale d'une fonction de la variable temps f la fonction F de la variable p définie de la façon suivante :
avec et ( étant l'abscisse de convergence).
Pour une fonction causale, la transformée de Laplace est dite monolatérale, et on a :
avec et ( étant l'abscisse de convergence).
Dans toute la suite, on notera les fonction du domaine temporel en minuscules, et les fonction du domaine de Laplace (domaine symbolique) en majuscule.
Si , on dit que F est la transformée de Laplace de f.
Si , on dit que f est la transformée inverse de Laplace de F (ou l'original de F).
Propriétés
Unicité
À une fonction temporelle f donnée correspond une unique fonction F du domaine symbolique, et à une fonction F du domaine symbolique correspond une unique fonction temporelle f.
Linéarité
Théorèmes fondamentaux
Théorème du facteur d'échelle
Théorème du retard
Théorème de l'amortissement (ou décalage fréquentiel)
Théorème de dérivation par rapport au temps
- Dérivée première :
- Dérivée seconde :
On note :
Théorème d'intégration par rapport au temps
Si et , alors .
Ainsi :
À noter que si les conditions initiales sont nulles (conditions de Heaviside), alors :
- dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine symbolique ;
- intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine symbolique.
Théorème du produit de convolution
- est appelé produit de convolution de f par g et est noté
- est appelé variable muette
Attention : le produit de deux fonctions du temps n'a pas pour transformée de Laplace le produit des transformées :
Théorème de la valeur initiale
Théorème de la valeur finale
Autres transformations
Transformées usuelles
f(t) | F(p) |
---|---|
(Dirac) | 1 |
1 | |
Fonction de transfert
Définition
La transformée de Laplace permet de définir la fonction de transfert d'un système linéaire régi par un système d'équations différentielles à coefficients constants, ce qui est impossible avec les équations temporelles.
Soit le système suivant, avec en entrée et en sortie :
En utilisant les propriétés de la transformation de Laplace, on obtient :
Si on se place dans le cas où toutes les conditions initiales sont nulles, on a :
L'équation générale devient donc :
En posant , il vient : .
La fonction H est appelée fonction de transfert (ou transmittance) du système. Son unité physique dépend du rapport de l'unité de E et de l'unité de S.
Par exemple, pour une résistance, si S représente la tension à ses bornes et E l'intensité du courant la parcourant, alors H a pour unité des ohms ().