« Systèmes et représentations » : différence entre les versions

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Contenu supprimé Contenu ajouté
Alband85 (discussion | contributions)
Alband85 (discussion | contributions)
Ligne 92 : Ligne 92 :


=== Transformation de Laplace ===
=== Transformation de Laplace ===
==== Définition ====

On appelle ''transformée de Laplace bilatérale'' d'une fonction de la variable temps ''f'' la fonction ''F'' de la variable ''p'' définie de la façon suivante :
On appelle ''transformée de Laplace bilatérale'' d'une fonction de la variable temps ''f'' la fonction ''F'' de la variable ''p'' définie de la façon suivante :


Ligne 100 : Ligne 100 :


<math>F(p) = \int_{0}^{+\infty} f(t) \times e^{-p \times t}\,dt</math> avec <math>p = \sigma + j.\omega</math> et <math>\sigma > \sigma_0</math> (<math>\sigma_0</math> étant l'abscisse de convergence).
<math>F(p) = \int_{0}^{+\infty} f(t) \times e^{-p \times t}\,dt</math> avec <math>p = \sigma + j.\omega</math> et <math>\sigma > \sigma_0</math> (<math>\sigma_0</math> étant l'abscisse de convergence).

==== Généralités ====
==== Propriétés ====
==== Propriétés ====
==== Théorèmes fondamentaux ====
==== Théorèmes fondamentaux ====

Version du 22 juin 2007 à 16:35


Image logo indiquant que la page n’est pas finiUn contributeur vous informe que cette page, ou cette section de page, n’est pas finie.
  • Son état actuel est provisoire et doit être pris avec prudence.
  • Une version améliorée est en préparation et devrait être disponible prochainement.

Pour en suivre l’avancement ou y participer, veuillez consulter la page de discussion.

alband85 (lui écrire) est en ce moment même en train de travailler en profondeur sur cette page ou section de page. Merci de ne pas modifier celle-ci afin de limiter les risques de conflit de versions jusqu’à disparition de cet avertissement (posé le 18/06/2007).


Enlevez ce modèle dès que le travail est fini ; si le travail doit être continué, utilisez le modèle : {{Pas fini}}.

Définitions d'un système continu

Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque des variations des grandeurs physiques de sortie qui le caractérisent sont des fonctions du temps continues et que l'on peut donc définir ces grandeurs à chaque instant.

On parle aussi dans ce cas de système analogique.

Linéarité, principe de superposition, invariance

Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs d'entrée et les grandeurs de sortie peuvent se mettre sous la forme d'un ensemble d'équations différentielles linéaires à coefficients constants.

Linéarité

Un système est dit linéaire si et seulement si : si alors

Additivité (principe de superposition)

On suppose que pour une entrée e1(t), on obtient une sortie s1(t) et pour une entrée e2(t), on obtient une sortie s2(t). Alors, le principe de superposition indique :

Invariance

Un système invariant est un système dont les caractéristiques de comportement ne se modifient pas dans le temps. On dit que "le système ne vieillit pas".

Ainsi, si , alors pour un décalage temporel , on : .

Fonctions d'entrées courantes

Fonctions causales

On appelle fonction causale une fonction f de la variable réelle t définie sur et supposée nulle pour .


Fonction normale
Fonction causale

À noter que dans toute la suite, on ne considérera que des fonctions d'entrée causales.

Fonctions impulsions

Impulsion physique (créneau)

Il est défini par :

Impulsion de Dirac

On définit une impulsion comme un créneau de surface unité (A = 1/).

L'impulsion de Dirac s'obtient en faisant tendre vers 0. Cela revient à générer un signal d'amplitude infinie pendant un temps nul.

Un tel signal ne correspond à aucun signal physique réel, mais il permet de définir ultérieurement des caractéristiques temporelles importantes d'un système dynamique. Il modélise par exemple les chocs que peut recevoir un système.

Échelon unité (fonction existence)

Fonction rampe

Fonction sinusoïdale

Représentation des systèmes

On ne considérera que les systèmes linéaires, continus et invariants.

Équation différentielle

Représentation

L'évolution d'un système dynamique linéaire et invariant est généralement représenté par un système d'équations différentielles à coefficient constants liant les grandeurs d'entrée et de sortie. Dans le cas d'une seul équation différentielle linéaire, de la forme :

Avec n>m, n est appelé ordre du système.

On a également : et .

Résolution "classique"

Classiquement, une équation différentielle se résout en trois étapes :

  • la résolution de l'équation sans second membre (solution générale), qui représente la solution transitoire du phénomène ;
  • la détermination d'une solution particulière de l'équation avec second membre, qui représente la composante permanente du phénomène physique ;
  • la solution "totale" est alors obtenue en réalisant la somme des deux solutions précédentes.

Résolution par transformation de Laplace

La méthode par transformation de Laplace permet de ramener l'équation différentielle à une équation polynomiale algébrique en tenant compte des conditions initiales.

La résolution est donc aisée. Par transformation inverse de Laplace, on peut retrouver la solution temporelle.

Transformation de Laplace

Définition

On appelle transformée de Laplace bilatérale d'une fonction de la variable temps f la fonction F de la variable p définie de la façon suivante :

avec et ( étant l'abscisse de convergence).

Pour une fonction causale, la transformée de Laplace est dite monolatérale, et on a :

avec et ( étant l'abscisse de convergence).

Propriétés

Théorèmes fondamentaux

Transformées usuelles

f(t) F(p)
(Dirac) 1
1

Fonction de transfert

Définition

Ordre, pôle et zéro

Retour au domaine temporel