« Solide de Platon » : différence entre les versions

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== Propriétés combinatoires ==
== Description et sections classiques ==

Un polyèdre convexe est un solide de Platon si et seulement si
#Toutes ses faces sont des [[polygone régulier|polygones réguliers]] convexes [[Isométrie|isométriques]], c'est-à-dire superposables,
#Aucune de ses faces ne se coupe, excepté sur les arêtes
#Le même nombre de faces se rencontrent à chacun de ses [[sommet (géométrie)|sommets]].
Chaque solide de Platon peut par conséquent être noté par un symbole {''p'', ''q''} où
:''p'' = le nombre de côtés de chaque face (ou le nombre de sommets sur chaque face) et
:''q'' = le nombre de faces se rencontrant à chaque sommet (ou le nombre d'arêtes se rencontrant à chaque sommet).
Le symbole {''p'', ''q''}, appelé le [[symbole de Schläfli]], donne une description [[combinatoire]] du polyèdre. Les symboles de Schläfli des cinq solides de Platon sont donnés dans la table ci-dessous.

{| border="1" cellpadding="7" style="margin:1em auto; text-align:center; border-collapse: collapse;"
|-
!colspan=2 | Polyèdre
!Sommets
!Arêtes
!Faces
![[Symbole de Schläfli]]
!{{Lien|trad=Vertex configuration|Configuration de sommet|texte=Configuration<br />de sommet}}
|-
|[[Tétraèdre]]
|[[Image:Tetrahedron.svg|50px|Tétraèdre]]
|4||6||4||{3, 3}||3.3.3
|-
|[[Cube|Hexaèdre]]
|[[Image:Hexahedron.svg|50px|Hexaèdre (cube)]]
|8||12||6||{4, 3}||4.4.4
|-
|[[Octaèdre]]
|[[Image:Octahedron.svg|50px|Octaèdre]]
|6||12||8||{3, 4}||3.3.3.3
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]]
| [[Image:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50px|Dodécaèdre]]
|20||30||12||{5, 3}||5.5.5
|-
|[[Icosaèdre]]
| [[Image:Icosahedron.svg|50px|Icosaèdre]]
|12||30||20||{3, 5}||3.3.3.3.3
|}

Toutes les autres informations combinatoires à propos de ces solides, telles que le nombre total de sommets (''S''), des arêtes (''A'') et des faces (''F'') peuvent être déterminées à partir de ''p'' et ''q''. Puisque toute arête joint deux sommets et possède deux faces adjacentes, nous devons avoir :
:<math>pF = 2A = qS.\,</math>
L'autre relation entre ces valeurs est donnée par la [[caractéristique d'Euler|formule d'Euler]] :
:<math>S - A + F = 2.\,</math>
Ce fait non-trivial peut être démontré d'une grande variété de manières (en [[topologie algébrique]] il découle de ce fait que la caractéristique d'Euler de la [[sphère]] est 2). Mises ensemble, ces trois relations déterminent complètement ''S'', ''A'' et ''F'' :
:<math>S = \frac{4p}{4 - (p-2)(q-2)},\quad A = \frac{2pq}{4 - (p-2)(q-2)},\quad F = \frac{4q}{4 - (p-2)(q-2)}.</math>
Note : échanger ''p'' et ''q'' intervertit ''F'' et ''S'' laissant ''A'' inchangé (pour une interprétation géométrique de ce fait, voir la section sur les polyèdres duaux ci-dessous).

== Classification ==

C'est un résultat classique qu'il existe seulement cinq polyèdres réguliers convexes. Deux arguments communs sont donnés ci-dessous. Les deux montrent seulement qu'il ne peut pas y avoir plus de cinq solides de Platon. Que chacun des cinq existe réellement est une question séparée — à laquelle on peut répondre par une construction explicite.

=== Démonstration géométrique ===

L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclide dans les ''Éléments'' :
#Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet sur au moins trois faces, sinon ce n'est qu'un point de côté et non un sommet.
#À chaque sommet du solide, le total des angles entre les côtés adjacents relatifs aux faces adjacentes, doit être strictement inférieur à {{unité|360|°}} (sinon, le solide ne peut pas être convexe).
#Les angles de tous les sommets de toutes les faces d'un solide de Platon sont identiques, donc chaque sommet de chaque face doit contribuer pour strictement moins de {{unité|360|°}}/3={{unité|120|°}}.
#Les polygones réguliers de six côtés ou plus ont seulement des angles de {{unité|120|°}} ou plus, donc la face commune doit être le triangle, le carré ou le pentagone. Et pour :
#*les faces [[Triangle|triangulaires]] : chaque sommet d'un triangle régulier a un angle de {{unité|60|°}}, donc une forme doit avoir 3, 4 ou 5 triangles se rencontrant à un sommet ; celles-ci sont le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre respectivement.
#*les faces [[carré]]es : chaque sommet d'un carré a un angle de {{unité|90|°}}, donc il existe seulement un arrangement possible avec trois faces à un sommet, le cube.
#*les faces [[Pentagone (figure)|pentagonales]] : chaque sommet a un angle de {{unité|108|°}} ; de nouveau, seulement un arrangement, de trois faces à un sommet est possible, le dodécaèdre.

=== Démonstration topologique ===

Une démonstration purement [[topologie|topologique]] peut être donnée en utilisant seulement les informations combinatoires sur les solides. La clé est l'[[caractéristique d'Euler|observation d'Euler]] que <math>S - A + F = 2</math>, et le fait que <math>pF = 2A = qS</math>. En combinant ces équations, on obtient l'équation
:<math>\frac{2A}{q} - A + \frac{2A}{p} = 2.</math>
En divisant par <math>2 A</math> il vient
:<math>{1 \over q} + {1 \over p}= {1 \over 2} + {1 \over A}.</math>
Puisque <math>A</math> est strictement positif, nous devons avoir
:<math>\frac{1}{q} + \frac{1}{p} > \frac{1}{2}.</math>
En utilisant le fait que ''p'' et ''q'' doivent, tous deux, être au moins égaux à 3, on peut facilement voir qu'il existe seulement cinq possibilités pour {''p'', ''q''} :
:<math>\{3, 3\},\quad \{4, 3\},\quad \{3, 4\},\quad \{5, 3\},\quad \{3,5\}.</math>

== Propriétés géométriques ==
=== Angles ===

Il existe un nombre d'[[angle]]s associés avec chaque solide de Platon. L'[[angle dièdre]] est l'angle interne entre deux faces planes quelconques. L'angle dièdre, θ, du solide {''p'', ''q''} est donné par la formule
:<math>\sin{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}.</math>
Ceci est quelquefois exprimé de manière plus pratique en termes de [[Fonction trigonométrique|tangente]] par
:<math>\tan{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/h)}.</math>
La quantité ''h'' est 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre respectivement,
autrement dit <math>4h = 15+[2(p+q)-11]^2</math>.

Le {{Lien|trad=Defect (geometry)|défaut angulaire}} au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles d'une face et 2π. Le défaut, δ, à un sommet quelconque des sommets de Platons {''p'', ''q''} est
:<math>\delta = 2\pi - q\pi\left(1-{2\over p}\right).</math>
Par le [[théorème de Descartes]], ceci est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (i.e. le défaut total de tous les sommets est 4π).

L'analogue tridimensionnel d'un angle plan est un [[angle solide]]. L'angle solide, Ω, au sommet d'un solide de Platon est donné en termes d'angle dièdre par
:<math>\Omega = q\theta - (q-2)\pi.\,</math>
Ceci provient de la formule de l'{{Lien|trad=Angle excess|Excès angulaire|texte=excès sphérique}} pour un [[Trigonométrie sphérique|polygone sphérique]] et le fait que la [[figure de sommet]] du polyèdre {''p'', ''q''} est un ''q''-gone régulier.

Les divers angles associés avec les solides de Platon sont donnés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles solides sont données en [[stéradian]]s. La constante <math>\varphi = \frac{(1+\sqrt{5})}{2}\,</math> est le [[nombre d'or]].

{| border=1 cellpadding=6 style="border-collapse: collapse; margin: 1em auto; text-align: center;"
|-
!Polyèdre
![[Angle dièdre]]<br /><math>(\theta)\,</math>
!<math>\tan\frac{\theta}{2}</math>
!{{Lien|trad=Defect (geometry)|défaut angulaire}} <math>(\delta)\,</math>
!colspan = 3|[[Angle solide]] <math>(\Omega)\,</math>
|-
|[[Tétraèdre]] || {{unité|70.53|°}} || <math>1\over{\sqrt 2}</math> || <math>\pi\,</math>
|<math>2\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt 2}{5}\right)</math>
|<math>\approx 0,551286</math>
|-
|[[Cube]] || {{unité|90|°}} || <math>1\,</math> || <math>\pi\over 2</math>
|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|<math>\approx 1,57080</math>
|-
|[[Octaèdre]] || {{unité|109.47|°}} || <math>\sqrt 2</math> || <math>{2\pi}\over 3</math>
|<math>4\sin^{-1}\left({1\over 3}\right)</math>
|<math>\approx 1,35935</math>
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]] || {{unité|116.56|°}} || <math>\varphi\,</math> || <math>\pi\over 5</math>
|<math>2\tan^{-1}\varphi^5</math>
|<math>\approx 2,96174</math>
|-
|[[Icosaèdre]] || {{unité|138.19|°}} || <math>\varphi^2\,</math> || <math>\pi\over 3</math>
|<math>2\pi - 5\sin^{-1}\left({2\over 3}\right)</math>
|<math>\approx 2,63455</math>
|}

=== Rayons, aires et volumes ===

Une autre vertu de la régularité est que les solides de Platon possèdent tous trois sphères concentriques :
* la {{Lien|trad=Circumscribed sphere|sphère circonscrite}} qui passe à travers tous les sommets,
* la {{Lien|trad=Midsphere|sphère moyenne}} qui est tangente à chaque arête au milieu de celle-ci et
* la {{Lien|trad=Inscribed sphere|sphère inscrite}} qui est tangente à chaque face au centre de celle-ci.

Les [[rayon (géométrie)|rayons]] de ces sphères sont appelés les ''rayons circonscrits'', les ''rayons moyens'' et les ''rayons internes''. Ceux-ci sont les distances à partir du centre du polyèdre aux sommets, aux milieux des arêtes et aux centres de faces respectivement. Le rayon circonscrit ''R'' et le rayon interne ''r'' du solide {''p'', ''q''} avec une longueur d'arête ''a'' sont donnés par
:<math>R = \left({a\over 2}\right)\tan\frac{\pi}{q}\tan\frac{\theta}{2}</math>
:<math>r = \left({a\over 2}\right)\cot\frac{\pi}{p}\tan\frac{\theta}{2}</math>
où θ est l'angle dièdre. Le rayon moyen ρ est donné par
:<math>\rho = \left({a\over 2}\right)\frac{\cos(\pi/p)}{\sin(\pi/h)}</math>
où ''h'' est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (''h'' = 4, 6, 6, 10 ou 10). Noter que le rapport du rayon circonscrit au rayons interne est symétrique dans ''p'' et ''q'' :
:<math>{R\over r} = \tan\frac{\pi}{p}\tan\frac{\pi}{q}.</math>

La [[superficie]] ''A'' d'un solide de Platon {''p'', ''q''} est facilement calculée, c'est l'aire d'un ''p''-gone régulier fois le nombre de faces ''F''. C’est-à-dire :
:<math>A = \left({a\over 2}\right)^2 Fp\cot\frac{\pi}{p}.</math>

Le [[volume]] est calculé comme étant ''F'' fois le volume de la [[pyramide]] dont la base est un ''p''-gone régulier et dont la hauteur est le rayon interne ''r''. C’est-à-dire :
:<math>V = {1\over 3}rA.</math>

Le tableau suivant liste les divers rayons des solides de Platon ainsi que leurs aires ''A'' et leurs volumes ''V'', et deux taux de remplissage : les rapports entre ces volumes ''V'' et ceux, ''V{{ind|S}}'' = 4π''R''{{3}}/3, de la sphère circonscrite et ''V{{ind|s}}'' = 4π''r''{{3}}/3, de la sphère inscrite. La taille globale est fixée en prenant la longueur d'arête, ''a'', égale à 2.

{| border=1 cellpadding=6 style="border-collapse: collapse; margin: 1em auto; text-align: center;"
|-
!Polyèdre<br /><small>(''a'' = 2)</small>|| ''r'' || ρ || ''R'' || ''A'' || ''V''||''V''/''V{{ind|S}}''<ref>Pour des valeurs approchées plus précises, voir http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Footsphe.htm#remplir.</ref>||''V{{ind|s}}''/''V''<ref>Pour les valeurs approchées de ''V''/''V{{ind|s}}'', voir {{en}} http://www.thomasbending.co.uk/puzzles/geometry/spheresolids.htm, Volume of the circumscribed solid.</ref>
|-
|[[Tétraèdre]] || <math>1\over {\sqrt 6}</math> || <math>1\over {\sqrt 2}</math> || <math>\sqrt{3\over 2}</math> || <math>4\sqrt 3</math> || <math>\frac{2\sqrt 2}{3}</math>||<math>\frac2{3\pi\sqrt3}\simeq0{,}12</math>||<math>\frac{\pi}{6\sqrt3}\simeq0{,}30</math>
|-
|[[Cube]] || <math>1</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>\sqrt 3</math> || <math>24</math> || <math>8</math>||<math>\frac2{\pi\sqrt3}\simeq0{,}37</math>||<math>\frac{\pi}6\simeq0{,}52</math>
|-
|[[Octaèdre]] || <math>\sqrt{2\over 3}</math> || <math>1</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>8\sqrt 3</math> || <math>\frac{8\sqrt 2}3</math>||<math>\frac1{\pi}\simeq0{,}32</math>||<math>\frac{\pi}{3\sqrt 3}\simeq0{,}60</math>
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]] || <math>\frac{\varphi^2}{\xi}</math> || <math>\varphi^2</math> || <math>\sqrt 3\,\varphi</math> || <math>60\frac{\varphi}{\xi}</math> || <math>20\frac{\varphi^3}{\xi^2}</math>||<math>\frac{\varphi}{\pi}\sqrt{5\over3}\simeq0{,}66</math>||<math>\frac{\pi\varphi^{7/2}}{15\sqrt[4]5}\simeq0{,}75</math>
|-
|[[Icosaèdre]] || <math>\frac{\varphi^2}{\sqrt 3}</math> || <math>\varphi</math> || <math>\xi\varphi</math> || <math>20\sqrt 3</math> || <math>\frac{20\varphi^2}3</math>||<math>\frac{\sqrt\varphi\sqrt[4]5}{\pi}\simeq0{,}61</math>||<math>\frac{\pi\varphi^4}{15\sqrt3}\simeq0{,}83</math>
|}

Les constantes φ et ξ ci-dessus sont données par
:<math>\varphi = 2\cos{\pi\over 5} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\qquad\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5^{1/4}\varphi^{-1/2}.</math>

Parmi les solides de Platon, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peuvent être regardés comme la meilleure approximation de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces, le plus grand angle dièdre, et son enveloppe est la plus proche de sa sphère inscrite. Le dodécaèdre, d'un autre côté, a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle solide au sommet et il remplit le plus sa sphère circonscrite.

{{boîte déroulante|titre=Descriptions et sections planes classiques {{passage inédit|date=septembre 2011}}|contenu=
{{Section à sourcer|date=septembre 2011}}
{{Section à sourcer|date=septembre 2011}}
{{à désacadémiser|date=septembre 2011}}
{{à désacadémiser|date=septembre 2011}}
La première rubrique n’expose pas seulement des propriétés de l’octaèdre et du cube. Elle prépare à l’étude des autres solides, par exemple en expliquant ce qu’est [[#axedef|un&nbsp;axe]] de certains objets, ou en donnant une [[#dualdef|définition]] ou [[#dual_def|une&nbsp;autre]] de la dualité des solides de&nbsp;Platon. Grâce à la rubrique des [[#Contre-exemples|contre-exemples,]] l’emploi des adjectifs «&nbsp;régulier&nbsp;» et «&nbsp;convexe&nbsp;» est plus compréhensible.
La première rubrique n’expose pas seulement des propriétés de l’octaèdre et du cube. Elle compare certaines [[#sctions|sections planes]] des deux solides à des sections de dodécaèdre. Elle prépare à l’étude des autres solides en expliquant des concepts utiles, par exemple {{nobr|[[#axedef|la notion d’axe]]}} de certains objets, ou la [[#dualdef|notion de dual]] d’un solide. Grâce à la rubrique des [[#Contre-exemples|contre-exemples,]] l’emploi des adjectifs « régulier » et « convexe » est plus compréhensible.

=== Octaèdre et cube ===


;Octaèdre et cube
Nous interprétons [[#i_1|l’image]] quand nous regardons {{nobr|l’octaèdre de dessus.}} L’octaèdre est régulier, nous dit la légende. Alors ses huit faces sont des triangles équilatéraux de la même taille. [[Perspective (représentation)|La perspective]] donne aux deux faces horizontales leur vraie forme et leur vraie grandeur, les images de ''ABC'' et ''HLU'' sont superposables {{nobr|[[isométrie|– isométriques –.&nbsp;]]}} Les douze arêtes sont égales, mais le dessin en rapetisse une sur deux. N’importe quel sommet du solide est commun à quatre faces. Le solide est supposé opaque, il présente à notre regard trois faces de sommet ''A.'' L’arête cachée [''LU ''] est en pointillé, ainsi le veut une règle {{nobr|[[géométrie descriptive|de géométrie descriptive.]]}}
Nous interprétons [[#i_1|l’image]] quand nous regardons {{nobr|l’octaèdre de dessus.}} L’octaèdre est régulier, nous dit la légende. Alors ses huit faces sont des triangles équilatéraux de la même taille. [[Perspective (représentation)|La perspective]] donne aux deux faces horizontales leur vraie forme et leur vraie grandeur, les images de ''ABC'' et ''HLU'' sont superposables {{nobr|[[isométrie|– isométriques –.&nbsp;]]}} Les douze arêtes sont égales, mais le dessin en rapetisse une sur deux. N’importe quel sommet du solide est commun à quatre faces. Le solide est supposé opaque, il présente à notre regard trois faces de sommet ''A.'' L’arête cachée [''LU ''] est en pointillé, ainsi le veut une règle {{nobr|[[géométrie descriptive|de géométrie descriptive.]]}}


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Les noms des points et les couleurs des faces et des arêtes ne changent pas entre les épures 1 [[#i_2|et 2.]]
Les noms des points et les couleurs des faces et des arêtes ne changent pas entre les épures 1 [[#i_2|et 2.]]
<div style="text-align:right" id="i_1">&nbsp;</div>
<div style="text-align:right" id="i_1"> </div>
[[File:Academviews regular octahedron.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}1.'''{{Ancre|i_2}}<br/>Un octaèdre régulier vu en&nbsp;élévation et&nbsp;vu de&nbsp;dessus. Ses&nbsp;faces ''ABC'' et&nbsp;''HLU'' sont horizontales.]]
[[File:Academviews regular octahedron.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}1.'''{{Ancre|i_2}}<br/>Un octaèdre régulier vu en élévation et vu de dessus. Ses faces ''ABC'' et ''HLU'' sont horizontales.]]
[[File:Academ RegularOctahedron UnchangedCrossSectionsByOneThirdOrQuarterTurn.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}2.'''<br />Quel que soit le sens de&nbsp;rotation, un&nbsp;quart de tour autour de&nbsp;(''CS '') ou un tiers de tour autour de&nbsp;(''TS '') transforme l’octaèdre en&nbsp;lui-même, et&nbsp;conserve aussi ses sections planes perpendiculaires à l’axe de&nbsp;rotation.]]
[[File:Academ RegularOctahedron UnchangedCrossSectionsByOneThirdOrQuarterTurn.svg|thumb|
'''Épure {{numéro}}2.'''<br />Quel que soit le sens de rotation, un quart de tour autour de (''CS '') ou un tiers de tour autour de (''TS '') transforme l’octaèdre en lui-même, et conserve aussi ses sections planes perpendiculaires à l’axe de rotation.]]


Une '''diagonale d’un polyèdre''' est une droite ou un segment qui joint deux de ses sommets, sans être ni un côté ni une diagonale d’une face. Les diagonales des carrés bleu, vert et rouge sont les trois diagonales de l’octaèdre. Ce sont des diamètres de sa sphère ''circonscrite'' – la sphère qui passe par tous ses sommets –. {{nobr|Le centre ''S''}} de la sphère est le ''centre'' commun des carrés. En effet, on appelle ''centre'' d’un rectangle ou d’un {{nobr|[[polygone régulier]]}} le centre de son cercle [[Cercle circonscrit|circonscrit.]] N’importe quel solide de Platon est inscriptible dans une sphère, dont le centre s’appelle le ''centre du solide.''
Une '''diagonale d’un polyèdre''' est une droite ou un segment qui joint deux de ses sommets, sans être ni un côté ni une diagonale d’une face. Les diagonales des carrés bleu, vert et rouge sont les trois diagonales de l’octaèdre. Ce sont des diamètres de sa sphère ''circonscrite'' – la sphère qui passe par tous ses sommets –. {{nobr|Le centre ''S''}} de la sphère est le ''centre'' commun des carrés. En effet, on appelle ''centre'' d’un rectangle ou d’un {{nobr|[[polygone régulier]]}} le centre de son cercle [[Cercle circonscrit|circonscrit.]] N’importe quel solide de Platon est inscriptible dans une sphère, dont le centre s’appelle le ''centre du solide.''


L’information sur le point ''T'' serait très partielle si nous regardions seulement la vue [[#i_1|en&nbsp;élévation&nbsp;{{n°}}1]], ou seulement [[#i_2|l’épure&nbsp;{{n°}}2]]. Ce&nbsp;point ''T'' est le centre de&nbsp;''ABC'' (centre du cercle circonscrit de&nbsp;''ABC'').
L’information sur ''T'' serait très partielle si nous regardions seulement l’épure {{n°}}2, ou seulement la vue en élévation {{n°}}1. Le point ''T'' est le centre de ''ABC'' : le centre de son cercle circonscrit.


Considérons la sphère circonscrite à l’octaèdre. Son intersection avec le plan d’une face triangulaire est le cercle circonscrit à cette face. La section de la sphère par le plan d’un carré en couleur est un [[grand cercle]] de la sphère, le cercle circonscrit au carré. Dans les plans obliques des carrés, aucun des trois grands cercles n’est tracé dans les épures, ni aucun cercle circonscrit à une face. [[#i_4|L’épure {{n°|4}}]] montre en bleu deux grands cercles verticaux.
Considérons la sphère circonscrite à l’octaèdre. Son intersection avec le plan d’une face triangulaire est le cercle circonscrit à cette face. La section de la sphère par le plan d’un carré en couleur est un [[grand cercle]] de la sphère, le cercle circonscrit au carré. Dans les plans obliques des carrés, aucun des trois grands cercles n’est tracé dans les épures, ni aucun cercle circonscrit à une face. [[#i_4|L’épure {{n°|4}}]] montre en bleu deux grands cercles verticaux.
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Une infinité de sections du solide sont des carrés. Quatre carrés sont dessinés dans [[#i_2|l’épure 2,]] l’un est une réduction de la section diagonale bleue par une [[homothétie]] {{nobr|de centre ''C.'' }} Les deux carrés bleus homothétiques l’un de l’autre ont le même axe (''CS ''), qui est la diagonale commune aux deux autres carrés diagonaux. Les plans de ces carrés rouge et vert sont à la fois perpendiculaires l’un à l’autre, et perpendiculaires aux plans des deux carrés bleus.
Une infinité de sections du solide sont des carrés. Quatre carrés sont dessinés dans [[#i_2|l’épure 2,]] l’un est une réduction de la section diagonale bleue par une [[homothétie]] {{nobr|de centre ''C.'' }} Les deux carrés bleus homothétiques l’un de l’autre ont le même axe (''CS ''), qui est la diagonale commune aux deux autres carrés diagonaux. Les plans de ces carrés rouge et vert sont à la fois perpendiculaires l’un à l’autre, et perpendiculaires aux plans des deux carrés bleus.


<div style="clear:both;text-align:right" id="i_3">&nbsp;</div>
<div style="clear:both;text-align:right" id="i_3"> </div>
[[File:Academ RegularOctahedronSeenInTheDirectionOfADiagonal RegularCrossSections.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}3.'''<br />Les centres des huit faces et l’hexagone blanc, vus dans la direction d’une diagonale de l’octaèdre.]]
[[File:Academ RegularOctahedronSeenInTheDirectionOfADiagonal RegularCrossSections.svg|thumb|
'''Épure {{numéro}}3.'''<br />Les centres des huit faces et l’hexagone blanc, vus dans la direction d’une diagonale de l’octaèdre.]]


Un quart de tour autour de n’importe quelle diagonale conserve l’octaèdre. L’épure 2 attire l’attention sur des quarts de tour autour de (''CS ''), {{nobr|[[#i_3|et l’épure 3]]}} sur des quarts de tour autour de (''AS ''). Malgré l’absence de lettres dans l’épure 3, l’octaèdre est reconnaissable grâce aux couleurs des faces et des arêtes. Et on peut quand même désigner les points par leurs noms.
Un quart de tour autour de n’importe quelle diagonale conserve l’octaèdre. L’épure 2 attire l’attention sur des quarts de tour autour de (''CS ''), {{nobr|[[#i_3|et l’épure 3]]}} sur des quarts de tour autour de (''AS ''). Malgré l’absence de lettres dans l’épure 3, l’octaèdre est reconnaissable grâce aux couleurs des faces et des arêtes. Et on peut quand même désigner les points par leurs noms.
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À partir du centre d’une face, on obtient les centres de trois autres faces par trois quarts de tour successifs dans le même sens autour de (''AS ''). Les centres des cibles représentent les sommets de deux carrés d’axe (''AS ''), dans deux plans parallèles distincts. En tournant autour d’une autre diagonale de l’octaèdre, des quarts de tour auront le même effet. Par conséquent, les centres des faces triangulaires sont les sommets d’un polyèdre de six faces carrées. Ce polyèdre est un cube contenu [[#i_4|dans l’octaèdre.]]
À partir du centre d’une face, on obtient les centres de trois autres faces par trois quarts de tour successifs dans le même sens autour de (''AS ''). Les centres des cibles représentent les sommets de deux carrés d’axe (''AS ''), dans deux plans parallèles distincts. En tournant autour d’une autre diagonale de l’octaèdre, des quarts de tour auront le même effet. Par conséquent, les centres des faces triangulaires sont les sommets d’un polyèdre de six faces carrées. Ce polyèdre est un cube contenu [[#i_4|dans l’octaèdre.]]


<div style="clear:both;text-align:right" id="i_4">&nbsp;</div>
<div style="clear:both;text-align:right" id="i_4"> </div>
[[File:Academ Elevation Cube in its dual.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}4.'''<br />Les centres des faces du même octaèdre sont les sommets d’un cube.]]
[[File:Academ Elevation Cube in its dual.svg|thumb|
'''Épure {{numéro}}4.'''<br />Les centres des faces du même octaèdre sont les sommets d’un cube.]]


Dans l’espace, un sommet du cube est au tiers {{nobr|[[Médiane (géométrie)|de chaque médiane]]}} d’une face équilatérale. Une épure le représente au tiers des images des médianes. [[#i_3|L’épure 3]] permet de comparer la longueur d’une arête de l’octaèdre et celle d’une diagonale d’une face du cube. En effet, la dimension du contour vert de l’octaèdre est la longueur de ses arêtes. Et une diagonale d’une face du cube est en vraie grandeur si elle est parallèle à un côté du carré vert. Ce rapport de longueurs apparaît aussi {{nobr|[[#i_4|dans l’épure 4,]]}} qui montre le cube en élévation dans le même octaèdre. Par exemple, le centre ''K'' de ''ALU'' est un sommet du cube. Avec des sommets de mêmes noms et des faces de mêmes couleurs, ce cube est étudié jusque dans la prochaine rubrique.
Dans l’espace, un sommet du cube est au tiers {{nobr|[[Médiane (géométrie)|de chaque médiane]]}} d’une face équilatérale. Une épure le représente au tiers des images des médianes. [[#i_3|L’épure 3]] permet de comparer la longueur d’une arête de l’octaèdre et celle d’une diagonale d’une face du cube. En effet, la dimension du contour vert de l’octaèdre est la longueur de ses arêtes. Et une diagonale d’une face du cube est en vraie grandeur si elle est parallèle à un côté du carré vert. Ce rapport de longueurs apparaît aussi {{nobr|[[#i_4|dans l’épure 4,]]}} qui montre le cube en élévation dans le même octaèdre. Par exemple, le centre ''K'' de ''ALU'' est un sommet du cube. Avec des sommets de mêmes noms et des faces de mêmes couleurs, ce cube est étudié jusque dans la prochaine rubrique.


<span id="dualdef"
<span id="dualdef"
title=" Que signifie « dual » ? ">Étant donné un solide de Platon de ''p'' sommets et ''q''&nbsp;faces,</span> son&nbsp;'''dual''' est un solide de&nbsp;Platon qui a le même nombre d’arêtes, ''q''&nbsp;sommets et&nbsp;''p''&nbsp;faces. Quand on dit que cube et octaèdre sont duaux l’un de l’autre par exemple, ou quand on parle «&nbsp;du&nbsp;» dual de l’un ou&nbsp;l’autre avec un article&nbsp;défini, alors on désigne par «&nbsp;cube&nbsp;» ou par «&nbsp;octaèdre&nbsp;» le nombre infini des polyèdres réguliers convexes, tous semblables entre eux, qui ont huit sommets dans un&nbsp;cas, huit faces dans l’autre&nbsp;cas.
title=" Que signifie « dual » ? ">Étant donné un solide de Platon de ''p'' sommets et ''q'' faces,</span> son '''dual''' est un solide de Platon de ''q'' sommets et ''p'' faces, avec le même nombre d’arêtes. Quand on dit que cube et octaèdre sont duaux l’un de l’autre par exemple, ou quand on parle « du » dual de l’octaèdre avec un article défini, sans avoir précisé davantage de quel solide il s’agit, alors on désigne par « cube » ou par « octaèdre » l’ensemble des polyèdres réguliers {{nobr|en nombre infini,}} tous semblables entre eux, qui ont huit sommets dans un cas, huit faces dans l’autre.

En prenant l’expression "solide de Platon" dans cette acception, c’est-à-dire en considérant un solide à une similitude près, voici une <span id="dual_def">autre définition de la dualité de ces solides&nbsp;: deux&nbsp;solides</span> sont duaux l’un de l’autre quand ils peuvent partager les milieux de&nbsp;toutes leurs&nbsp;arêtes. Quand un cube et un octaèdre partagent les milieux de&nbsp;leurs douze&nbsp;arêtes, leur&nbsp;intersection peut aussi bien s’appeler un [[Cube tronqué|cube&nbsp;tronqué]] qu’un octaèdre&nbsp;tronqué. Une&nbsp;façon de construire le dual d’un solide donné est de le tronquer à chaque sommet, par une section qui passe par les milieux des arêtes issues du sommet&nbsp;tronqué, puis de prolonger par des plans les faces du solide tronqué qui sont semblables à&nbsp;celles du solide&nbsp;voulu.


À partir d’un octaèdre régulier, comment obtenir un dual {{nobr|de même centre ? }} L’épure 4 montre une construction possible. On peut aussi construire les faces d’un dual, au lieu de construire ses sommets. Les plans des faces carrées de cet autre cube sont perpendiculaires en leurs extrémités aux diagonales de l’octaèdre. Les arêtes de ce cube-là sont égales aux diagonales de l’octaèdre. Les sommets de l’octaèdre initial sont alors les centres des six carrés construits. Le cube et l’octaèdre duaux l’un de l’autre sont ainsi disposés dans la prochaine rubrique, [[#i_8|épure 8.]]
À partir d’un octaèdre régulier, comment obtenir un dual {{nobr|de même centre ? }} L’épure 4 montre une construction possible. On peut aussi construire les faces d’un dual, au lieu de construire ses sommets. Les plans des faces carrées de cet autre cube sont perpendiculaires en leurs extrémités aux diagonales de l’octaèdre. Les arêtes de ce cube-là sont égales aux diagonales de l’octaèdre. Les sommets de l’octaèdre initial sont alors les centres des six carrés construits. Le cube et l’octaèdre duaux l’un de l’autre sont ainsi disposés dans la prochaine rubrique, [[#i_8|épure 8.]]
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{{Ancre|canonicaldual}}Deux solides de Platon sont des duaux ''[[Canonique (mathématiques)|canoniques]]'' l’un de l’autre quand '''les sommets de l’un sont les centres des faces de l’autre'''. Tout solide de Platon est un dual canonique de deux autres, semblables entre eux. Le centre commun des trois solides est le centre des homothéties qui transforment l’un en l’autre les solides semblables. Par exemple, les centres des faces du cube de l’épure 4 sont les sommets d’un octaèdre régulier, homothétique du premier octaèdre.
{{Ancre|canonicaldual}}Deux solides de Platon sont des duaux ''[[Canonique (mathématiques)|canoniques]]'' l’un de l’autre quand '''les sommets de l’un sont les centres des faces de l’autre'''. Tout solide de Platon est un dual canonique de deux autres, semblables entre eux. Le centre commun des trois solides est le centre des homothéties qui transforment l’un en l’autre les solides semblables. Par exemple, les centres des faces du cube de l’épure 4 sont les sommets d’un octaèdre régulier, homothétique du premier octaèdre.


L’octaèdre et le cube de l’épure 4 ont le même centre ''S. '' Les quatre diagonales d’un cube ont le même milieu, qui est le centre du&nbsp;cube&nbsp;:&nbsp; son centre de symétrie, et le centre de sa sphère circonscrite. Les quatre arêtes du cube parallèles à (''AH '') sont en vraie grandeur. Deux des quatre ont leurs images confondues, avec ''S'' représenté au milieu. Pour mieux montrer le cube, l’épure 4 laisse vides les volumes des sphères et de l’octaèdre. La perspective ne déforme pas le cercle de diamètre [''VT ''] dans le plan vertical (''ATH ''). Avec ce cercle on imagine la sphère inscrite dans l’octaèdre, tangente à ses huit faces. C’est aussi la sphère circonscrite au cube.
L’octaèdre et le cube de l’épure 4 ont le même centre ''S. '' Les quatre diagonales d’un cube ont le même milieu, qui est le centre {{nobr|du cube : }} son centre de symétrie, et le centre de sa sphère circonscrite. Les quatre arêtes du cube parallèles à (''AH '') sont en vraie grandeur. Deux des quatre ont leurs images confondues, avec ''S'' représenté au milieu. Pour mieux montrer le cube, l’épure 4 laisse vides les volumes des sphères et de l’octaèdre. La perspective ne déforme pas le cercle de diamètre [''VT ''] dans le plan vertical (''ATH ''). Avec ce cercle on imagine la sphère inscrite dans l’octaèdre, tangente à ses huit faces. C’est aussi la sphère circonscrite au cube.


Présente seulement dans [[#i_4|l’épure 4,]] la lettre ''t'' désigne la hauteur d’une face équilatérale. Rapportée à la longueur d’une arête de l’octaèdre, la distance entre deux arêtes opposées du cube est :<br /><math>\tfrac{TK}{BU} = \tfrac{AT}{t} = \tfrac{2}{3}.</math>
Présente seulement dans [[#i_4|l’épure 4,]] la lettre ''t'' désigne la hauteur d’une face équilatérale. Rapportée à la longueur d’une arête de l’octaèdre, la distance entre deux arêtes opposées du cube est :<br /><math>\tfrac{TK}{BU} = \tfrac{AT}{t} = \tfrac{2}{3}.</math>
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[[#i_4|Dans l’épure 4,]] le contour du cube est semblable [[format de papier|au format A4]] ou à un format de papier semblable, {{nobr|A3 par exemple.}} Les images rectangulaires des faces du cube sont des réductions de ''VKTE'' {{nobr|à l’échelle <math>\tfrac{\sqrt{2}}{2}</math> }}, elles représentent chacune deux faces du cube.
[[#i_4|Dans l’épure 4,]] le contour du cube est semblable [[format de papier|au format A4]] ou à un format de papier semblable, {{nobr|A3 par exemple.}} Les images rectangulaires des faces du cube sont des réductions de ''VKTE'' {{nobr|à l’échelle <math>\tfrac{\sqrt{2}}{2}</math> }}, elles représentent chacune deux faces du cube.


<div id="i_6" style="float:right;width:300px;height:90px;border:black dashed;margin:3em;padding:3em">Une '''épure {{numéro}}5''' est prévue, où se couperont des sections diagonales d’un cube.</div>
[[File:AcademViews Cube EquatorialCrossSectionOrthogonalToADiagonal.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}6.'''<br />Un demi-cube en élévation et de dessus. Une diagonale du cube initial est verticale comme [[#i_4|dans l’épure {{numéro}}4.]]]]
[[File:AcademViews Cube EquatorialCrossSectionOrthogonalToADiagonal.svg|thumb|
'''Épure {{numéro}}6.'''<br />Un demi-cube en élévation et de dessus. Une diagonale du cube initial est verticale comme [[#i_4|dans l’épure {{numéro}}4.]]]]


Dans la présente rubrique et dans la prochaine, ''h'' est le tiers de la longueur d’une diagonale du cube. {{nobr|''h'' √{{surligner|3}} est}} alors la longueur d’une arête du cube, {{nobr|et ''h'' √{{surligner|6}} }} la distance entre deux arêtes opposées.
Dans la présente rubrique et dans la prochaine, ''h'' est le tiers de la longueur d’une diagonale du cube. {{nobr|''h'' √{{surligner|3}} est}} alors la longueur d’une arête du cube, {{nobr|et ''h'' √{{surligner|6}} }} la distance entre deux arêtes opposées.
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Visible dans [[#i_1|l’épure {{numéro}}1,]] l’angle entre une diagonale et une face d’un octaèdre mesure ''γ.'' Le supplément {{nobr|de&nbsp; ( 2 ''γ '')&nbsp;}} est l’angle de deux faces adjacentes. Quand un octaèdre régulier a deux faces horizontales, le complément de ''γ'' est l’inclinaison de ses six arêtes obliques, ou l’inclinaison de ses trois plans diagonaux. La lettre ''γ'' désigne la même mesure d’angle sous le prochain titre.
Visible dans [[#i_1|l’épure {{numéro}}1,]] l’angle entre une diagonale et une face d’un octaèdre mesure ''γ.'' Le supplément {{nobr|de&nbsp; ( 2 ''γ '')&nbsp;}} est l’angle de deux faces adjacentes. Quand un octaèdre régulier a deux faces horizontales, le complément de ''γ'' est l’inclinaison de ses six arêtes obliques, ou l’inclinaison de ses trois plans diagonaux. La lettre ''γ'' désigne la même mesure d’angle sous le prochain titre.


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=== Cube et tétraèdre ===
;Cube et tétraèdre


<div style="clear:both;text-align:right" id="i_7">&nbsp;</div>
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[[File:Academ truncated cube on triangular face.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}7.'''{{Ancre|i_8}}<br/>En élévation et de dessus, un cube tronqué posé sur sa face horizontale&nbsp;''KMN.&nbsp;'' Trois troncatures de&nbsp;plus, et on obtient le tétraèdre régulier&nbsp;''TKMN.'']]
[[File:Academ truncated cube on triangular face.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}7.'''{{Ancre|i_8}}<br/>En élévation et de dessus, un cube tronqué posé sur sa face horizontale ''KMN. '' Trois troncatures de plus, et on obtient le tétraèdre régulier ''TKMN.'']]
[[File:Academ Three concentric platonic solids in a cube.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}8.'''{{Ancre|i_9}}<br/>Deux tétraèdres réguliers ont leurs arêtes à la surface d’un même cube. Leur intersection est un octaèdre régulier, dont les sommets sont les centres des faces du cube.]]
[[File:Academ Three concentric platonic solids in a cube.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}8.'''{{Ancre|i_9}}<br/>Deux tétraèdres réguliers ont leurs arêtes à la surface d’un même cube. Leur intersection est un octaèdre régulier, dont les sommets sont les centres des faces du cube.]]
[[File:AcademViews RegularTetrahedron in a cube.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}9.'''<br />Les arêtes d’un tétraèdre régulier et d’un cube, en élévation et de dessus. Le centre commun ''S'' des deux solides est l’origine d’un repère orthonormé. Les axes du repère sont en trois couleurs différentes, chacun est l’axe de symétrie d’une paire d’arêtes orthogonales du tétraèdre.]]
[[File:AcademViews RegularTetrahedron in a cube.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}9.'''<br />Les arêtes d’un tétraèdre régulier et d’un cube, en élévation et de dessus. Le centre commun ''S'' des deux solides est l’origine d’un repère orthonormé. Les axes du repère sont en trois couleurs différentes, chacun est l’axe de symétrie d’une paire d’arêtes orthogonales du tétraèdre.]]


Un tétraèdre régulier est une pyramide régulière triangulaire, dont les six arêtes sont égales. Avec quatre faces et quatre sommets, ce tétraèdre est son [[#dualdef|propre dual.]] Par exemple, les centres de ses faces sont les sommets d’un solide semblable concentrique.
Un tétraèdre régulier est une pyramide régulière triangulaire, dont les six arêtes sont égales. Avec quatre faces et quatre sommets, ce tétraèdre est son [[#dualdef|propre dual.]] Par exemple, les centres de ses faces sont les sommets d’un solide semblable concentrique.
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''S'' est le centre des sphères inscrite et circonscrite à ''TKMN. '' La position de ''S'' est la même sur les quatre hauteurs du tétraèdre. En élévation, l’épure {{n°}}9 montre les deux sphères centrées au quart de [''TR ''] à partir de la base correspondante. Les trois coordonnées de ''R'' sont égales à l’opposé d’un tiers. La sphère inscrite dans ''TKMN'' est trois fois plus petite que la circonscrite. Son diamètre ''h'' est égal à <math>\tfrac{2\,\sqrt{3}}3</math>, avec l’unité de longueur choisie dans l’épure.
''S'' est le centre des sphères inscrite et circonscrite à ''TKMN. '' La position de ''S'' est la même sur les quatre hauteurs du tétraèdre. En élévation, l’épure {{n°}}9 montre les deux sphères centrées au quart de [''TR ''] à partir de la base correspondante. Les trois coordonnées de ''R'' sont égales à l’opposé d’un tiers. La sphère inscrite dans ''TKMN'' est trois fois plus petite que la circonscrite. Son diamètre ''h'' est égal à <math>\tfrac{2\,\sqrt{3}}3</math>, avec l’unité de longueur choisie dans l’épure.
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=== Dodécaèdre de Platon ===


;Dodécaèdre
Est-il possible que douze pentagones réguliers convexes, tous isométriques entre eux, aient leurs vingt sommets sur une sphère, chaque sommet étant commun à trois des pentagones ? En construisant un objet, on prouve qu’il existe. Le premier sujet de cette rubrique est la construction géométrique d’un dodécaèdre de Platon, à partir de deux demi-patrons idéalisés. Chaque demi-patron contient six faces. [[#j_10|L’épure {{n°}}10]] montre à plat un demi-patron gris. Au polygone gris de vingt côtés s’ajoutent '''les plis''' de la feuille : les cinq côtés de la face centrale <span style="font-weight:bold;font-style:italic">RSUVW.</span> Une fois pliée, la feuille devient dans l’espace une vasque de six faces. Son bord dentelé a dix sommets, son fond en a cinq. Au cas où nous pourrions fermer la vasque par une vasque identique en guise de couvercle, obtiendrions-nous un polyèdre inscriptible dans une sphère ?
Est-il possible que douze pentagones réguliers convexes, tous isométriques entre eux, aient leurs vingt sommets sur une sphère, chaque sommet étant commun à trois des pentagones ? En construisant un objet, on prouve qu’il existe. Le premier sujet de cette rubrique est la construction géométrique d’un dodécaèdre de Platon, à partir de deux demi-patrons idéalisés. Chaque demi-patron contient six faces. [[#j_10|L’épure {{n°}}10]] montre à plat un demi-patron gris. Au polygone gris de vingt côtés s’ajoutent '''les plis''' de la feuille : les cinq côtés de la face centrale <span style="font-weight:bold;font-style:italic">RSUVW.</span> Une fois pliée, la feuille devient dans l’espace une vasque de six faces. Son bord dentelé a dix sommets, son fond en a cinq. Au cas où nous pourrions fermer la vasque par une vasque identique en guise de couvercle, obtiendrions-nous un polyèdre inscriptible dans une sphère ?


<div style="clear: both;text-align:right" id="j_10">&nbsp;</div>
<div style="clear: both;text-align:right" id="j_10"> </div>
[[File:Academ six unfolded faces dodecahedron.svg|thumb|upright=2|'''Épure {{n°}}10.'''<br />Un contour du solide en perspective est construit en géométrie plane à partir de six faces dépliées du solide.]]
[[File:Academ six unfolded faces dodecahedron.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}10.'''<br />Un contour du solide en perspective est construit en géométrie plane à partir de six faces dépliées du solide.]]


Dans toute la rubrique, ''a'' sera la longueur des trente arêtes du solide, et ''d'' celle des soixante diagonales des douze faces. Par exemple dans l’épure {{n°|10, }} {{nobr|1=''UV'' = ''a. ''}} {{nobr|1=Et ''WS '' = φ ''a '' = ''d'', }} où la lettre φ désigne le {{nobr|[[nombre d'or]] :}}
Dans toute la rubrique, ''a'' sera la longueur des trente arêtes du solide, et ''d'' celle des soixante diagonales des douze faces. Par exemple dans l’épure {{n°|10, }} {{nobr|1=''UV'' = ''a. ''}} {{nobr|1=Et ''WS '' = φ ''a '' = ''d'', }} où la lettre φ désigne le {{nobr|[[nombre d'or]] :}}
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À partir de l’épure {{n°}}11, les lettres qui nommaient les sommets du décagone ''KFNCLAPEMB '' ne désignent plus dix points coplanaires, elles désignent dix sommets du dodécaèdre. Quand les lettres sont absentes d’une épure, on reconnaît quand même le solide grâce aux couleurs de ses faces, les points de la figure de l’espace ont quand même leurs noms. [[#j_14|L’épure 14]] ne respecte pas les couleurs des faces, afin de mieux montrer un pavage de triangles colorés.
À partir de l’épure {{n°}}11, les lettres qui nommaient les sommets du décagone ''KFNCLAPEMB '' ne désignent plus dix points coplanaires, elles désignent dix sommets du dodécaèdre. Quand les lettres sont absentes d’une épure, on reconnaît quand même le solide grâce aux couleurs de ses faces, les points de la figure de l’espace ont quand même leurs noms. [[#j_14|L’épure 14]] ne respecte pas les couleurs des faces, afin de mieux montrer un pavage de triangles colorés.


<div style="clear: both;text-align:right" id="j_11">&nbsp;</div>
<div style="clear: both;text-align:right" id="j_11"> </div>
[[File:AcademViews PlatonicDodecahedron RegularDecagon.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}11'''.{{Ancre|j_12}}<br/>Un dodécaèdre en élévation et de dessus. Deux faces du solide sont horizontales. La section équatoriale horizontale est le décagone régulier convexe aux côtés blancs.]]
[[File:AcademViews PlatonicDodecahedron RegularDecagon.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}11'''.{{Ancre|j_12}}<br/>Un dodécaèdre en élévation et de dessus. Deux faces du solide sont horizontales. La section équatoriale horizontale est le décagone régulier convexe aux côtés blancs.]]
[[File:Academviews Platonic dodecahedron.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}12'''.<br />En élévation et de dessus, le dodécaèdre dans un cube. Chaque face de ce cube contient une arête du dodécaèdre. Quelques sections planes sont tracées, qui sont des polygones réguliers.]]
[[File:Academviews Platonic dodecahedron.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}12'''.<br />En élévation et de dessus, le dodécaèdre dans un cube. Chaque face de ce cube contient une arête du dodécaèdre. Quelques sections planes sont tracées, qui sont des polygones réguliers.]]
[[File:Academ PlatonicDodecahedron EquatorialRegularHexagons.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}13'''.{{Ancre|j_14}}<br/>Autour d’une droite passant par deux sommets opposés, une rotation d’un tiers de tour transforme le solide en lui-même, et conserve aussi l’hexagone régulier, dans le plan équatorial perpendiculaire à l’axe de rotation.]]
[[File:Academ PlatonicDodecahedron EquatorialRegularHexagons.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}13'''.{{Ancre|j_14}}<br/>Autour d’une droite passant par deux sommets opposés, une rotation d’un tiers de tour transforme le solide en lui-même, et conserve aussi l’hexagone régulier, dans le plan équatorial perpendiculaire à l’axe de rotation.]]
[[File:Academ PlatonicDodecahedron twentyRegularHexagons GoldenRatio Notations.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}14'''.<br />Vingt sections non équatoriales sont des hexagones réguliers, chaque section est perpendiculaire à une droite passant par deux sommets opposés.]]
[[File:Academ PlatonicDodecahedron twentyRegularHexagons GoldenRatio Notations.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}14'''.<br />Vingt sections non équatoriales sont des hexagones réguliers, chaque section est perpendiculaire à une droite passant par deux sommets opposés.]]


Dans tous les contours du solide en perspective, au moins deux arêtes opposées ont leur distance en vraie grandeur. Entre deux arêtes symétriques l’une de l’autre par rapport à ''Ω'', la distance {{nobr|φ ''d'', }} ou {{nobr|φ{{Exp|2}} ''a'', }} est aussi la distance entre les milieux des deux arêtes. Une droite passant par ''Ω'' et par le milieu d’une arête est un axe de symétrie du dodécaèdre.
Dans tous les contours du solide en perspective, au moins deux arêtes opposées ont leur distance en vraie grandeur. Entre deux arêtes symétriques l’une de l’autre par rapport à ''Ω'', la distance {{nobr|φ ''d'', }} ou {{nobr|φ{{Exp|2}} ''a'', }} est aussi la distance entre les milieux des deux arêtes. Une droite passant par ''Ω'' et par le milieu d’une arête est un axe de symétrie du dodécaèdre.
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Les arêtes d’un cube sont en gris clair épais [[#j_12|dans l’épure 12.]] Chaque face carrée du cube contient une arête du dodécaèdre, parallèle à deux côtés du carré. Le milieu de l’arête est le centre du carré. À la surface de ce cube, quatre arêtes du dodécaèdre sont en vraie grandeur en élévation. Le plan vertical (''ARΩ '') contient deux des quatre, [''AR ''] et son opposée. Les deux autres sont [''FL ''] et [''PB ''], symétriques l’une de l’autre par rapport à (''ARΩ ''). Deux arêtes du dodécaèdre à la surface du cube sont représentées par des points en élévation : les arêtes horizontales [''VU ''] et son opposée.
Les arêtes d’un cube sont en gris clair épais [[#j_12|dans l’épure 12.]] Chaque face carrée du cube contient une arête du dodécaèdre, parallèle à deux côtés du carré. Le milieu de l’arête est le centre du carré. À la surface de ce cube, quatre arêtes du dodécaèdre sont en vraie grandeur en élévation. Le plan vertical (''ARΩ '') contient deux des quatre, [''AR ''] et son opposée. Les deux autres sont [''FL ''] et [''PB ''], symétriques l’une de l’autre par rapport à (''ARΩ ''). Deux arêtes du dodécaèdre à la surface du cube sont représentées par des points en élévation : les arêtes horizontales [''VU ''] et son opposée.


La même épure {{n°}}12 montre des carrés en trait fin jaune, un seul carré en élévation, non déformé par la perspective. Ce carré-là représente deux faces opposées d’un cube, dont les douze arêtes sont à la surface du dodécaèdre. Chaque face du dodécaèdre a une diagonale confondue avec une arête d'un tel&nbsp;cube. '''Cinq&nbsp;cubes''' [[Concentricité|concentriques]] sont ainsi associés au dodécaèdre, tous de même&nbsp;taille.
La même épure {{n°}}12 montre des carrés en trait fin jaune, un seul carré en élévation, non déformé par la perspective. Ce carré-là représente deux faces opposées d’un cube, dont les douze arêtes sont à la surface du dodécaèdre. Cinq cubes sont ainsi associés au dodécaèdre de Platon, tous de la même taille et de même centre ''Ω. '' Étant donné un tel cube à l’intérieur du dodécaèdre, une diagonale de chaque face du dodécaèdre est une arête du cube.

On peut donc construire un dodécaèdre de Platon en tronquant un cube à chacune de ses arêtes, par la section parallèle à l’arête tronquée et qui passe par les points que nous allons définir. D’abord on construit sur les six faces du cube six&nbsp;futures arêtes du&nbsp;dodécaèdre&nbsp;: trois paires de&nbsp;segments dans les trois directions des arêtes du&nbsp;cube, le&nbsp;milieu de chaque segment étant le centre d’une face du&nbsp;cube, et l’ensemble des six segments étant symétrique par rapport au centre du&nbsp;cube. La&nbsp;longueur des six segments égaux est la dimension du&nbsp;cube divisée par&nbsp; φ<sup>&nbsp;2</sup>&nbsp;=&nbsp;φ&nbsp;+&nbsp;1,&nbsp; ou&nbsp;multipliée {{nobr|par&nbsp; 2 – φ}}.&nbsp; Puis on&nbsp;tronque le&nbsp;cube, chaque plan de&nbsp;section contenant l’un des six segments précédents, et passant par&nbsp;l’extrêmité d’un autre des&nbsp;segments.


L’homothétie de centre ''Ω'' et de rapport φ agrandit le cube aux fines arêtes jaunes en l’autre cube aux grosses arêtes grises, qui contient le dodécaèdre. Alors plutôt que cinq cubes, associons cinq paires de cubes concentriques à un dodécaèdre de Platon.
L’homothétie de centre ''Ω'' et de rapport φ agrandit le cube aux fines arêtes jaunes en l’autre cube aux grosses arêtes grises, qui contient le dodécaèdre. Alors plutôt que cinq cubes, associons cinq paires de cubes concentriques à un dodécaèdre de Platon.
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L’hexagone mauve a sa vraie forme et sa vraie grandeur. Il représente deux sections symétriques l’une de l’autre par rapport à ''Ω. '' L’une est entièrement devant le solide, elle a un sommet commun avec l’hexagone vert. L’hexagone régulier vert a tous ses côtés rapetissés par la perspective. D’axe (''LB '') comme l’hexagone vert, le symétrique de l’hexagone vert par rapport à ''Ω'' n’est pas dessiné. Il a un sommet derrière le solide représenté comme un sommet du mauve, à l’intersection des images d’une arête en pointillé et de [''AM ''] en trait plein.
L’hexagone mauve a sa vraie forme et sa vraie grandeur. Il représente deux sections symétriques l’une de l’autre par rapport à ''Ω. '' L’une est entièrement devant le solide, elle a un sommet commun avec l’hexagone vert. L’hexagone régulier vert a tous ses côtés rapetissés par la perspective. D’axe (''LB '') comme l’hexagone vert, le symétrique de l’hexagone vert par rapport à ''Ω'' n’est pas dessiné. Il a un sommet derrière le solide représenté comme un sommet du mauve, à l’intersection des images d’une arête en pointillé et de [''AM ''] en trait plein.


Le nombre de ces sections-là est le nombre de sommets du solide. Les plans des vingt hexagones réguliers sont les plans des faces d’un [[dual]] du dodécaèdre : un icosaèdre de Platon. Ces vingt plans sont perpendiculaires aux dix droites passant par un sommet et par le centre du dodécaèdre. Ils sont parallèles aux faces de l’un ou l’autre [[#canonicaldual|dual&nbsp;canonique]] du dodécaèdre. Les trois icosaèdres concentriques sont deux à deux homothétiques dans des homothéties de centre ''Ω.''
Le nombre de ces sections-là est le nombre de sommets du solide. Les plans des vingt hexagones réguliers sont les plans des faces d’un [[dual]] du dodécaèdre : un icosaèdre de Platon. Ces vingt plans sont perpendiculaires aux dix droites passant par un sommet et par le centre du dodécaèdre. Ils sont parallèles aux faces de l’un ou l’autre {{nobr|[[#canonicaldual|dual canonique]]}} du dodécaèdre. Les trois icosaèdres concentriques sont deux à deux homothétiques dans des homothéties de centre ''Ω.''
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=== Icosaèdre de Platon ===
;Icosaèdre
[[File:Academ Two stellations of a Platonic dodecahedron.svg|thumb|upright=1.5|left| Les sommets d'un icosaèdre de Platon ici construits à&nbsp;partir d'un&nbsp;dodécaèdre de&nbsp;Platon, en&nbsp;prolongeant ses&nbsp;arêtes.]]
Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont [[#Polyèdre dual|duaux]] l'un de l'autre : les centres des faces d'un dodécaèdre sont les sommets d'un icosaèdre de Platon [[Concentricité|concentrique]] et, inversement, les centres des faces d'un icosaèdre de Platon sont les sommets d'un dodécaèdre de Platon concentrique. Les sommets d'un icosaèdre de Platon peuvent être construits à partir d'un dodécaèdre de Platon, en prolongeant ses arêtes (voir {{Commons-inline|Category:Dodecahedron and icosahedron|Dodécaèdre et icosaèdre}}).
Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont [[#Polyèdre dual|duaux]] l'un de&nbsp;l'autre&nbsp;: les centres des faces d'un icosaèdre sont les sommets d'un dodécaèdre de&nbsp;Platon [[Concentricité|concentrique]], et&nbsp;inversement les centres des faces d'un dodécaèdre de&nbsp;Platon sont les sommets d'un icosaèdre concentrique. On&nbsp;peut construire ces sommets-là en&nbsp;prolongeant [[#Icosaèdre_de_Platon|les&nbsp;arêtes]] d'un&nbsp;dodécaèdre de&nbsp;Platon, ce qui revient [[Stellation#Les_polygones_étoilés|à&nbsp;étoiler]] les douze faces du&nbsp;dodécaèdre. Les&nbsp;sommets [[Pentagramme#Le_pentagramme,_figure_géométrique|du&nbsp;pentagone&nbsp;étoilé]] sont les sommets d'une section régulière classique de&nbsp;l'icosaèdre, qui&nbsp;contient cinq&nbsp;arêtes du&nbsp;solide. En&nbsp;étoilant le dodécaèdre, autrement dit en prolongeant ses faces, on obtient un dodécaèdre étoilé de mêmes sommets que&nbsp;l'icosaèdre&nbsp;: un&nbsp;[[Petit dodécaèdre étoilé|petit&nbsp;dodécaèdre&nbsp;étoilé]] ou&nbsp;un [[Grand dodécaèdre|grand&nbsp;dodécaèdre]]. Inversement, on obtient un dodécaèdre régulier convexe en&nbsp;tronquant douze&nbsp;fois un dodécaèdre étoilé, quand les&nbsp;plans de&nbsp;sections sont les plans des&nbsp;faces du&nbsp;polyèdre étoilé. On obtient aussi un dodécaèdre de&nbsp;Platon en&nbsp;tronquant à&nbsp;chaque sommet un icosaèdre de&nbsp;Platon, par&nbsp;une section passant par&nbsp;les extrêmités des cinq&nbsp;arêtes issues du&nbsp;sommet tronqué.
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=== Contre-exemples ===
;Contre-exemples
{{Ancre|triangularbipyramid}}Pour qu’un polyèdre soit '''régulier''', il faut que toutes ses faces soient des polygones [[Polygone régulier|réguliers]] isométriques – superposables –. Cette condition ne suffit pas. Par exemple, en ajoutant à un tétraèdre régulier son symétrique par rapport au plan d’une face, on obtient un hexaèdre dont les faces sont des triangles équilatéraux de même taille. Parfois appelé « [[diamant triangulaire]] », cet hexaèdre [[Ensemble convexe|est convexe.]] Il n’est pas régulier, parce que l’un quelconque de ses sommets est commun soit à trois faces, {{nobr|soit à quatre.}} Pour qu’un polyèdre soit régulier, il faut et il suffit que ses faces soient des polygones réguliers isométriques, et qu’à chaque sommet les arêtes issues du sommet forment des figures isométriques. Non régulier, cet hexaèdre construit à partir d’un tétraèdre régulier n’est pas un solide de Platon.
{{Ancre|triangularbipyramid}}Pour qu’un polyèdre soit '''régulier''', il faut que toutes ses faces soient des polygones [[Polygone régulier|réguliers]] isométriques – superposables –. Cette condition ne suffit pas. Par exemple, en ajoutant à un tétraèdre régulier son symétrique par rapport au plan d’une face, on obtient un hexaèdre dont les faces sont des triangles équilatéraux de même taille. Parfois appelé « [[diamant triangulaire]] », cet hexaèdre [[Ensemble convexe|est convexe.]] Il n’est pas régulier, parce que l’un quelconque de ses sommets est commun soit à trois faces, {{nobr|soit à quatre.}} Pour qu’un polyèdre soit régulier, il faut et il suffit que ses faces soient des polygones réguliers isométriques, et qu’à chaque sommet les arêtes issues du sommet forment des figures isométriques. Non régulier, cet hexaèdre construit à partir d’un tétraèdre régulier n’est pas un solide de Platon.


{{Ancre|tetrahemihexa}}Parce que '''les faces d’un polyèdre peuvent se couper''', définir l’ensemble des arêtes d’un polyèdre ne suffit pas à définir le polyèdre. Par exemple, prenons un octaèdre régulier. Prenons ses trois carrés diagonaux et quatre de ses faces, de façon que deux faces triangulaires quelconques n’aient pas d’arête commune. Et voilà les sept faces [[tétrahémihexaèdre|d’un tétrahémihexaèdre,]] qui a les mêmes sommets et les mêmes arêtes que l’octaèdre initial. Ce polyèdre de sept faces n’est [[#triangularbipyramid|ni régulier,]] ni convexe. Ce n’est donc pas un solide de Platon. Nommer des sommets en partant d’un sommet quelconque et en suivant des arêtes, désigner l’octaèdre {{nobr|[[#i_1|de l’épure {{n°}}1]]}} par<span style="font-weight:bold;font-style:italic"> ABCHLU </span> par exemple, '''ce serait incorrect''' parce que deux objets différents ne peuvent pas porter le même nom.
{{Ancre|tetrahemihexa}}Parce que '''les faces d’un polyèdre peuvent se couper''', définir l’ensemble des arêtes d’un polyèdre ne suffit pas à définir le polyèdre. Par exemple, prenons un octaèdre régulier. Prenons ses trois carrés diagonaux et quatre de ses faces, de façon que deux faces triangulaires quelconques n’aient pas d’arête commune. Et voilà les sept faces [[tétrahémihexaèdre|d’un tétrahémihexaèdre,]] qui a les mêmes sommets et les mêmes arêtes que l’octaèdre initial. Ce polyèdre de sept faces n’est [[#triangularbipyramid|ni régulier,]] ni convexe. Ce n’est donc pas un solide de Platon. Nommer des sommets en partant d’un sommet quelconque et en suivant des arêtes, désigner l’octaèdre {{nobr|[[#i_1|de l’épure {{n°}}1]]}} par<span style="font-weight:bold;font-style:italic"> ABCHLU </span> par exemple, '''ce serait incorrect''' parce que deux objets différents ne peuvent pas porter le même nom.
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}}

== Propriétés combinatoires ==

Un polyèdre convexe est un solide de Platon si et seulement si
#Toutes ses faces sont des [[polygone régulier|polygones réguliers]] convexes [[Isométrie|isométriques]], c'est-à-dire superposables,
#Aucune de ses faces ne se coupe, excepté sur les arêtes
#Le même nombre de faces se rencontrent à chacun de ses [[sommet (géométrie)|sommets]].
Chaque solide de Platon peut par conséquent être noté par un symbole {''p'', ''q''} où
:''p'' = le nombre de côtés de chaque face (ou le nombre de sommets sur chaque face) et
:''q'' = le nombre de faces se rencontrant à chaque sommet (ou le nombre d'arêtes se rencontrant à chaque sommet).
Le symbole {''p'', ''q''}, appelé le [[symbole de Schläfli]], donne une description [[combinatoire]] du polyèdre. Les symboles de Schläfli des cinq solides de Platon sont donnés dans la table ci-dessous.

{| border="1" cellpadding="7" style="margin:1em auto; text-align:center; border-collapse: collapse;"
|-
!colspan=2 | Polyèdre
!Sommets
!Arêtes
!Faces
![[Symbole de Schläfli]]
!{{Lien|trad=Vertex configuration|Configuration de sommet|texte=Configuration<br />de sommet}}
|-
|[[Tétraèdre]]
|[[Image:Tetrahedron.svg|50px|Tétraèdre]]
|4||6||4||{3, 3}||3.3.3
|-
|[[Cube|Hexaèdre]]
|[[Image:Hexahedron.svg|50px|Hexaèdre (cube)]]
|8||12||6||{4, 3}||4.4.4
|-
|[[Octaèdre]]
|[[Image:Octahedron.svg|50px|Octaèdre]]
|6||12||8||{3, 4}||3.3.3.3
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]]
| [[Image:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50px|Dodécaèdre]]
|20||30||12||{5, 3}||5.5.5
|-
|[[Icosaèdre]]
| [[Image:Icosahedron.svg|50px|Icosaèdre]]
|12||30||20||{3, 5}||3.3.3.3.3
|}

Toutes les autres informations combinatoires à propos de ces solides, telles que le nombre total de sommets (''S''), des arêtes (''A'') et des faces (''F'') peuvent être déterminées à partir de ''p'' et ''q''. Puisque toute arête joint deux sommets et possède deux faces adjacentes, nous devons avoir :
:<math>pF = 2A = qS.\,</math>
L'autre relation entre ces valeurs est donnée par la [[caractéristique d'Euler|formule d'Euler]] :
:<math>S - A + F = 2.\,</math>
Ce fait non-trivial peut être démontré d'une grande variété de manières (en [[topologie algébrique]] il découle de ce fait que la caractéristique d'Euler de la [[sphère]] est 2). Mises ensemble, ces trois relations déterminent complètement ''S'', ''A'' et ''F'' :
:<math>S = \frac{4p}{4 - (p-2)(q-2)},\quad A = \frac{2pq}{4 - (p-2)(q-2)},\quad F = \frac{4q}{4 - (p-2)(q-2)}.</math>
Note : échanger ''p'' et ''q'' intervertit ''F'' et ''S'' laissant ''A'' inchangé (pour une interprétation géométrique de ce fait, voir la section sur les polyèdres duaux ci-dessous).

== Classification ==

C'est un résultat classique qu'il existe seulement cinq polyèdres réguliers convexes. Deux arguments communs sont donnés ci-dessous. Les deux montrent seulement qu'il ne peut pas y avoir plus de cinq solides de Platon. Que chacun des cinq existe réellement est une question séparée — à laquelle on peut répondre par une construction explicite.

=== Démonstration géométrique ===

L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclide dans les ''Éléments'' :
#Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet sur au moins trois faces, sinon ce n'est qu'un point de côté et non un sommet.
#À chaque sommet du solide, le total des angles entre les côtés adjacents relatifs aux faces adjacentes, doit être strictement inférieur à {{unité|360|°}} (sinon, le solide ne peut pas être convexe).
#Les angles de tous les sommets de toutes les faces d'un solide de Platon sont identiques, donc chaque sommet de chaque face doit contribuer pour strictement moins de {{unité|360|°}}/3={{unité|120|°}}.
#Les polygones réguliers de six côtés ou plus ont seulement des angles de {{unité|120|°}} ou plus, donc la face commune doit être le triangle, le carré ou le pentagone. Et pour :
#*les faces [[Triangle|triangulaires]] : chaque sommet d'un triangle régulier a un angle de {{unité|60|°}}, donc une forme doit avoir 3, 4 ou 5 triangles se rencontrant à un sommet ; celles-ci sont le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre respectivement.
#*les faces [[carré]]es : chaque sommet d'un carré a un angle de {{unité|90|°}}, donc il existe seulement un arrangement possible avec trois faces à un sommet, le cube.
#*les faces [[Pentagone (figure)|pentagonales]] : chaque sommet a un angle de {{unité|108|°}} ; de nouveau, seulement un arrangement, de trois faces à un sommet est possible, le dodécaèdre.

=== Démonstration topologique ===

Une démonstration purement [[topologie|topologique]] peut être donnée en utilisant seulement les informations combinatoires sur les solides. La clé est l'[[caractéristique d'Euler|observation d'Euler]] que <math>S - A + F = 2</math>, et le fait que <math>pF = 2A = qS</math>. En combinant ces équations, on obtient l'équation
:<math>\frac{2A}{q} - A + \frac{2A}{p} = 2.</math>
En divisant par <math>2 A</math> il vient
:<math>{1 \over q} + {1 \over p}= {1 \over 2} + {1 \over A}.</math>
Puisque <math>A</math> est strictement positif, nous devons avoir
:<math>\frac{1}{q} + \frac{1}{p} > \frac{1}{2}.</math>
En utilisant le fait que ''p'' et ''q'' doivent, tous deux, être au moins égaux à 3, on peut facilement voir qu'il existe seulement cinq possibilités pour {''p'', ''q''} :
:<math>\{3, 3\},\quad \{4, 3\},\quad \{3, 4\},\quad \{5, 3\},\quad \{3,5\}.</math>

== Propriétés géométriques ==
=== Angles ===

Il existe un nombre d'[[angle]]s associés avec chaque solide de Platon. L'[[angle dièdre]] est l'angle interne entre deux faces planes quelconques. L'angle dièdre, θ, du solide {''p'', ''q''} est donné par la formule
:<math>\sin{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}.</math>
Ceci est quelquefois exprimé de manière plus pratique en termes de [[Fonction trigonométrique|tangente]] par
:<math>\tan{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/h)}.</math>
La quantité ''h'' est 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre respectivement,
autrement dit <math>4h = 15+[2(p+q)-11]^2</math>.

Le {{Lien|trad=Defect (geometry)|défaut angulaire}} au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles d'une face et 2π. Le défaut, δ, à un sommet quelconque des sommets de Platons {''p'', ''q''} est
:<math>\delta = 2\pi - q\pi\left(1-{2\over p}\right).</math>
Par le [[théorème de Descartes]], ceci est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (i.e. le défaut total de tous les sommets est 4π).

L'analogue tridimensionnel d'un angle plan est un [[angle solide]]. L'angle solide, Ω, au sommet d'un solide de Platon est donné en termes d'angle dièdre par
:<math>\Omega = q\theta - (q-2)\pi.\,</math>
Ceci provient de la formule de l'{{Lien|trad=Angle excess|Excès angulaire|texte=excès sphérique}} pour un [[Trigonométrie sphérique|polygone sphérique]] et le fait que la [[figure de sommet]] du polyèdre {''p'', ''q''} est un ''q''-gone régulier.

Les divers angles associés avec les solides de Platon sont donnés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles solides sont données en [[stéradian]]s. La constante <math>\varphi = \frac{(1+\sqrt{5})}{2}\,</math> est le [[nombre d'or]].

{| border=1 cellpadding=6 style="border-collapse: collapse; margin: 1em auto; text-align: center;"
|-
!Polyèdre
![[Angle dièdre]]<br /><math>(\theta)\,</math>
!<math>\tan\frac{\theta}{2}</math>
!{{Lien|trad=Defect (geometry)|défaut angulaire}} <math>(\delta)\,</math>
!colspan = 3|[[Angle solide]] <math>(\Omega)\,</math>
|-
|[[Tétraèdre]] || {{unité|70.53|°}} || <math>1\over{\sqrt 2}</math> || <math>\pi\,</math>
|<math>2\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt 2}{5}\right)</math>
|<math>\approx 0,551286</math>
|-
|[[Cube]] || {{unité|90|°}} || <math>1\,</math> || <math>\pi\over 2</math>
|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|<math>\approx 1,57080</math>
|-
|[[Octaèdre]] || {{unité|109.47|°}} || <math>\sqrt 2</math> || <math>{2\pi}\over 3</math>
|<math>4\sin^{-1}\left({1\over 3}\right)</math>
|<math>\approx 1,35935</math>
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]] || {{unité|116.56|°}} || <math>\varphi\,</math> || <math>\pi\over 5</math>
|<math>2\tan^{-1}\varphi^5</math>
|<math>\approx 2,96174</math>
|-
|[[Icosaèdre]] || {{unité|138.19|°}} || <math>\varphi^2\,</math> || <math>\pi\over 3</math>
|<math>2\pi - 5\sin^{-1}\left({2\over 3}\right)</math>
|<math>\approx 2,63455</math>
|}

=== Rayons, aires et volumes ===

Une autre vertu de la régularité est que les solides de Platon possèdent tous trois sphères concentriques :
* la {{Lien|trad=Circumscribed sphere|sphère circonscrite}} qui passe à travers tous les sommets,
* la {{Lien|trad=Midsphere|sphère moyenne}} qui est tangente à chaque arête au milieu de celle-ci et
* la {{Lien|trad=Inscribed sphere|sphère inscrite}} qui est tangente à chaque face au centre de celle-ci.

Les [[rayon (géométrie)|rayons]] de ces sphères sont appelés les ''rayons circonscrits'', les ''rayons moyens'' et les ''rayons internes''. Ceux-ci sont les distances à partir du centre du polyèdre aux sommets, aux milieux des arêtes et aux centres de faces respectivement. Le rayon circonscrit ''R'' et le rayon interne ''r'' du solide {''p'', ''q''} avec une longueur d'arête ''a'' sont donnés par
:<math>R = \left({a\over 2}\right)\tan\frac{\pi}{q}\tan\frac{\theta}{2}</math>
:<math>r = \left({a\over 2}\right)\cot\frac{\pi}{p}\tan\frac{\theta}{2}</math>
où θ est l'angle dièdre. Le rayon moyen ρ est donné par
:<math>\rho = \left({a\over 2}\right)\frac{\cos(\pi/p)}{\sin(\pi/h)}</math>
où ''h'' est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (''h'' = 4, 6, 6, 10 ou 10). Noter que le rapport du rayon circonscrit au rayons interne est symétrique dans ''p'' et ''q'' :
:<math>{R\over r} = \tan\frac{\pi}{p}\tan\frac{\pi}{q}.</math>

La [[superficie]] ''A'' d'un solide de Platon {''p'', ''q''} est facilement calculée, c'est l'aire d'un ''p''-gone régulier fois le nombre de faces ''F''. C’est-à-dire :
:<math>A = \left({a\over 2}\right)^2 Fp\cot\frac{\pi}{p}.</math>

Le [[volume]] est calculé comme étant ''F'' fois le volume de la [[pyramide]] dont la base est un ''p''-gone régulier et dont la hauteur est le rayon interne ''r''. C’est-à-dire :
:<math>V = {1\over 3}rA.</math>

Le tableau suivant liste les divers rayons des solides de Platon ainsi que leurs aires ''A'' et leurs volumes ''V'', et deux taux de remplissage : les rapports entre ces volumes ''V'' et ceux, ''V{{ind|S}}'' = 4π''R''{{3}}/3, de la sphère circonscrite et ''V{{ind|s}}'' = 4π''r''{{3}}/3, de la sphère inscrite. La taille globale est fixée en prenant la longueur d'arête, ''a'', égale à 2.

{| border=1 cellpadding=6 style="border-collapse: collapse; margin: 1em auto; text-align: center;"
|-
!Polyèdre<br /><small>(''a'' = 2)</small>|| ''r'' || ρ || ''R'' || ''A'' || ''V''||''V''/''V{{ind|S}}''<ref>Pour des valeurs approchées plus précises, voir http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Footsphe.htm#remplir.</ref>||''V{{ind|s}}''/''V''<ref>Pour les valeurs approchées de ''V''/''V{{ind|s}}'', voir {{en}} http://www.thomasbending.co.uk/puzzles/geometry/spheresolids.htm, Volume of the circumscribed solid.</ref>
|-
|[[Tétraèdre]] || <math>1\over {\sqrt 6}</math> || <math>1\over {\sqrt 2}</math> || <math>\sqrt{3\over 2}</math> || <math>4\sqrt 3</math> || <math>\frac{2\sqrt 2}{3}</math>||<math>\frac2{3\pi\sqrt3}\simeq0{,}12</math>||<math>\frac{\pi}{6\sqrt3}\simeq0{,}30</math>
|-
|[[Cube]] || <math>1</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>\sqrt 3</math> || <math>24</math> || <math>8</math>||<math>\frac2{\pi\sqrt3}\simeq0{,}37</math>||<math>\frac{\pi}6\simeq0{,}52</math>
|-
|[[Octaèdre]] || <math>\sqrt{2\over 3}</math> || <math>1</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>8\sqrt 3</math> || <math>\frac{8\sqrt 2}3</math>||<math>\frac1{\pi}\simeq0{,}32</math>||<math>\frac{\pi}{3\sqrt 3}\simeq0{,}60</math>
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]] || <math>\frac{\varphi^2}{\xi}</math> || <math>\varphi^2</math> || <math>\sqrt 3\,\varphi</math> || <math>60\frac{\varphi}{\xi}</math> || <math>20\frac{\varphi^3}{\xi^2}</math>||<math>\frac{\varphi}{\pi}\sqrt{5\over3}\simeq0{,}66</math>||<math>\frac{\pi\varphi^{7/2}}{15\sqrt[4]5}\simeq0{,}75</math>
|-
|[[Icosaèdre]] || <math>\frac{\varphi^2}{\sqrt 3}</math> || <math>\varphi</math> || <math>\xi\varphi</math> || <math>20\sqrt 3</math> || <math>\frac{20\varphi^2}3</math>||<math>\frac{\sqrt\varphi\sqrt[4]5}{\pi}\simeq0{,}61</math>||<math>\frac{\pi\varphi^4}{15\sqrt3}\simeq0{,}83</math>
|}

Les constantes φ et ξ ci-dessus sont données par
:<math>\varphi = 2\cos{\pi\over 5} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\qquad\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5^{1/4}\varphi^{-1/2}.</math>

Parmi les solides de Platon, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peuvent être regardés comme la meilleure approximation de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces, le plus grand angle dièdre, et son enveloppe est la plus proche de sa sphère inscrite. Le dodécaèdre, d'un autre côté, a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle solide au sommet et il remplit le plus sa sphère circonscrite.


== Symétrie ==
== Symétrie ==

Version du 7 décembre 2016 à 10:15

En géométrie euclidienne, un solide de Platon est un polyèdre régulier et convexe. Entre les polygones réguliers et convexes de la géométrie plane, et les polyèdres réguliers convexes de l’espace à trois dimensions, il y a une analogie, mais aussi une différence notable. Les polygones réguliers convexes sont en nombre infini, leur nombre de côtés est n’importe quel nombre entier supérieur ou égal à trois. En revanche, il existe seulement cinq polyèdres réguliers convexes : les cinq solides de Platon.

Les cinq polyèdres réguliers convexes (solides de Platon)
Tétraèdre Hexaèdre
ou Cube
Octaèdre Dodécaèdre Icosaèdre
Tétraèdre Cube Octaèdre Dodécaèdre Icosaèdre

Le nombre de faces du solide, 4, 6, 8, 12, ou 20, est dans le préfixe du nom du solide : tétra pour quatre, hexa pour six — un cube est un hexaèdre régulier —, octa pour huit, dodéca pour douze, icosa pour vingt. L’adjectif « régulier » sera souvent implicite dans cette page[1].

Dans ce portrait, par Jacopo de' Barbari, de Luca Pacioli, auteur de De divina proportione, un dodécaèdre régulier est exposé en bas à droite.

Depuis les mathématiques grecques, les solides de Platon furent un sujet d’étude des géomètres en raison de leur esthétique et de leurs symétries. Leur nom, donné en l’honneur du philosophe grec Platon, rappelle une de ses théories, associant quatre d’entre eux aux quatre éléments de l’ancienne physique.

Histoire

Selon une étude, les peuples néolithiques d'Écosse auraient construit des modèles en pierre des « cinq solides » au moins 1 000 ans avant Platon (Atiyah et Sutcliffe 2003). Ces modèles sont gardés au Ashmolean Museum à Oxford. Mais cette conclusion est hâtive[2].

Dans l'histoire des mathématiques de la Grèce antique, on peut tracer la chronologie suivante. Les pythagoriciens ont eu une connaissance empirique de trois solides : le tétraèdre (la pyramide), l'hexaèdre (le cube), le dodécaèdre (douze faces). Selon Proclos, Pythagore lui-même (vers 530 av. J.-C.) aurait eu connaissance de ces solides. Mais ce peut être son disciple Hippase de Métaponte (qui aurait construit le premier dodécaèdre) ou, plus vraisemblablement, Archytas de Tarente (vers 360 av. J.-C.).[réf. nécessaire]

Il n'est pas fait mention de la pyramide avant Démocrite (fragment 155), actif vers 430 av. J.-C. Archytas aurait le premier construit le cube, pour résoudre le problème de la duplication du carré. Le premier, Platon mentionne le dodécaèdre, dans le Phédon (110b), qui date d'env. 383 av. J.-C. Le mathématicien Théétète d'Athènes (mort en 395 ou 360 av. J.-C.) a découvert les deux autres solides : l'octaèdre et l'icosaèdre ; surtout, il les a construits, le premier, tous les cinq[3].

Les solides de Platon jouent un rôle déterminant dans la philosophie de Platon, à partir duquel ils ont été nommés. Platon, dans le dialogue Timée (env. 358 av. J.-C.), associait chacun des quatre éléments (la Terre, l'Air, l'Eau et le Feu) avec un solide régulier. La Terre était associée avec le cube (Timée, 55d), l'Air avec l'octaèdre, l'Eau avec l'icosaèdre et le Feu avec le tétraèdre. Il existait une justification pour ces associations : la chaleur du Feu semble pointue et comme un poignard (comme un peu le tétraèdre). L'Air est constitué de l'octaèdre ; ses composants minuscules sont si doux qu'on peut à peine les sentir. L'Eau, l'icosaèdre, s'échappe de la main lorsqu'on la saisit comme si elle était constituée de petites boules minuscules. Le solide le plus stable, l'hexaèdre (cube), représente la Terre. Ces petits solides font de la poussière lorsqu'ils sont émiettés et se cassent lorsqu'on s'en saisit, une grande différence avec l'écoulement doux de l'eau. Pour le cinquième solide de Platon, le dodécaèdre, Platon remarque obscurément, « le dieu utilisé pour arranger les constellations sur tout le ciel ». Platon mettait en correspondance le dodécaèdre avec le Tout (Phédon, 110b ; Timée, 55c), parce que c'est le solide qui ressemble le plus à la sphère. Aristote a nommé ce cinquième élément, aithêr (aether en latin, « éther » en français) et a postulé que l'univers était fait de cet élément, et qu'il était substantiel à tous les autres, qu'il les contenait tous.

Modèle de Système solaire par des modèles de solides de Platon de Kepler issu du Mysterium Cosmographicum (1596)

Speusippe, le successeur de Platon à l'Académie (en 348 av. J.-C.) a repensé la tradition pythagoricienne sur les cinq solides (Pythagore, Hippase, Archytas).

Euclide a donné une description mathématique complète des solides de Platon dans les Éléments (env. 300 av. J.-C.) ; le dernier livre (Livre XIII) qui est consacré à leurs propriétés. Les propositions 13–17 dans le Livre XIII décrit la construction du tétraèdre, de l'octaèdre, du cube, de l'icosaèdre et du dodécaèdre dans cet ordre. Pour chaque solide, Euclide trouve le rapport du diamètre à la sphère circonscrite à la longueur des arêtes. Dans la proposition 18, il argumente qu'il n'existe pas plus de polyèdres réguliers convexes. En effet, Pour être régulier, un polyèdre doit posséder le même nombre de polygones réguliers en chacun de ses sommets et la somme des angles au sommet des polygones réguliers doit être strictement inférieure à 360° (voir démonstration[4]. Beaucoup des informations dans le Livre XIII proviennent probablement du travail de Théétète.

Au Modèle:XVIe siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler essaya de trouver une relation entre les cinq planètes connues à l'époque (en excluant la Terre) et les cinq solides de Platon. Dans le Mysterium Cosmographicum, publié en 1596, Kepler présenta un modèle de Système solaire dans lequel les cinq solides étaient fixés les uns dans les autres et séparés par une série de sphères inscrites et circonscrites. Les six sphères correspondaient chacune aux planètes (Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides étaient ordonnés de l'intérieur vers l'extérieur, le premier étant l'octaèdre, suivi de l'icosaèdre, du dodécaèdre, du tétraèdre et finalement le cube. De cette manière, la structure du système solaire et les relations de distances entre les planètes étaient dictées par les solides de Platon. Vers la fin, l'idée originale de Kepler a été abandonnée, mais de cette recherche émergèrent la découverte des solides de Kepler, la constatation que les orbites des planètes ne sont pas des cercles, et les lois du mouvement planétaire de Kepler pour lesquelles il est maintenant célèbre.

Chaque solide de Platon répond à la formule d'Euler[4], démontrée en 1752 par le mathématicien suisse Leonhard Euler, obtenue avec un nombre F de faces, A d'arêtes et S de sommets : F + S – A = 2

Propriétés combinatoires

Un polyèdre convexe est un solide de Platon si et seulement si

  1. Toutes ses faces sont des polygones réguliers convexes isométriques, c'est-à-dire superposables,
  2. Aucune de ses faces ne se coupe, excepté sur les arêtes
  3. Le même nombre de faces se rencontrent à chacun de ses sommets.

Chaque solide de Platon peut par conséquent être noté par un symbole {p, q} où

p = le nombre de côtés de chaque face (ou le nombre de sommets sur chaque face) et
q = le nombre de faces se rencontrant à chaque sommet (ou le nombre d'arêtes se rencontrant à chaque sommet).

Le symbole {p, q}, appelé le symbole de Schläfli, donne une description combinatoire du polyèdre. Les symboles de Schläfli des cinq solides de Platon sont donnés dans la table ci-dessous.

Polyèdre Sommets Arêtes Faces Symbole de Schläfli Modèle:Lien
Tétraèdre Tétraèdre 4 6 4 {3, 3} 3.3.3
Hexaèdre Hexaèdre (cube) 8 12 6 {4, 3} 4.4.4
Octaèdre Octaèdre 6 12 8 {3, 4} 3.3.3.3
Dodécaèdre Dodécaèdre 20 30 12 {5, 3} 5.5.5
Icosaèdre Icosaèdre 12 30 20 {3, 5} 3.3.3.3.3

Toutes les autres informations combinatoires à propos de ces solides, telles que le nombre total de sommets (S), des arêtes (A) et des faces (F) peuvent être déterminées à partir de p et q. Puisque toute arête joint deux sommets et possède deux faces adjacentes, nous devons avoir :

L'autre relation entre ces valeurs est donnée par la formule d'Euler :

Ce fait non-trivial peut être démontré d'une grande variété de manières (en topologie algébrique il découle de ce fait que la caractéristique d'Euler de la sphère est 2). Mises ensemble, ces trois relations déterminent complètement S, A et F :

Note : échanger p et q intervertit F et S laissant A inchangé (pour une interprétation géométrique de ce fait, voir la section sur les polyèdres duaux ci-dessous).

Classification

C'est un résultat classique qu'il existe seulement cinq polyèdres réguliers convexes. Deux arguments communs sont donnés ci-dessous. Les deux montrent seulement qu'il ne peut pas y avoir plus de cinq solides de Platon. Que chacun des cinq existe réellement est une question séparée — à laquelle on peut répondre par une construction explicite.

Démonstration géométrique

L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclide dans les Éléments :

  1. Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet sur au moins trois faces, sinon ce n'est qu'un point de côté et non un sommet.
  2. À chaque sommet du solide, le total des angles entre les côtés adjacents relatifs aux faces adjacentes, doit être strictement inférieur à 360° (sinon, le solide ne peut pas être convexe).
  3. Les angles de tous les sommets de toutes les faces d'un solide de Platon sont identiques, donc chaque sommet de chaque face doit contribuer pour strictement moins de 360°/3=120°.
  4. Les polygones réguliers de six côtés ou plus ont seulement des angles de 120° ou plus, donc la face commune doit être le triangle, le carré ou le pentagone. Et pour :
    • les faces triangulaires : chaque sommet d'un triangle régulier a un angle de 60°, donc une forme doit avoir 3, 4 ou 5 triangles se rencontrant à un sommet ; celles-ci sont le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre respectivement.
    • les faces carrées : chaque sommet d'un carré a un angle de 90°, donc il existe seulement un arrangement possible avec trois faces à un sommet, le cube.
    • les faces pentagonales : chaque sommet a un angle de 108° ; de nouveau, seulement un arrangement, de trois faces à un sommet est possible, le dodécaèdre.

Démonstration topologique

Une démonstration purement topologique peut être donnée en utilisant seulement les informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler que , et le fait que . En combinant ces équations, on obtient l'équation

En divisant par il vient

Puisque est strictement positif, nous devons avoir

En utilisant le fait que p et q doivent, tous deux, être au moins égaux à 3, on peut facilement voir qu'il existe seulement cinq possibilités pour {p, q} :

Propriétés géométriques

Angles

Il existe un nombre d'angles associés avec chaque solide de Platon. L'angle dièdre est l'angle interne entre deux faces planes quelconques. L'angle dièdre, θ, du solide {p, q} est donné par la formule

Ceci est quelquefois exprimé de manière plus pratique en termes de tangente par

La quantité h est 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre respectivement, autrement dit .

Le Modèle:Lien au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles d'une face et 2π. Le défaut, δ, à un sommet quelconque des sommets de Platons {p, q} est

Par le théorème de Descartes, ceci est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (i.e. le défaut total de tous les sommets est 4π).

L'analogue tridimensionnel d'un angle plan est un angle solide. L'angle solide, Ω, au sommet d'un solide de Platon est donné en termes d'angle dièdre par

Ceci provient de la formule de l'Modèle:Lien pour un polygone sphérique et le fait que la figure de sommet du polyèdre {p, q} est un q-gone régulier.

Les divers angles associés avec les solides de Platon sont donnés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles solides sont données en stéradians. La constante est le nombre d'or.

Polyèdre Angle dièdre
Modèle:Lien Angle solide
Tétraèdre 70,53°
Cube 90°
Octaèdre 109,47°
Dodécaèdre 116,56°
Icosaèdre 138,19°

Rayons, aires et volumes

Une autre vertu de la régularité est que les solides de Platon possèdent tous trois sphères concentriques :

  • la Modèle:Lien qui passe à travers tous les sommets,
  • la Modèle:Lien qui est tangente à chaque arête au milieu de celle-ci et
  • la Modèle:Lien qui est tangente à chaque face au centre de celle-ci.

Les rayons de ces sphères sont appelés les rayons circonscrits, les rayons moyens et les rayons internes. Ceux-ci sont les distances à partir du centre du polyèdre aux sommets, aux milieux des arêtes et aux centres de faces respectivement. Le rayon circonscrit R et le rayon interne r du solide {p, q} avec une longueur d'arête a sont donnés par

où θ est l'angle dièdre. Le rayon moyen ρ est donné par

h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). Noter que le rapport du rayon circonscrit au rayons interne est symétrique dans p et q :

La superficie A d'un solide de Platon {p, q} est facilement calculée, c'est l'aire d'un p-gone régulier fois le nombre de faces F. C’est-à-dire :

Le volume est calculé comme étant F fois le volume de la pyramide dont la base est un p-gone régulier et dont la hauteur est le rayon interne r. C’est-à-dire :

Le tableau suivant liste les divers rayons des solides de Platon ainsi que leurs aires A et leurs volumes V, et deux taux de remplissage : les rapports entre ces volumes V et ceux, VS = 4πRModèle:3/3, de la sphère circonscrite et Vs = 4πrModèle:3/3, de la sphère inscrite. La taille globale est fixée en prenant la longueur d'arête, a, égale à 2.

Polyèdre
(a = 2)
r ρ R A V V/VS[5] Vs/V[6]
Tétraèdre
Cube
Octaèdre
Dodécaèdre
Icosaèdre

Les constantes φ et ξ ci-dessus sont données par

Parmi les solides de Platon, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peuvent être regardés comme la meilleure approximation de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces, le plus grand angle dièdre, et son enveloppe est la plus proche de sa sphère inscrite. Le dodécaèdre, d'un autre côté, a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle solide au sommet et il remplit le plus sa sphère circonscrite.

Symétrie

Polyèdre dual

Un dual cube-octaèdre.

Chaque polyèdre possède un polyèdre dual avec les faces et les sommets interchangés. Le dual de chaque solide de Platon est un autre solide de Platon, c’est-à-dire que nous pouvons arranger les cinq solides en paires duales.

  • Le tétraèdre est auto-dual (i.e. son dual est un autre tétraèdre).
  • Le cube et l'octaèdre forment une paire duale.
  • Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une paire duale.

Si un polyèdre possède un symbole de Schläfli {p, q}, alors son dual possède le symbole {q, p}. En effet, chaque propriété combinatoire d'un solide de Platon peut être interprétée comme une autre propriété combinatoire du dual.

Groupes de symétrie

En mathématiques, le concept de symétrie est étudié avec la notion de groupe mathématique. Chaque polyèdre possède un groupe de symétrie associé, qui est l'ensemble de toutes les transformations (isométries euclidiennes) qui laissent le polyèdre invariant. L'ordre du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On fait souvent une distinction entre le groupe de symétrie total, qui inclut les réflexions, et le groupe de symétrie propre, qui inclut seulement les rotations.

Les groupes de symétrie des solides de Platon sont connus sous le nom de Modèle:Lien (qui sont une classe particulière des Modèle:Lien). Le haut degré de symétrie des solides de Platon peut être interprété de différentes manières. Pour la plus importante, les sommets de chaque sommet sont tous équivalents sous l'action du groupe de symétrie, comme sont les arêtes et les faces. On dit que l'action du groupe de symétrie est transitive sur les sommets, les arêtes et les faces. En fait, c'est une autre manière de définir la régularité d'un polyèdre : un polyèdre est régulier si et seulement s'il est de sommet uniforme, d'arête uniforme et de face uniforme.

Il existe seulement trois groupes de symétrie associés avec les solides de Platon plutôt que cinq, puisque le groupe de symétrie d'un polyèdre quelconque coïncide avec celui de son dual. Ceci est vu facilement en examinant la construction du polyèdre dual. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie du dual et vice-versa. Les trois groupes polyédriques sont :

Les ordres des groupes propres (rotations) sont 12, 24 et 60 respectivement — précisément, deux fois le nombre des arêtes dans le polyèdre respectif. Les ordres des groupes de symétrie totaux sont deux fois de nouveau les ordres précédents (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une déduction de ces faits.

Le tableau suivant liste les diverses propriétés de symétrie des solides de Platon. Les groupes de symétrie listés sont les groupes totaux avec les sous-groupes de rotation donnés entre parenthèses (comme pour le nombre de symétries). La construction kaléidoscopique de Wythoff est une méthode pour la construction des polyèdres directement à partir des groupes de symétrie. Nous listons la référence du symbole de Wythoff pour chaque solide de Platon.

Polyèdre Symbole de Schläfli Symbole de Wythoff Polyèdre dual Symétries Groupe de symétrie
Tétraèdre {3, 3} 3 | 2 3 Tétraèdre 24 (12) Td (T)
Cube {4, 3} 3 | 2 4 Octaèdre 48 (24) Oh (O)
Octaèdre {3, 4} 4 | 2 3 Cube
Dodécaèdre {5, 3} 3 | 2 5 Icosaèdre 120 (60) Ih (I)
Icosaèdre {3, 5} 5 | 2 3 Dodécaèdre

En nature et en technologie

Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre apparaissent tous naturellement dans les structures cristallines. Ceux-ci n'épuisent nullement les nombres de formes possibles de cristaux. Néanmoins, ni l'icosaèdre régulier, ni le dodécaèdre régulier ne figurent parmi eux. Une de ces formes, appelée le pyritoèdre (nommé en rapport avec le groupe des minéraux avec lequel il est typique) a douze faces pentagonales, arrangées avec le même motif que les faces du dodécaèdre régulier. Néanmoins, les faces du pyritoèdre ne sont pas régulières, donc, le pyritoèdre n'est pas non plus régulier.

Circogonia icosahedra, une espèce de radiolaire, formée comme un icosaèdre régulier.

Au début du XXe siècle, Ernst Haeckel décrivit[7] de nombreuses d'espèces de radiolaires, certaines comportant des squelettes ayant la forme de divers polyèdres réguliers. Ses exemples incluent Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus et Circorrhegma dodecahedra, les formes de ces créatures étant évidentes d'après leurs noms.

Beaucoup de virus, tel que le virus de l'herpès, ont la forme d'un icosaèdre régulier. Les structures virales sont construites sur des sous-unités de protéines identiques répétées et l'icosaèdre est la forme la plus facile à assembler en utilisant ces sous-unités. Un polyèdre régulier est utilisé car il peut être construit à partir d'une unité de protéine basique utilisée indéfiniment, ceci engendre un espace dans le génome viral.

En météorologie et en climatologie, les modèles numériques globaux des flux atmosphériques sont d'un intérêt croissant. Ils emploient des grilles qui sont basées sur un icosaèdre (raffiné par triangulation) à la place de la grille longitude/latitude plus communément utilisée. Ceci a l'avantage d'avoir une résolution spatiale également distribuée sans singularités (i.e. les pôles géographiques) aux dépens d'une certaine difficulté numérique plus grande.

La géométrie des Modèle:Lien est souvent basée sur les solides de Platon. Dans le système MERO, les solides de Platon sont utilisés pour la convention de nomenclature des diverses configurations d'armatures d'espace. Par exemple ½O+T fait référence à une configuration faite d'un demi-octaèdre et un tétraèdre.

Les solides de Platon sont souvent utilisés pour fabriquer des dés. Les dés à 6 faces sont très communs, mais les autres nombres sont communément utilisés dans les jeux de rôle. De tels dés sont souvent appelés dnn est le nombre de faces (d8, d20, etc.);

Les dés polyédriques sont souvent utilisés dans les jeux de rôle. On leur ajoute couramment le trapézoèdre pentagonal, qui n'est pas un solide de Platon.

Ces formes apparaissent fréquemment dans d'autres jeux ou d'autres puzzles. Des puzzles similaires aux Rubik's Cube ont vu le jour dans toutes ces formes — voir Modèle:Lien.

Polyèdres reliés et polytopes

Polyèdres uniformes

Il existe quatre polyèdres réguliers qui ne sont pas convexes, appelés les solides de Kepler-Poinsot. Ceux-ci ont tous la symétrie icosaédrique et peuvent être obtenus par stellations du dodécaèdre et de l'icosaèdre.


Cuboctaèdre

Icosidodécaèdre

Les prochains polyèdres convexes les plus réguliers après les solides de Platon sont le cuboctaèdre, qui est une Modèle:Lien du cube et de l'octaèdre, et l'icosidodécaèdre, qui est une rectification du dodécaèdre et de l'icosaèdre (la rectification du polyèdre auto-dual, le tétraèdre est un octaèdre régulier). Ils sont tous les deux quasi-réguliers ce qui signifie qu'ils sont de sommet et d'arête uniformes et qu'ils ont des faces régulières, mais les faces ne sont pas toutes isométriques (provenant de deux classes différentes). Ils forment deux des treize solides d'Archimède, qui sont des polyèdres uniformes convexes avec une symétrie polyédrique.

Les polyèdres uniformes forment une classe beaucoup plus grande de polyèdres. Ces solides sont de sommets uniformes et on un ou plusieurs types de polygones réguliers (convexes ou étoilés) pour faces. Ceux-ci incluent tous les polyèdres mentionnés ci-dessus avec l'ensemble infini des prismes, l'ensemble infini des antiprismes ainsi que 53 autres formes non-convexes.

Les solides de Johnson sont des polyèdres convexes qui ont des faces régulières mais qui ne sont pas uniformes.

Pavages

Les trois pavages réguliers du plan sont fortement reliés aux solides de Platon. En effet, on peut regarder les solides de Platon comme les cinq pavages réguliers de la sphère. Ceci est effectué en projetant chaque solide sur une sphère concentrique. Les faces projettent sur des polygones sphériques réguliers qui couvrent exactement la sphère. On peut montrer que chaque pavage régulier de la sphère est caractérisé par une paire d'entiers {p, q} avec 1/p + 1/q > 1/2. De même, un pavage régulier du plan est caractérisé par la condition 1/p + 1/q = 1/2. Il existe trois possibilités :

D'une manière similaire, on peut considérer les pavages réguliers sur le plan hyperbolique. Ils sont caractérisés par la condition 1/p + 1/q < 1/2. Il existe un nombre infini de tels pavages.

Dimensions plus élevées

Lorsqu'il y a plus de trois dimensions, les polyèdres se généralisent aux polytopes. Dans le milieu du XIXe siècle, le mathématicien suisse Ludwig Schläfli découvrit les analogues quadridimensionnels des solides de Platon, appelés les 4-polytopes réguliers convexes. Il existe exactement six de ces figures ; cinq sont analogues aux solides de Platon, tandis que le sixième, le 24-cellules, n'a pas d'analogue en dimension inférieure.

Dans les dimensions plus élevées que quatre, il existe seulement trois polytopes réguliers convexes : le simplexe, l’hypercube et l’hyperoctaèdre. En trois dimensions, ceux-ci coïncident avec le tétraèdre, le cube et l’octaèdre.

Notes et références

  1. Dans le contexte de cette page, le mot régulier est implicite et généralement omis. Le mot irrégulier est parfois utilisé pour souligner le fait qu'un polyèdre n’est pas régulier, bien qu'il soit encore supposé avoir la même topologie que la forme régulière. D'autres formes topologiques très différentes, telles que le dodécaèdre rhombique qui possède douze faces rhombiques, ou un polyèdre étoilé non-convexe, comme le grand dodécaèdre, ne sont jamais données avec des noms raccourcis.
  2. (en) The Scottish solids hoax
  3. (de) Eva Sachs, Die fünf platonischen Körper, Berlin, 1917. Festugière, Etudes de philosophie grecque, p. 385.
  4. 4,0 et 4,1 Yvan Monka, Les solides de Platon
  5. Pour des valeurs approchées plus précises, voir http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Footsphe.htm#remplir.
  6. Pour les valeurs approchées de V/Vs, voir (en) http://www.thomasbending.co.uk/puzzles/geometry/spheresolids.htm, Volume of the circumscribed solid.
  7. (de) E. Haeckel, Kunstformen der Natur, 1904, rééd. (en) Art forms in nature, Prestel USA, 1998 (ISBN 3-7913-1990-6)
  • Platon, Timée (vers 358 av. J.-C.), 55e-56c. Trad. L. Brisson, Timée/Critias, Garnier-Flammarion, 3° éd. revue 1996
  • Euclide, Éléments (vers 300 av. J.-C.), livre XIII. Euclide, Les Éléments, volume IV, Livre XI-XIII, Géométrie des solides ; trad. du texte par Heiberg et commentaires par Bernard Vitrac. Paris : Presses universitaires de France, 2001. (Bibliothèque d'histoire des sciences). 482 p. (ISBN 2-13-051927-X)

Modèle:Traduction/Référence

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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