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Une '''diagonale d’un polyèdre''' est une droite ou un segment qui joint deux de ses sommets, sans être ni un côté ni une diagonale d’une face. Les diagonales des carrés bleu, vert et rouge sont les trois diagonales de l’octaèdre. Ce sont des diamètres de sa sphère ''circonscrite'' – la sphère qui passe par tous ses sommets –. {{nobr|Le centre ''S''}} de la sphère est le ''centre'' commun des carrés. En effet, on appelle ''centre'' d’un rectangle ou d’un {{nobr|[[polygone régulier]]}} le centre de son cercle [[Cercle circonscrit|circonscrit.]] N’importe quel solide de Platon est inscriptible dans une sphère, dont le centre s’appelle le ''centre du solide.''
Une '''diagonale d’un polyèdre''' est une droite ou un segment qui joint deux de ses sommets, sans être ni un côté ni une diagonale d’une face. Les diagonales des carrés bleu, vert et rouge sont les trois diagonales de l’octaèdre. Ce sont des diamètres de sa sphère ''circonscrite'' – la sphère qui passe par tous ses sommets –. {{nobr|Le centre ''S''}} de la sphère est le ''centre'' commun des carrés. En effet, on appelle ''centre'' d’un rectangle ou d’un {{nobr|[[polygone régulier]]}} le centre de son cercle [[Cercle circonscrit|circonscrit.]] N’importe quel solide de Platon est inscriptible dans une sphère, dont le centre s’appelle le ''centre du solide.''


L’information sur ''T'' serait très partielle si nous regardions seulement l’épure {{n°}}2, ou seulement la vue en élévation {{n°}}1. Le point ''T'' est le centre de ''ABC'' : le centre de son cercle circonscrit.
L’information sur le point ''T'' serait très partielle si nous regardions seulement la vue [[#i_1|en élévation {{n°}}1]], ou seulement [[#i_2|l’épure {{n°}}2]]. Ce point ''T'' est le centre de ''ABC'' (centre du cercle circonscrit de ''ABC'').


Considérons la sphère circonscrite à l’octaèdre. Son intersection avec le plan d’une face triangulaire est le cercle circonscrit à cette face. La section de la sphère par le plan d’un carré en couleur est un [[grand cercle]] de la sphère, le cercle circonscrit au carré. Dans les plans obliques des carrés, aucun des trois grands cercles n’est tracé dans les épures, ni aucun cercle circonscrit à une face. [[#i_4|L’épure {{n°|4}}]] montre en bleu deux grands cercles verticaux.
Considérons la sphère circonscrite à l’octaèdre. Son intersection avec le plan d’une face triangulaire est le cercle circonscrit à cette face. La section de la sphère par le plan d’un carré en couleur est un [[grand cercle]] de la sphère, le cercle circonscrit au carré. Dans les plans obliques des carrés, aucun des trois grands cercles n’est tracé dans les épures, ni aucun cercle circonscrit à une face. [[#i_4|L’épure {{n°|4}}]] montre en bleu deux grands cercles verticaux.

Version du 4 décembre 2016 à 16:30

En géométrie euclidienne, un solide de Platon est un polyèdre régulier et convexe. Entre les polygones réguliers et convexes de la géométrie plane, et les polyèdres réguliers convexes de l’espace à trois dimensions, il y a une analogie, mais aussi une différence notable. Les polygones réguliers convexes sont en nombre infini, leur nombre de côtés est n’importe quel nombre entier supérieur ou égal à trois. En revanche, il existe seulement cinq polyèdres réguliers convexes : les cinq solides de Platon.

Les cinq polyèdres réguliers convexes (solides de Platon)
Tétraèdre Hexaèdre
ou Cube
Octaèdre Dodécaèdre Icosaèdre
Tétraèdre Cube Octaèdre Dodécaèdre Icosaèdre

Le nombre de faces du solide, 4, 6, 8, 12, ou 20, est dans le préfixe du nom du solide : tétra pour quatre, hexa pour six — un cube est un hexaèdre régulier —, octa pour huit, dodéca pour douze, icosa pour vingt. L’adjectif « régulier » sera souvent implicite dans cette page[1].

Dans ce portrait, par Jacopo de' Barbari, de Luca Pacioli, auteur de De divina proportione, un dodécaèdre régulier est exposé en bas à droite.

Depuis les mathématiques grecques, les solides de Platon furent un sujet d’étude des géomètres en raison de leur esthétique et de leurs symétries. Leur nom, donné en l’honneur du philosophe grec Platon, rappelle une de ses théories, associant quatre d’entre eux aux quatre éléments de l’ancienne physique.

Histoire

Selon une étude, les peuples néolithiques d'Écosse auraient construit des modèles en pierre des « cinq solides » au moins 1 000 ans avant Platon (Atiyah et Sutcliffe 2003). Ces modèles sont gardés au Ashmolean Museum à Oxford. Mais cette conclusion est hâtive[2].

Dans l'histoire des mathématiques de la Grèce antique, on peut tracer la chronologie suivante. Les pythagoriciens ont eu une connaissance empirique de trois solides : le tétraèdre (la pyramide), l'hexaèdre (le cube), le dodécaèdre (douze faces). Selon Proclos, Pythagore lui-même (vers 530 av. J.-C.) aurait eu connaissance de ces solides. Mais ce peut être son disciple Hippase de Métaponte (qui aurait construit le premier dodécaèdre) ou, plus vraisemblablement, Archytas de Tarente (vers 360 av. J.-C.).[réf. nécessaire]

Il n'est pas fait mention de la pyramide avant Démocrite (fragment 155), actif vers 430 av. J.-C. Archytas aurait le premier construit le cube, pour résoudre le problème de la duplication du carré. Le premier, Platon mentionne le dodécaèdre, dans le Phédon (110b), qui date d'env. 383 av. J.-C. Le mathématicien Théétète d'Athènes (mort en 395 ou 360 av. J.-C.) a découvert les deux autres solides : l'octaèdre et l'icosaèdre ; surtout, il les a construits, le premier, tous les cinq[3].

Les solides de Platon jouent un rôle déterminant dans la philosophie de Platon, à partir duquel ils ont été nommés. Platon, dans le dialogue Timée (env. 358 av. J.-C.), associait chacun des quatre éléments (la Terre, l'Air, l'Eau et le Feu) avec un solide régulier. La Terre était associée avec le cube (Timée, 55d), l'Air avec l'octaèdre, l'Eau avec l'icosaèdre et le Feu avec le tétraèdre. Il existait une justification pour ces associations : la chaleur du Feu semble pointue et comme un poignard (comme un peu le tétraèdre). L'Air est constitué de l'octaèdre ; ses composants minuscules sont si doux qu'on peut à peine les sentir. L'Eau, l'icosaèdre, s'échappe de la main lorsqu'on la saisit comme si elle était constituée de petites boules minuscules. Le solide le plus stable, l'hexaèdre (cube), représente la Terre. Ces petits solides font de la poussière lorsqu'ils sont émiettés et se cassent lorsqu'on s'en saisit, une grande différence avec l'écoulement doux de l'eau. Pour le cinquième solide de Platon, le dodécaèdre, Platon remarque obscurément, « le dieu utilisé pour arranger les constellations sur tout le ciel ». Platon mettait en correspondance le dodécaèdre avec le Tout (Phédon, 110b ; Timée, 55c), parce que c'est le solide qui ressemble le plus à la sphère. Aristote a nommé ce cinquième élément, aithêr (aether en latin, « éther » en français) et a postulé que l'univers était fait de cet élément, et qu'il était substantiel à tous les autres, qu'il les contenait tous.

Modèle de Système solaire par des modèles de solides de Platon de Kepler issu du Mysterium Cosmographicum (1596)

Speusippe, le successeur de Platon à l'Académie (en 348 av. J.-C.) a repensé la tradition pythagoricienne sur les cinq solides (Pythagore, Hippase, Archytas).

Euclide a donné une description mathématique complète des solides de Platon dans les Éléments (env. 300 av. J.-C.) ; le dernier livre (Livre XIII) qui est consacré à leurs propriétés. Les propositions 13–17 dans le Livre XIII décrit la construction du tétraèdre, de l'octaèdre, du cube, de l'icosaèdre et du dodécaèdre dans cet ordre. Pour chaque solide, Euclide trouve le rapport du diamètre à la sphère circonscrite à la longueur des arêtes. Dans la proposition 18, il argumente qu'il n'existe pas plus de polyèdres réguliers convexes. En effet, Pour être régulier, un polyèdre doit posséder le même nombre de polygones réguliers en chacun de ses sommets et la somme des angles au sommet des polygones réguliers doit être strictement inférieure à 360° (voir démonstration[4]. Beaucoup des informations dans le Livre XIII proviennent probablement du travail de Théétète.

Au Modèle:XVIe siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler essaya de trouver une relation entre les cinq planètes connues à l'époque (en excluant la Terre) et les cinq solides de Platon. Dans le Mysterium Cosmographicum, publié en 1596, Kepler présenta un modèle de Système solaire dans lequel les cinq solides étaient fixés les uns dans les autres et séparés par une série de sphères inscrites et circonscrites. Les six sphères correspondaient chacune aux planètes (Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides étaient ordonnés de l'intérieur vers l'extérieur, le premier étant l'octaèdre, suivi de l'icosaèdre, du dodécaèdre, du tétraèdre et finalement le cube. De cette manière, la structure du système solaire et les relations de distances entre les planètes étaient dictées par les solides de Platon. Vers la fin, l'idée originale de Kepler a été abandonnée, mais de cette recherche émergèrent la découverte des solides de Kepler, la constatation que les orbites des planètes ne sont pas des cercles, et les lois du mouvement planétaire de Kepler pour lesquelles il est maintenant célèbre.

Chaque solide de Platon répond à la formule d'Euler[4], démontrée en 1752 par le mathématicien suisse Leonhard Euler, obtenue avec un nombre F de faces, A d'arêtes et S de sommets : F + S – A = 2

Description et sections classiques

Modèle:Section à sourcer Modèle:À désacadémiser La première rubrique n’expose pas seulement des propriétés de l’octaèdre et du cube. Elle compare certaines sections planes des deux solides à des sections de dodécaèdre. Elle prépare à l’étude des autres solides en expliquant des concepts utiles, par exemple la notion d’axe de certains objets, ou la notion de dual d’un solide. Grâce à la rubrique des contre-exemples, l’emploi des adjectifs « régulier » et « convexe » est plus compréhensible.

Octaèdre et cube

Nous interprétons l’image quand nous regardons l’octaèdre de dessus. L’octaèdre est régulier, nous dit la légende. Alors ses huit faces sont des triangles équilatéraux de la même taille. La perspective donne aux deux faces horizontales leur vraie forme et leur vraie grandeur, les images de ABC et HLU sont superposables – isométriques –.  Les douze arêtes sont égales, mais le dessin en rapetisse une sur deux. N’importe quel sommet du solide est commun à quatre faces. Le solide est supposé opaque, il présente à notre regard trois faces de sommet A. L’arête cachée [LU ] est en pointillé, ainsi le veut une règle de géométrie descriptive.

En élévation, les quatre sommets du contour représentent les six sommets du solide, un simple point représente l’arête [LU ] ou [BC ]. Un même triangle est l’image de deux faces, l’une devant le solide, l’autre derrière. Une arête située derrière n’est pas tracée en pointillé, parce que son image est confondue avec le trait plein d’une autre arête, devant le solide.

Sans le mot « convexe », cette phrase serait fausse : un polyèdre convexe est un octaèdre régulier si et seulement si ses arêtes sont les côtés de trois carrés, dont chaque paire a une diagonale commune. L’épure montre les carrés en trois couleurs différentes. Par exemple, [LB ] est la diagonale commune des carrés vert et bleu LUBC et LABH. N’importe quel carré a des diagonales perpendiculaires, donc les diagonales des trois carrés de l’épure sont perpendiculaires deux à deux.

Les noms des points et les couleurs des faces et des arêtes ne changent pas entre les épures 1 et 2.

 
Épure no 1.
Un octaèdre régulier vu en élévation et vu de dessus. Ses faces ABC et HLU sont horizontales.
Épure no 2.
Quel que soit le sens de rotation, un quart de tour autour de (CS ) ou un tiers de tour autour de (TS ) transforme l’octaèdre en lui-même, et conserve aussi ses sections planes perpendiculaires à l’axe de rotation.

Une diagonale d’un polyèdre est une droite ou un segment qui joint deux de ses sommets, sans être ni un côté ni une diagonale d’une face. Les diagonales des carrés bleu, vert et rouge sont les trois diagonales de l’octaèdre. Ce sont des diamètres de sa sphère circonscrite – la sphère qui passe par tous ses sommets –. Le centre S de la sphère est le centre commun des carrés. En effet, on appelle centre d’un rectangle ou d’un polygone régulier le centre de son cercle circonscrit. N’importe quel solide de Platon est inscriptible dans une sphère, dont le centre s’appelle le centre du solide.

L’information sur le point T serait très partielle si nous regardions seulement la vue en élévation no 1, ou seulement l’épure no 2. Ce point T est le centre de ABC (centre du cercle circonscrit de ABC).

Considérons la sphère circonscrite à l’octaèdre. Son intersection avec le plan d’une face triangulaire est le cercle circonscrit à cette face. La section de la sphère par le plan d’un carré en couleur est un grand cercle de la sphère, le cercle circonscrit au carré. Dans les plans obliques des carrés, aucun des trois grands cercles n’est tracé dans les épures, ni aucun cercle circonscrit à une face. L’épure no 4 montre en bleu deux grands cercles verticaux.

Cette situation sera fréquente dans les figures géométriques, un point de l’espace sera à égale distance des sommets d’une face ou d’une section plane d’un solide. Il sera le centre d’une sphère passant par tous les sommets de la face ou de la section polygonale.

Étant donné un cercle, ou un rectangle, ou un polygone régulier, son axe est la droite perpendiculaire au plan de l’objet au centre de l’objet. C’est l’ensemble des points à égale distance des points du cercle, ou des sommets du polygone. C’est aussi l’axe de certaines rotations qui transforment l’objet en lui-même.

Par exemple, la face supérieure de l’octaèdre est le triangle horizontal ABC, dont l’axe (TS ) est vertical. On obtient le même triangle équilatéral en faisant tourner ABC d’un tiers de tour dans un sens ou dans l’autre autour de (TS ).

Si une pyramide a les sommets d’un polygone régulier, plus un dernier sommet sur l’axe du polygone, alors cette pyramide est dite régulière. Si une rotation autour de l’axe du polygone régulier laisse inchangé le polygone, cette rotation conserve aussi la pyramide. On dit que l’axe du polygone est un axe de la pyramide. Nous verrons un solide de Platon posséder plusieurs axes.

Quelle que soit l’épure, chaque vue est une perspective cavalière. C’est l’image plane d’une figure de l’espace par une projection orthogonale sur un plan. Pour la vue de dessus no 1 ou pour la perspective no 2, le plan de la projection est n’importe quel plan horizontal. Dans les deux perspectives, la direction et le sens de la projection sont les mêmes : la direction verticale de (TS ) et le sens de T vers S. Les points distincts T et S sont représentés par un même point quand l’octaèdre est vu à la verticale. Il n’y aura pas de vue de dessous.

Le centre d’un rectangle est son centre de symétrie. Chaque carré de centre S est conservé par la symétrie de centre S. Cette symétrie transforme donc l’octaèdre en lui-même. Deux arêtes, deux faces ou deux sommets d’un octaèdre sont dits opposés s’ils sont symétriques l’un de l’autre par rapport au centre de l’octaèdre.

Par exemple, la symétrie de centre S transforme le centre d’une face en celui de la face opposée, elle transforme le centre V de la face inférieure en T, centre de la supérieure. Autrement dit, S est le milieu de [VT ].

Une projection orthogonale sur un plan respecte des rapports de longueurs mesurées sur une même droite ou sur des droites parallèles, quand leur direction n’est pas celle de la projection. Des milieux notamment restent des milieux dans une perspective. L’image de S est donc le centre de symétrie de l’image du solide dans toutes les vues.

Quand l’octaèdre est vu à la verticale, l’image de S est à la fois le centre des deux triangles équilatéraux, images des deux faces horizontales, et le centre de la symétrie qui transforme un triangle équilatéral en l’autre. Alors le contour du solide vu à la verticale est un hexagone régulier.

En élévation, le contour a des diagonales perpendiculaires en leur milieu, parce que S est le milieu de [AH ] et de [LB ] dans l’espace, et que la projection ne déforme pas l’angle droit formé par l’axe du carré vert et le plan du carré. Ce contour-là du solide est un losange.

Un plan contenant deux des diagonales d’un polyèdre est un plan diagonal du polyèdre. Par exemple, le carré vert est une section diagonale de l’octaèdre. Un plan diagonal d’un octaèdre en est un plan de symétrie. Il partage le solide en deux pyramides régulières carrées, symétriques l’une de l’autre par rapport au plan de leur base commune. L’axe commun aux deux pyramides est la diagonale de l’octaèdre perpendiculaire au plan de leur base commune. Par exemple, A et H sont symétriques l’un de l’autre par rapport au plan du carré vert, (AH ) est l’axe commun aux pyramides ALUBC et HLUBC.

Un tiers de tour autour de (VT ) dans un sens ou dans l’autre transforme chaque face horizontale en elle-même, donc transforme le solide en lui-même. Une telle rotation conserve aussi toute section horizontale du solide. Dans l’épure 2, des plans qui ne passent pas par S coupent le solide. Tracé en six traits ocre dont trois en pointillé, l’hexagone est horizontal.

N’importe quelle section horizontale de l’octaèdre a six côtés, qui sont parallèles deux à deux, parce que tous deux parallèles à deux arêtes opposées horizontales. Le plan médiateur commun à deux arêtes horizontales est un plan de symétrie du solide, et un plan de symétrie de la section. En un tiers de tour autour de (VT ), un côté de la section en devient un autre qui lui est égal, et dont le plan médiateur est un autre plan de symétrie. Conservée par un tiers de tour ou un autre autour de (VT ), la section hexagonale est inscriptible dans un cercle horizontal. Ses sommets sont ceux de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. Ces triangles équilatéraux ne sont pas tracés dans l’épure, ni leur cercle circonscrit.

Rangeons dans un ensemble ℱ tous les hexagones convexes qui ont les sommets de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. La forme d’un élément de ℱ est déterminée par le rapport des longueurs de deux de ses côtés adjacents. On obtient un hexagone de ℱ en coupant par un plan approprié un octaèdre, un dodécaèdre ou un cube. La forme de l’hexagone varie avec la distance du plan de section au centre du solide. Un solide d’une des trois sortes est symétrique par rapport à son centre, et si deux sections sont symétriques l’une de l’autre par rapport au centre du solide, alors elles sont isométriques. Étant donnés un hexagone de ℱ et un solide d’une des trois sortes, au moins une section du solide est semblable à l’hexagone donné.

Les épures no 1 et no 3 exhibent le même hexagone blanc. Son plan horizontal passe par le centre S du solide. L’intersection de ce plan avec un carré diagonal est un axe de symétrie du carré, parallèle à ses côtés horizontaux, et passant par les milieux de ses côtés obliques. Ces deux milieux sont symétriques l’un de l’autre par rapport à S, quel que soit le carré diagonal considéré. Alors l’hexagone blanc est symétrique par rapport à S.

L’hexagone blanc horizontal appartient à l’ensemble ℱ, ses sommets sont ceux de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. Sa symétrie par rapport à S en fait un hexagone régulier.

Un plan passant par le centre d’un polyèdre régulier est appelé un plan équatorial du polyèdre. L’hexagone blanc et les trois sections diagonales carrées sont quatre sections équatoriales de l’octaèdre, qui sont quatre polygones réguliers. Parmi les sections parallèles à une face de l’octaèdre, seules les sections équatoriales sont des polygones réguliers. Un côté quelconque de ces quatre hexagones joint les milieux de deux côtés d’une face. Parallèle au troisième côté, il mesure    la moitié d’une arête.

Autour de quatre axes différents de l’octaèdre, communs chacun à deux faces opposées, des tiers de tour conservent un octaèdre régulier. Une rotation d’un quart de tour autour de (CS ) dans un sens ou dans l’autre conserve n’importe quel point de l’axe de rotation, et conserve aussi la section diagonale bleue, la grande section carrée bleue. Un tel quart de tour conserve l’octaèdre, et laisse inchangé le petit carré bleu.

Une infinité de sections du solide sont des carrés. Quatre carrés sont dessinés dans l’épure 2, l’un est une réduction de la section diagonale bleue par une homothétie de centre C. Les deux carrés bleus homothétiques l’un de l’autre ont le même axe (CS ), qui est la diagonale commune aux deux autres carrés diagonaux. Les plans de ces carrés rouge et vert sont à la fois perpendiculaires l’un à l’autre, et perpendiculaires aux plans des deux carrés bleus.

 
Épure no 3.
Les centres des huit faces et l’hexagone blanc, vus dans la direction d’une diagonale de l’octaèdre.

Un quart de tour autour de n’importe quelle diagonale conserve l’octaèdre. L’épure 2 attire l’attention sur des quarts de tour autour de (CS ), et l’épure 3 sur des quarts de tour autour de (AS ). Malgré l’absence de lettres dans l’épure 3, l’octaèdre est reconnaissable grâce aux couleurs des faces et des arêtes. Et on peut quand même désigner les points par leurs noms.

Autour d’une diagonale de l’octaèdre, un demi-tour équivaut à deux quarts de tour successifs dans le même sens. Une rotation de 180° est une symétrie par rapport à l’axe du demi-tour. Les diagonales de l’octaèdre en sont trois axes de symétrie.

Dans l’épure 3, le carré vert est le contour du solide. Sur l’axe du carré vert, H est derrière le solide, son image est confondue avec celles de A et S. Les seuls pointillés du dessin représentent les trois côtés consécutifs de l’hexagone blanc qui sont derrière le solide. La perspective représente deux faces par un même triangle, et les centres des deux faces au centre d’une même cible. Peints sur une face triangulaire, les deux cercles orangés d’une cible sont déformés par la perspective. Le centre d’un triangle équilatéral en est aussi l’orthocentre. La projection déforme toutes les faces, et les symboles d’angles droits aux pieds des douze hauteurs.

À partir du centre d’une face, on obtient les centres de trois autres faces par trois quarts de tour successifs dans le même sens autour de (AS ). Les centres des cibles représentent les sommets de deux carrés d’axe (AS ), dans deux plans parallèles distincts. En tournant autour d’une autre diagonale de l’octaèdre, des quarts de tour auront le même effet. Par conséquent, les centres des faces triangulaires sont les sommets d’un polyèdre de six faces carrées. Ce polyèdre est un cube contenu dans l’octaèdre.

 
Épure no 4.
Les centres des faces du même octaèdre sont les sommets d’un cube.

Dans l’espace, un sommet du cube est au tiers de chaque médiane d’une face équilatérale. Une épure le représente au tiers des images des médianes. L’épure 3 permet de comparer la longueur d’une arête de l’octaèdre et celle d’une diagonale d’une face du cube. En effet, la dimension du contour vert de l’octaèdre est la longueur de ses arêtes. Et une diagonale d’une face du cube est en vraie grandeur si elle est parallèle à un côté du carré vert. Ce rapport de longueurs apparaît aussi dans l’épure 4, qui montre le cube en élévation dans le même octaèdre. Par exemple, le centre K de ALU est un sommet du cube. Avec des sommets de mêmes noms et des faces de mêmes couleurs, ce cube est étudié jusque dans la prochaine rubrique.

Étant donné un solide de Platon de p sommets et q faces, son dual est un solide de Platon qui a le même nombre d’arêtes, q sommets et p faces. Quand on dit que cube et octaèdre sont duaux l’un de l’autre par exemple, ou quand on parle « du » dual de l’un ou l’autre avec un article défini, alors on désigne par « cube » ou par « octaèdre » le nombre infini des polyèdres réguliers convexes, tous semblables entre eux, qui ont huit sommets dans un cas, huit faces dans l’autre cas.

À partir d’un octaèdre régulier, comment obtenir un dual de même centre ? L’épure 4 montre une construction possible. On peut aussi construire les faces d’un dual, au lieu de construire ses sommets. Les plans des faces carrées de cet autre cube sont perpendiculaires en leurs extrémités aux diagonales de l’octaèdre. Les arêtes de ce cube-là sont égales aux diagonales de l’octaèdre. Les sommets de l’octaèdre initial sont alors les centres des six carrés construits. Le cube et l’octaèdre duaux l’un de l’autre sont ainsi disposés dans la prochaine rubrique, épure 8.

Deux solides de Platon sont des duaux canoniques l’un de l’autre quand les sommets de l’un sont les centres des faces de l’autre. Tout solide de Platon est un dual canonique de deux autres, semblables entre eux. Le centre commun des trois solides est le centre des homothéties qui transforment l’un en l’autre les solides semblables. Par exemple, les centres des faces du cube de l’épure 4 sont les sommets d’un octaèdre régulier, homothétique du premier octaèdre.

L’octaèdre et le cube de l’épure 4 ont le même centre S. Les quatre diagonales d’un cube ont le même milieu, qui est le centre du cube :  son centre de symétrie, et le centre de sa sphère circonscrite. Les quatre arêtes du cube parallèles à (AH ) sont en vraie grandeur. Deux des quatre ont leurs images confondues, avec S représenté au milieu. Pour mieux montrer le cube, l’épure 4 laisse vides les volumes des sphères et de l’octaèdre. La perspective ne déforme pas le cercle de diamètre [VT ] dans le plan vertical (ATH ). Avec ce cercle on imagine la sphère inscrite dans l’octaèdre, tangente à ses huit faces. C’est aussi la sphère circonscrite au cube.

Présente seulement dans l’épure 4, la lettre t désigne la hauteur d’une face équilatérale. Rapportée à la longueur d’une arête de l’octaèdre, la distance entre deux arêtes opposées du cube est :

La vue en élévation numéro 1 ou 4 n’altère pas la longueur AH d’une diagonale de l’octaèdre. Quand les sommets du cube sont les centres des faces de l’octaèdre, une arête du cube mesure le tiers d’une diagonale de l’octaèdre :
VK = =

Certains plans de symétrie d’un cube ou d’un octaèdre régulier contiennent le centre du polyèdre et deux arêtes opposées, ce sont des plans diagonaux du cube ou de l’octaèdre. Un plan diagonal d’un cube le partage en deux prismes droits triangulaires. Par exemple, le plan vertical (ATH ) est un plan de symétrie du cube et de l’octaèdre. En vraie grandeur dans l’épure 4, VKTE est en même temps le contour du cube et sa section par (ATH ). L’axe de VKTE est un axe de symétrie de l’octaèdre et du cube. Il passe par les milieux de deux arêtes opposées du cube, et par les milieux de [BU ] et [LC ], deux arêtes opposées de l’octaèdre.

Dans l’épure 4, le contour du cube est semblable au format A4 ou à un format de papier semblable, A3 par exemple. Les images rectangulaires des faces du cube sont des réductions de VKTE à l’échelle , elles représentent chacune deux faces du cube.

Une épure no 5 est prévue, où se couperont des sections diagonales d’un cube.
Épure no 6.
Un demi-cube en élévation et de dessus. Une diagonale du cube initial est verticale comme dans l’épure no 4.

Dans la présente rubrique et dans la prochaine, h est le tiers de la longueur d’une diagonale du cube. h3 est alors la longueur d’une arête du cube, et h6 la distance entre deux arêtes opposées.

De nombreux logos commerciaux représentent un cube par un pavage d’hexagone régulier. Dans l’épure 6, le cube initial est vu de dessus comme un hexagone régulier, avant d’être tronqué. Pourquoi un hexagone régulier ? Quand une diagonale du cube est verticale, ses arêtes toutes égales franchissent la même dénivellation h. Alors elles ont toutes la même inclinaison. Projetées orthogonalement sur un plan horizontal, leurs douze images sont donc égales.

Un cube possède quatre diagonales et six plans diagonaux. La droite d’intersection de deux plans diagonaux du cube est soit une diagonale du cube, soit un axe de symétrie du cube, l’axe commun à deux faces opposées. Des quarts de tour ou des demi-tours autour d’un tel axe conservent le cube. Perpendiculaire à un tel axe, une section plane du cube est un carré de même dimension qu’une face. Mais si l’intersection de deux plans diagonaux est une diagonale du cube, un tiers de tour autour de la diagonale conserve la figure. Deux plans diagonaux d’un cube forment un angle de 60°.

Dans l’épure 6, le cube est amputé de sa moitié inférieure. Le cube tronqué a sept faces. Trois faces sont des triangles rectangles isocèles, tous de la même taille. Trois triangles de cette forme et cette taille-là prolongent les faces pentagonales, afin de reconstituer trois faces carrées du cube initial. On retrouve le cube initial en ajoutant au demi-cube son image par la symétrie de centre S. Cette symétrie transforme K en E par exemple.

Autour d’une diagonale d’un cube, une rotation d’un tiers de tour conserve le cube, et toute section du cube par un plan perpendiculaire à la diagonale. Une telle section est soit un triangle équilatéral, soit un hexagone de l’ensemble ℱ, dont la forme varie avec la distance du plan de section au centre du cube. La section est un hexagone régulier si et seulement si la section est équatoriale. La vue de dessus no 6 ne déforme pas la face horizontale du demi-cube, qui est un hexagone régulier. La vue de dessus donnerait sa vraie forme à toute section plane horizontale, un hexagone de ℱ, aux côtés parallèles aux arêtes horizontales du demi-cube.

γ apparaît dans l’épure 4 comme l’inclinaison de [AH ] ou [VK ]. C’est l’inclinaison de n’importe quelle diagonale de l’octaèdre, ou n’importe quelle arête du cube contenu dans l’octaèdre, puisque la figure est conservée quand on la fait tourner autour de (TS ) de 120° dans un sens ou dans l’autre. Entre une diagonale et une face d’un cube, l’angle mesure γ.

Visible dans l’épure no 1, l’angle entre une diagonale et une face d’un octaèdre mesure γ. Le supplément de  ( 2 γ est l’angle de deux faces adjacentes. Quand un octaèdre régulier a deux faces horizontales, le complément de γ est l’inclinaison de ses six arêtes obliques, ou l’inclinaison de ses trois plans diagonaux. La lettre γ désigne la même mesure d’angle sous le prochain titre.

Cube et tétraèdre

 
Épure no 7.
En élévation et de dessus, un cube tronqué posé sur sa face horizontale KMN.  Trois troncatures de plus, et on obtient le tétraèdre régulier TKMN.
Épure no 8.
Deux tétraèdres réguliers ont leurs arêtes à la surface d’un même cube. Leur intersection est un octaèdre régulier, dont les sommets sont les centres des faces du cube.
Épure no 9.
Les arêtes d’un tétraèdre régulier et d’un cube, en élévation et de dessus. Le centre commun S des deux solides est l’origine d’un repère orthonormé. Les axes du repère sont en trois couleurs différentes, chacun est l’axe de symétrie d’une paire d’arêtes orthogonales du tétraèdre.

Un tétraèdre régulier est une pyramide régulière triangulaire, dont les six arêtes sont égales. Avec quatre faces et quatre sommets, ce tétraèdre est son propre dual. Par exemple, les centres de ses faces sont les sommets d’un solide semblable concentrique.

On peut obtenir un tétraèdre régulier en tronquant un cube quatre fois. Un sommet d’un cube est commun à trois faces carrées de même dimension. Les six diagonales des trois carrés sont égales. Trois des six forment un triangle équilatéral, la base d’une pyramide régulière telle que ETMN. Dans l’épure no 7 la diagonale (VT ) du cube est verticale, comme à la rubrique précédente dans l’épure no 4 ou no 6, ou dans l’épure no 9 de cette rubrique-ci. Les arêtes du cube issues de V sont égales, et l’axe du triangle KMN passe par V. Ainsi chaque sommet du cube est le sommet d’une pyramide régulière, dont l’axe est une diagonale du cube. Trois faces de la pyramide sont des triangles rectangles isocèles isométriques, ses quatre sommets sont des sommets du cube.

Pour abréger disons que le cube de l’épure no 7 est amputé de la seule pyramide de sommet V. Le tétraèdre TKMN résulterait de trois troncatures supplémentaires, celles des pyramides de sommets E, F, et G. En amputant le cube entier initial des quatre pyramides de sommets T, K, M, et N, on obtient le tétraèdre régulier concentrique VEFG. Et en amputant le cube entier des pyramides de ses huit sommets, on obtient l’intersection de ces deux tétraèdres, soit le dual canonique du cube dessiné dans l’épure no 8. Le centre commun aux quatre solides de cette épure est le centre de symétrie du cube et de l’octaèdre. La symétrie de centre S transforme l’un des tétraèdres en l’autre.

L’épure no 7 représente en bleu des lignes de la sphère circonscrite au tétraèdre et au cube initial. L’un des deux grands cercles de la sphère est horizontal, l’autre est dans le plan vertical passant par S et perpendiculaire à la direction de la vue en élévation. R est le centre du cercle circonscrit à KMN.

L’épure 9 ne représente aucune face ni aucun volume, seulement des lignes dans l’espace. Les arêtes du cube sont des lignes grises semi-transparentes, et celles de TKMN sont opaques. De dessus, les trois arêtes obliques de TKMN cachent les arêtes du cube issues de V.

Si deux diagonales de deux faces opposées d’un cube sont orthogonales, ce sont deux arêtes opposées d’un même tétraèdre. L’épure no 9 attribue la même couleur à une arête horizontale de TKMN, à l’arête opposée oblique, et à celle des trois droites (Sx ), (Sy ) ou (Sz ), qui passe par les milieux des deux arêtes opposées et qui leur est perpendiculaire. Ces trois droites portent les axes d’un repère orthonormé d’origine S. Les six plans perpendiculaires aux trois droites, contenant chacun une arête du tétraèdre, sont les plans des faces du seul cube ayant à sa surface toutes les arêtes du tétraèdre.

(Sx ), (Sy ) et (Sz ) sont trois axes de symétrie du tétraèdre et du cube. Par exemple la rotation de 180° autour de (Sx ) transforme T en K et K en T, et intervertit M et N.

S est le centre de symétrie du cube, mais TKMN n’a pas de centre de symétrie. Une transformation géométrique qui conserve le cube ne conserve pas nécessairement le tétraèdre. En faisant tourner la figure de l’épure no 9 d’un tiers de tour dans un sens ou dans l’autre autour d’une diagonale du cube, on retrouve la même figure, et le même tétraèdre. Perpendiculaire à une face du tétraèdre, l’axe d’une telle rotation est une hauteur du tétraèdre.

Les points T, S, R et V appartiennent à la hauteur verticale (TS ) de TKMN. Les quatre lettres sont absentes de la vue de dessus no 9, elles encombreraient la zone centrale de l’hexagone régulier, qui est l’image du cube vu à la verticale. Dans cette vue une rotation d’un tiers de tour autour de (TS ) fait tourner les couleurs des arêtes du tétraèdre, et conserve le tétraèdre.

Cette rotation de 120° appartient à ce qu'on appelle couramment le groupe des symétries du solide (le groupe des isométries qui le conservent globalement), mais ce n’est pas une symétrie.

Le plan vertical contenant (Sz ) est le plan bissecteur de l’angle droit formé par [Sx ) et [Sy ). C’est le plan d’une symétrie du groupe des isométries du cube, ou du groupe des isométries du tétraèdre.

L’angle entre deux faces d’un tétraèdre régulier mesure 2 γ. La vue en élévation no 9 montre en vraie grandeur l’inclinaison γ de (Sz ) sur un plan horizontal. C’est aussi l’inclinaison de (Sx ) ou (Sy ), puisque la figure est conservée par une rotation de 120° autour de la verticale (TS ), dans un sens ou dans l’autre.

À cause de la même inclinaison γ des trois axes du repère, le coefficient de proportionnalité cos γ est le même entre les longueurs des segments parallèles à un axe du repère, et les longueurs de leurs projections sur un plan horizontal. Dans l’épure no 7 ou no 9, la vue de dessus est une perspective isométrique. La valeur de γ peut se déduire de l’égalité :
cos( 2 γ ) =

Le point de concours S des quatre hauteurs de TKMN est l’isobarycentre des quatre sommets du tétraèdre. Le centre de n’importe quel solide de Platon est l’isobarycentre de ses sommets. Les quatre solides de l’épure no 8 partagent l’isobarycentre de leurs sommets.

Si on prend les demi-droites précédentes [Sx ), [Sy ), et [Sz ) comme axes d’un repère orthonormé, dont l’unité de longueur est la distance de S à une face du cube, ou à une arête du tétraèdre, les trois coordonnées de T sont alors égales à 1. Les sommets de VEFG n’ont pas leurs coordonnées inscrites dans l’épure, mais la symétrie de centre S transforme simplement les coordonnées d’un point en leurs opposées. Elle transforme par exemple K ( +1 ; –1 ; –1 ) en E ( –1 ; +1 ; +1 ).

S est le centre des sphères inscrite et circonscrite à TKMN. La position de S est la même sur les quatre hauteurs du tétraèdre. En élévation, l’épure no 9 montre les deux sphères centrées au quart de [TR ] à partir de la base correspondante. Les trois coordonnées de R sont égales à l’opposé d’un tiers. La sphère inscrite dans TKMN est trois fois plus petite que la circonscrite. Son diamètre h est égal à , avec l’unité de longueur choisie dans l’épure.

Dodécaèdre de Platon

Est-il possible que douze pentagones réguliers convexes, tous isométriques entre eux, aient leurs vingt sommets sur une sphère, chaque sommet étant commun à trois des pentagones ? En construisant un objet, on prouve qu’il existe. Le premier sujet de cette rubrique est la construction géométrique d’un dodécaèdre de Platon, à partir de deux demi-patrons idéalisés. Chaque demi-patron contient six faces. L’épure no 10 montre à plat un demi-patron gris. Au polygone gris de vingt côtés s’ajoutent les plis de la feuille : les cinq côtés de la face centrale RSUVW. Une fois pliée, la feuille devient dans l’espace une vasque de six faces. Son bord dentelé a dix sommets, son fond en a cinq. Au cas où nous pourrions fermer la vasque par une vasque identique en guise de couvercle, obtiendrions-nous un polyèdre inscriptible dans une sphère ?

 
Épure no 10.
Un contour du solide en perspective est construit en géométrie plane à partir de six faces dépliées du solide.

Dans toute la rubrique, a sera la longueur des trente arêtes du solide, et d celle des soixante diagonales des douze faces. Par exemple dans l’épure no 10, UV = a. Et WS = φ a = d, où la lettre φ désigne le nombre d'or :



D’abord fut tracé le pentagone régulier convexe KLMNP, qui contient les six faces dépliées. En construisant son symétrique par rapport à son centre, on obtient le décagone régulier étoilé KFNCLAPEMB, de même centre G. Ses côtés contiennent ceux d’un décagone régulier convexe, en trait brun épais, dont H est un sommet.

Imaginons une vue animée de la feuille. La face centrale est fixe, une autre face tourne autour d’un pli. Imaginons l’animation obtenue en projetant la feuille orthogonalement sur le plan fixe de la face centrale. Si le seul pli qui fonctionne est [UV ], et si le plan fixe (RUV ) est horizontal, alors les trois sommets mobiles se déplacent dans des plans verticaux, sur trois cercles de même axe (UV ). Nommons J le sommet mobile qui se projette en K dans le dessin animé. Le plan (JUV ) tourne autour de [UV ], et J décrit un arc de cercle dans le plan médiateur de [UV ]. Son projeté K se déplace dans l’animation sur la médiatrice (RG ) de [UV ].

Dans ce mouvement, les images de deux sommets mobiles se déplacent sur deux droites parallèles tracées en vert, symétriques l’une de l’autre par rapport à (RG ). Sur l’un des deux trajets verts parallèles, un arc de cercle orangé entoure le point de départ. Une flèche prolonge l’arc de cercle, dirigée vers la fin du trajet. Quand ce point cerclé se déplace sur son trajet vert, perpendiculaire à (UV ), il bouge en même temps que K. Quand (LJ ) tourne dans l’espace, L est fixe sur la droite fixe du pli. Le point cerclé et K restent alignés avec le point fixe L tout le temps de leur mouvement dans le dessin.

Dans le cas où [VW ] est le seul pli utilisé, alors K est fixe. Le second point cerclé du dessin se déplace en même temps que L, leurs trajets parallèles sont perpendiculaires à (VW ). Le second point cerclé et L restent alignés avec le point fixe K pendant leur mouvement.

Plions maintenant les deux faces en même temps, en conservant leur symétrie par rapport au plan vertical fixe contenant (VE ). Les deux sommets représentés par les points cerclés se rencontrent en un point de ce plan de symétrie, quand les deux faces arrivent bord à bord. Le point d’arrivée des deux points cerclés est l’image d’un sommet du bord de la vasque, au point de concours des droites initiales (LC ), (KF ), et des deux trajets verts. Le point H est la position finale de K, à l’intersection de (LC ) et (RG ). Le décagone régulier en trait brun épais est le projeté du bord dentelé de la vasque sur (RUV ).

À partir du contour épais brun, on pourrait compléter le dessin de la vasque en ajoutant RSUVW et cinq segments, joignant chaque sommet de RSUVW au sommet le plus proche du contour. On dessine alors l’intérieur ou l’extérieur de la vasque, selon que le pliage a rapproché ou éloigné de nous les cinq faces mobiles pendant la formation de la vasque.

Autour de l’axe vertical de RSUVW, faire tourner la vasque d’un cinquième de tour transforme la vasque en elle-même, quel que soit le sens de rotation. Quelle que soit la face oblique de la vasque, son axe oblique coupe l’axe vertical de RSUVW au même point Ω, équidistant des quinze sommets de la vasque. Le projeté G de Ω sur le plan (RUV ) est le centre de symétrie du contour de la vasque, vue à la verticale dans l’épure no 10. Les épures 11 ou 12 montrent le même contour régulier dans leurs vues de dessus, et montrent en élévation l’égale répartition des dix sommets du bord de la vasque, dans deux plans horizontaux symétriques l’un de l’autre par rapport à Ω. Le calcul des trois hauteurs de Ω et des dix sommets du bord prouve cette symétrie en élévation. La conjonction des symétries centrales dans les deux projections, de dessus et en élévation, démontre la symétrie par rapport à Ω du bord dentelé de la vasque, dans l’espace à trois dimensions.

Les quinze sommets de la vasque appartiennent à une sphère de centre Ω. Une fois établie la symétrie du bord de la vasque par rapport à Ω, on ajoute à la figure le symétrique du fond de la vasque RSUVW par rapport à Ω. Et on obtient les vingt sommets du dodécaèdre sur une sphère de centre Ω. D’autres preuves de l’existence du dodécaèdre régulier convexe sont basées sur l’existence du cube, et des transformations géométriques qui le conservent. L’épure 12 montre deux cubes de même centre Ω que le dodécaèdre. Il sera question plus loin de ces deux cubes.

À partir de l’épure no 11, les lettres qui nommaient les sommets du décagone KFNCLAPEMB ne désignent plus dix points coplanaires, elles désignent dix sommets du dodécaèdre. Quand les lettres sont absentes d’une épure, on reconnaît quand même le solide grâce aux couleurs de ses faces, les points de la figure de l’espace ont quand même leurs noms. L’épure 14 ne respecte pas les couleurs des faces, afin de mieux montrer un pavage de triangles colorés.

 
Épure no 11.
Un dodécaèdre en élévation et de dessus. Deux faces du solide sont horizontales. La section équatoriale horizontale est le décagone régulier convexe aux côtés blancs.
Épure no 12.
En élévation et de dessus, le dodécaèdre dans un cube. Chaque face de ce cube contient une arête du dodécaèdre. Quelques sections planes sont tracées, qui sont des polygones réguliers.
Épure no 13.
Autour d’une droite passant par deux sommets opposés, une rotation d’un tiers de tour transforme le solide en lui-même, et conserve aussi l’hexagone régulier, dans le plan équatorial perpendiculaire à l’axe de rotation.
Épure no 14.
Vingt sections non équatoriales sont des hexagones réguliers, chaque section est perpendiculaire à une droite passant par deux sommets opposés.

Dans tous les contours du solide en perspective, au moins deux arêtes opposées ont leur distance en vraie grandeur. Entre deux arêtes symétriques l’une de l’autre par rapport à Ω, la distance φ d, ou φ2 a, est aussi la distance entre les milieux des deux arêtes. Une droite passant par Ω et par le milieu d’une arête est un axe de symétrie du dodécaèdre.

En faisant tourner le dodécaèdre d’un cinquième de tour autour de l’axe commun de deux faces opposées, on obtient le même dodécaèdre. Une telle rotation conserve aussi toute section plane du solide par un plan perpendiculaire à l’axe de rotation, et parallèle à deux faces opposées. Un nombre infini de ces sections sont des pentagones réguliers convexes. Par exemple, le point T de l’épure no 12 appartient à l’axe de UVEKC. Si le rapport d’une homothétie de centre T est strictement compris entre 1 et φ, l’homothétie transforme la face opposée à UVEKC en une section régulière pentagonale. Quand une section parallèle à deux faces opposées n’est pas un pentagone, alors la section est un décagone convexe, conservé par une rotation d’un cinquième de tour autour de l’axe des deux faces. Ce décagone convexe a les sommets de deux pentagones réguliers isométriques et concentriques. Une telle section est un décagone régulier si et seulement si son plan passe par le centre du solide.

Dans l’épure no 11, le plan horizontal passant par Ω coupe dix arêtes en leurs milieux. La section équatoriale horizontale est le décagone régulier aux côtés blancs. L’intersection de la sphère circonscrite au solide et du plan horizontal de la face inférieure est en pointillé vert dans la vue de dessus, avec sa vraie forme de cercle circonscrit à la face inférieure.

Les arêtes d’un cube sont en gris clair épais dans l’épure 12. Chaque face carrée du cube contient une arête du dodécaèdre, parallèle à deux côtés du carré. Le milieu de l’arête est le centre du carré. À la surface de ce cube, quatre arêtes du dodécaèdre sont en vraie grandeur en élévation. Le plan vertical (ARΩ ) contient deux des quatre, [AR ] et son opposée. Les deux autres sont [FL ] et [PB ], symétriques l’une de l’autre par rapport à (ARΩ ). Deux arêtes du dodécaèdre à la surface du cube sont représentées par des points en élévation : les arêtes horizontales [VU ] et son opposée.

La même épure no 12 montre des carrés en trait fin jaune, un seul carré en élévation, non déformé par la perspective. Ce carré-là représente deux faces opposées d’un cube, dont les douze arêtes sont à la surface du dodécaèdre. Cinq cubes sont ainsi associés au dodécaèdre de Platon, tous de la même taille et de même centre Ω. Étant donné un tel cube à l’intérieur du dodécaèdre, une diagonale de chaque face du dodécaèdre est une arête du cube.

L’homothétie de centre Ω et de rapport φ agrandit le cube aux fines arêtes jaunes en l’autre cube aux grosses arêtes grises, qui contient le dodécaèdre. Alors plutôt que cinq cubes, associons cinq paires de cubes concentriques à un dodécaèdre de Platon.

La vue en élévation no 12 montre l’angle θ formé par deux faces d’un cube avec un plan horizontal. Dix arêtes du dodécaèdre communes à deux de ses faces obliques ont la même inclinaison. Des arcs de cercles indiquent deux angles adjacents de mesure θ. L’inclinaison d’une face oblique du dodécaèdre est le double de θ. L’angle de deux faces adjacentes est le supplément de  ( 2 θ ).  Deux lignes d’écriture inclinées renseignent sur θ. On peut déduire la valeur de θ de cette égalité : tan θ = φ – 1.

Dans les épures no 13 et no 14, la vue a la direction de (). Deux sommets opposés du solide ont leurs images confondues avec celle de Ω. Le contour du dodécaèdre a douze côtés. Ce dodécagone est inscriptible dans un cercle, ses douze angles mesurent 150 °. En suivant le contour du solide, on rencontre une fois sur deux une arête en vraie grandeur, en alternance avec une image d’arête plus petite.

Deux sommets opposés du dodécaèdre sont les sommets opposés de deux cubes, qui ont leurs arêtes à la surface du dodécaèdre. Autour de leur diagonale commune, des rotations d’un tiers de tour dans un sens ou dans l’autre conservent chacun des cubes et le dodécaèdre. Étant donnée une droite passant par deux sommets opposés, tous les autres sommets du dodécaèdre peuvent être groupés en sommets de triangles équilatéraux, conservés par les tiers de tour autour de la droite. Par exemple autour de (), des tiers de tour conservent les triangles équilatéraux ASW et BMV.

ASW est une face d’une pyramide régulière de sommet R, d’axe (). Par un plan perpendiculaire à (), ou parallèle à (ASW ), une section de la pyramide est aussi une section du dodécaèdre. C’est une réduction de ASW par une homothétie de centre R. Un tel triangle est tracé en vert dans l’épure no 12. Une infinité de sections du solide sont des triangles équilatéraux.

Un tiers de tour autour de () conserve toute section du solide par un plan perpendiculaire à (). Toujours inscriptible dans un cercle, une telle section aurait sa vraie forme dans l’épure no 13 ou no 14. Ce serait soit un triangle équilatéral, derrière ou devant le solide, soit un hexagone. Par exemple, les deux dernières épures donnent sa vraie forme à l’hexagone BUVFMN, sans le tracer. Comme toutes les sections hexagonales perpendiculaires à une droite passant par un sommet et par le centre du dodécaèdre, BUVFMN est un hexagone de l’ensemble ℱ défini plus haut. Les éléments de ℱ sont des sections de trois sortes de solides différents par des plans idoines.

Parmi ces sections hexagonales, certaines sont des hexagones réguliers. Une même épure no 13 ou no 14 montre des hexagones réguliers de la même taille. Les vingt hexagones évoqués par la no 14 sont plus petits que les dix autres, dont les plans passent par Ω. Quand deux images d’arêtes de l’épure no 13 se coupent, l’une en trait plein et l’autre en pointillé, leur point d’intersection représente un sommet d’hexagone de l’épure no 14.

Le plan perpendiculaire en Ω à () coupe six arêtes du solide en leurs milieux, les sommets de l’hexagone rouge de l’épure no 13. L’un des hexagones réguliers de l’épure est déformé par la perspective, l’autre ne l’est pas.

Cette rubrique se termine en commentant l’épure no 14, jusqu’à conclure sur des icosaèdres. Afin de renseigner sur des rapports de longueurs, deux sortes de triangles pavent en partie une face du solide. Ils pourraient paver la face entière, ou toute la surface du solide. Tous ces triangles sont isocèles, deux d’une même sorte sont isométriques – superposables –.

Le plan d’une section partage six arêtes du solide dans le même rapport φ2, ou φ + 1. La longueur du plus petit segment découpé est choisie comme longueur unité. Avec cette unité-là, 2 φ + 1 ou φ3 est la longueur des six côtés d’une section régulière.

La perspective déforme tous les triangles qui pavent une partie de RSUVW. Et l’unité de longueur indiquée en haut à droite a une image rapetissée. Mais en haut à gauche, le dessin montre les formes réelles de trois triangles assemblés en un pentagone régulier convexe, il montre la réelle unité de longueur. Avec cette unité-là un triangle bleu possède deux côtés de longueur φ, le nombre d’or, et un côté de longueur unité. Dans l’autre sorte de triangle, deux côtés mesurent l’unité de longueur, le troisième côté est de longueur φ.

L’hexagone mauve a sa vraie forme et sa vraie grandeur. Il représente deux sections symétriques l’une de l’autre par rapport à Ω. L’une est entièrement devant le solide, elle a un sommet commun avec l’hexagone vert. L’hexagone régulier vert a tous ses côtés rapetissés par la perspective. D’axe (LB ) comme l’hexagone vert, le symétrique de l’hexagone vert par rapport à Ω n’est pas dessiné. Il a un sommet derrière le solide représenté comme un sommet du mauve, à l’intersection des images d’une arête en pointillé et de [AM ] en trait plein.

Le nombre de ces sections-là est le nombre de sommets du solide. Les plans des vingt hexagones réguliers sont les plans des faces d’un dual du dodécaèdre : un icosaèdre de Platon. Ces vingt plans sont perpendiculaires aux dix droites passant par un sommet et par le centre du dodécaèdre. Ils sont parallèles aux faces de l’un ou l’autre dual canonique du dodécaèdre. Les trois icosaèdres concentriques sont deux à deux homothétiques dans des homothéties de centre Ω.

Icosaèdre de Platon

Les sommets d'un icosaèdre de Platon ici construits à partir d'un dodécaèdre de Platon, en prolongeant ses arêtes.

Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont duaux l'un de l'autre : les centres des faces d'un icosaèdre sont les sommets d'un dodécaèdre de Platon concentrique, et inversement les centres des faces d'un dodécaèdre de Platon sont les sommets d'un icosaèdre concentrique. On peut construire ces sommets-là en prolongeant les arêtes d'un dodécaèdre de Platon, ce qui revient à étoiler les douze faces du dodécaèdre. Les sommets du pentagone étoilé sont les sommets d'une section régulière classique de l'icosaèdre, qui contient cinq arêtes du solide. En étoilant le dodécaèdre, autrement dit en prolongeant ses faces, on obtient un dodécaèdre étoilé de mêmes sommets que l'icosaèdre : un petit dodécaèdre étoilé ou un grand dodécaèdre. Inversement, on obtient un dodécaèdre régulier convexe en tronquant douze fois un dodécaèdre étoilé, quand les plans de sections sont les plans des faces du polyèdre étoilé. On obtient aussi un dodécaèdre de Platon en tronquant à chaque sommet un icosaèdre de Platon, par une section passant par les extrêmités des cinq arêtes issues du sommet tronqué.

Contre-exemples

Pour qu’un polyèdre soit régulier, il faut que toutes ses faces soient des polygones réguliers isométriques – superposables –. Cette condition ne suffit pas. Par exemple, en ajoutant à un tétraèdre régulier son symétrique par rapport au plan d’une face, on obtient un hexaèdre dont les faces sont des triangles équilatéraux de même taille. Parfois appelé « diamant triangulaire », cet hexaèdre est convexe. Il n’est pas régulier, parce que l’un quelconque de ses sommets est commun soit à trois faces, soit à quatre. Pour qu’un polyèdre soit régulier, il faut et il suffit que ses faces soient des polygones réguliers isométriques, et qu’à chaque sommet les arêtes issues du sommet forment des figures isométriques. Non régulier, cet hexaèdre construit à partir d’un tétraèdre régulier n’est pas un solide de Platon.

Parce que les faces d’un polyèdre peuvent se couper, définir l’ensemble des arêtes d’un polyèdre ne suffit pas à définir le polyèdre. Par exemple, prenons un octaèdre régulier. Prenons ses trois carrés diagonaux et quatre de ses faces, de façon que deux faces triangulaires quelconques n’aient pas d’arête commune. Et voilà les sept faces d’un tétrahémihexaèdre, qui a les mêmes sommets et les mêmes arêtes que l’octaèdre initial. Ce polyèdre de sept faces n’est ni régulier, ni convexe. Ce n’est donc pas un solide de Platon. Nommer des sommets en partant d’un sommet quelconque et en suivant des arêtes, désigner l’octaèdre de l’épure no 1 par ABCHLU par exemple, ce serait incorrect parce que deux objets différents ne peuvent pas porter le même nom.

Propriétés combinatoires

Un polyèdre convexe est un solide de Platon si et seulement si

  1. Toutes ses faces sont des polygones réguliers convexes isométriques, c'est-à-dire superposables,
  2. Aucune de ses faces ne se coupe, excepté sur les arêtes
  3. Le même nombre de faces se rencontrent à chacun de ses sommets.

Chaque solide de Platon peut par conséquent être noté par un symbole {p, q} où

p = le nombre de côtés de chaque face (ou le nombre de sommets sur chaque face) et
q = le nombre de faces se rencontrant à chaque sommet (ou le nombre d'arêtes se rencontrant à chaque sommet).

Le symbole {p, q}, appelé le symbole de Schläfli, donne une description combinatoire du polyèdre. Les symboles de Schläfli des cinq solides de Platon sont donnés dans la table ci-dessous.

Polyèdre Sommets Arêtes Faces Symbole de Schläfli Modèle:Lien
Tétraèdre Tétraèdre 4 6 4 {3, 3} 3.3.3
Hexaèdre Hexaèdre (cube) 8 12 6 {4, 3} 4.4.4
Octaèdre Octaèdre 6 12 8 {3, 4} 3.3.3.3
Dodécaèdre Dodécaèdre 20 30 12 {5, 3} 5.5.5
Icosaèdre Icosaèdre 12 30 20 {3, 5} 3.3.3.3.3

Toutes les autres informations combinatoires à propos de ces solides, telles que le nombre total de sommets (S), des arêtes (A) et des faces (F) peuvent être déterminées à partir de p et q. Puisque toute arête joint deux sommets et possède deux faces adjacentes, nous devons avoir :

L'autre relation entre ces valeurs est donnée par la formule d'Euler :

Ce fait non-trivial peut être démontré d'une grande variété de manières (en topologie algébrique il découle de ce fait que la caractéristique d'Euler de la sphère est 2). Mises ensemble, ces trois relations déterminent complètement S, A et F :

Note : échanger p et q intervertit F et S laissant A inchangé (pour une interprétation géométrique de ce fait, voir la section sur les polyèdres duaux ci-dessous).

Classification

C'est un résultat classique qu'il existe seulement cinq polyèdres réguliers convexes. Deux arguments communs sont donnés ci-dessous. Les deux montrent seulement qu'il ne peut pas y avoir plus de cinq solides de Platon. Que chacun des cinq existe réellement est une question séparée — à laquelle on peut répondre par une construction explicite.

Démonstration géométrique

L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclide dans les Éléments :

  1. Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet sur au moins trois faces, sinon ce n'est qu'un point de côté et non un sommet.
  2. À chaque sommet du solide, le total des angles entre les côtés adjacents relatifs aux faces adjacentes, doit être strictement inférieur à 360° (sinon, le solide ne peut pas être convexe).
  3. Les angles de tous les sommets de toutes les faces d'un solide de Platon sont identiques, donc chaque sommet de chaque face doit contribuer pour strictement moins de 360°/3=120°.
  4. Les polygones réguliers de six côtés ou plus ont seulement des angles de 120° ou plus, donc la face commune doit être le triangle, le carré ou le pentagone. Et pour :
    • les faces triangulaires : chaque sommet d'un triangle régulier a un angle de 60°, donc une forme doit avoir 3, 4 ou 5 triangles se rencontrant à un sommet ; celles-ci sont le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre respectivement.
    • les faces carrées : chaque sommet d'un carré a un angle de 90°, donc il existe seulement un arrangement possible avec trois faces à un sommet, le cube.
    • les faces pentagonales : chaque sommet a un angle de 108° ; de nouveau, seulement un arrangement, de trois faces à un sommet est possible, le dodécaèdre.

Démonstration topologique

Une démonstration purement topologique peut être donnée en utilisant seulement les informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler que , et le fait que . En combinant ces équations, on obtient l'équation

En divisant par il vient

Puisque est strictement positif, nous devons avoir

En utilisant le fait que p et q doivent, tous deux, être au moins égaux à 3, on peut facilement voir qu'il existe seulement cinq possibilités pour {p, q} :

Propriétés géométriques

Angles

Il existe un nombre d'angles associés avec chaque solide de Platon. L'angle dièdre est l'angle interne entre deux faces planes quelconques. L'angle dièdre, θ, du solide {p, q} est donné par la formule

Ceci est quelquefois exprimé de manière plus pratique en termes de tangente par

La quantité h est 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre respectivement, autrement dit .

Le Modèle:Lien au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles d'une face et 2π. Le défaut, δ, à un sommet quelconque des sommets de Platons {p, q} est

Par le théorème de Descartes, ceci est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (i.e. le défaut total de tous les sommets est 4π).

L'analogue tridimensionnel d'un angle plan est un angle solide. L'angle solide, Ω, au sommet d'un solide de Platon est donné en termes d'angle dièdre par

Ceci provient de la formule de l'Modèle:Lien pour un polygone sphérique et le fait que la figure de sommet du polyèdre {p, q} est un q-gone régulier.

Les divers angles associés avec les solides de Platon sont donnés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles solides sont données en stéradians. La constante est le nombre d'or.

Polyèdre Angle dièdre
Modèle:Lien Angle solide
Tétraèdre 70,53°
Cube 90°
Octaèdre 109,47°
Dodécaèdre 116,56°
Icosaèdre 138,19°

Rayons, aires et volumes

Une autre vertu de la régularité est que les solides de Platon possèdent tous trois sphères concentriques :

  • la Modèle:Lien qui passe à travers tous les sommets,
  • la Modèle:Lien qui est tangente à chaque arête au milieu de celle-ci et
  • la Modèle:Lien qui est tangente à chaque face au centre de celle-ci.

Les rayons de ces sphères sont appelés les rayons circonscrits, les rayons moyens et les rayons internes. Ceux-ci sont les distances à partir du centre du polyèdre aux sommets, aux milieux des arêtes et aux centres de faces respectivement. Le rayon circonscrit R et le rayon interne r du solide {p, q} avec une longueur d'arête a sont donnés par

où θ est l'angle dièdre. Le rayon moyen ρ est donné par

h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). Noter que le rapport du rayon circonscrit au rayons interne est symétrique dans p et q :

La superficie A d'un solide de Platon {p, q} est facilement calculée, c'est l'aire d'un p-gone régulier fois le nombre de faces F. C’est-à-dire :

Le volume est calculé comme étant F fois le volume de la pyramide dont la base est un p-gone régulier et dont la hauteur est le rayon interne r. C’est-à-dire :

Le tableau suivant liste les divers rayons des solides de Platon ainsi que leurs aires A et leurs volumes V, et deux taux de remplissage : les rapports entre ces volumes V et ceux, VS = 4πRModèle:3/3, de la sphère circonscrite et Vs = 4πrModèle:3/3, de la sphère inscrite. La taille globale est fixée en prenant la longueur d'arête, a, égale à 2.

Polyèdre
(a = 2)
r ρ R A V V/VS[5] Vs/V[6]
Tétraèdre
Cube
Octaèdre
Dodécaèdre
Icosaèdre

Les constantes φ et ξ ci-dessus sont données par

Parmi les solides de Platon, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peuvent être regardés comme la meilleure approximation de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces, le plus grand angle dièdre, et son enveloppe est la plus proche de sa sphère inscrite. Le dodécaèdre, d'un autre côté, a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle solide au sommet et il remplit le plus sa sphère circonscrite.

Symétrie

Polyèdre dual

Un dual cube-octaèdre.

Chaque polyèdre possède un polyèdre dual avec les faces et les sommets interchangés. Le dual de chaque solide de Platon est un autre solide de Platon, c’est-à-dire que nous pouvons arranger les cinq solides en paires duales.

  • Le tétraèdre est auto-dual (i.e. son dual est un autre tétraèdre).
  • Le cube et l'octaèdre forment une paire duale.
  • Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une paire duale.

Si un polyèdre possède un symbole de Schläfli {p, q}, alors son dual possède le symbole {q, p}. En effet, chaque propriété combinatoire d'un solide de Platon peut être interprétée comme une autre propriété combinatoire du dual.

Groupes de symétrie

En mathématiques, le concept de symétrie est étudié avec la notion de groupe mathématique. Chaque polyèdre possède un groupe de symétrie associé, qui est l'ensemble de toutes les transformations (isométries euclidiennes) qui laissent le polyèdre invariant. L'ordre du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On fait souvent une distinction entre le groupe de symétrie total, qui inclut les réflexions, et le groupe de symétrie propre, qui inclut seulement les rotations.

Les groupes de symétrie des solides de Platon sont connus sous le nom de Modèle:Lien (qui sont une classe particulière des Modèle:Lien). Le haut degré de symétrie des solides de Platon peut être interprété de différentes manières. Pour la plus importante, les sommets de chaque sommet sont tous équivalents sous l'action du groupe de symétrie, comme sont les arêtes et les faces. On dit que l'action du groupe de symétrie est transitive sur les sommets, les arêtes et les faces. En fait, c'est une autre manière de définir la régularité d'un polyèdre : un polyèdre est régulier si et seulement s'il est de sommet uniforme, d'arête uniforme et de face uniforme.

Il existe seulement trois groupes de symétrie associés avec les solides de Platon plutôt que cinq, puisque le groupe de symétrie d'un polyèdre quelconque coïncide avec celui de son dual. Ceci est vu facilement en examinant la construction du polyèdre dual. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie du dual et vice-versa. Les trois groupes polyédriques sont :

Les ordres des groupes propres (rotations) sont 12, 24 et 60 respectivement — précisément, deux fois le nombre des arêtes dans le polyèdre respectif. Les ordres des groupes de symétrie totaux sont deux fois de nouveau les ordres précédents (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une déduction de ces faits.

Le tableau suivant liste les diverses propriétés de symétrie des solides de Platon. Les groupes de symétrie listés sont les groupes totaux avec les sous-groupes de rotation donnés entre parenthèses (comme pour le nombre de symétries). La construction kaléidoscopique de Wythoff est une méthode pour la construction des polyèdres directement à partir des groupes de symétrie. Nous listons la référence du symbole de Wythoff pour chaque solide de Platon.

Polyèdre Symbole de Schläfli Symbole de Wythoff Polyèdre dual Symétries Groupe de symétrie
Tétraèdre {3, 3} 3 | 2 3 Tétraèdre 24 (12) Td (T)
Cube {4, 3} 3 | 2 4 Octaèdre 48 (24) Oh (O)
Octaèdre {3, 4} 4 | 2 3 Cube
Dodécaèdre {5, 3} 3 | 2 5 Icosaèdre 120 (60) Ih (I)
Icosaèdre {3, 5} 5 | 2 3 Dodécaèdre

En nature et en technologie

Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre apparaissent tous naturellement dans les structures cristallines. Ceux-ci n'épuisent nullement les nombres de formes possibles de cristaux. Néanmoins, ni l'icosaèdre régulier, ni le dodécaèdre régulier ne figurent parmi eux. Une de ces formes, appelée le pyritoèdre (nommé en rapport avec le groupe des minéraux avec lequel il est typique) a douze faces pentagonales, arrangées avec le même motif que les faces du dodécaèdre régulier. Néanmoins, les faces du pyritoèdre ne sont pas régulières, donc, le pyritoèdre n'est pas non plus régulier.

Circogonia icosahedra, une espèce de radiolaire, formée comme un icosaèdre régulier.

Au début du XXe siècle, Ernst Haeckel décrivit[7] de nombreuses d'espèces de radiolaires, certaines comportant des squelettes ayant la forme de divers polyèdres réguliers. Ses exemples incluent Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus et Circorrhegma dodecahedra, les formes de ces créatures étant évidentes d'après leurs noms.

Beaucoup de virus, tel que le virus de l'herpès, ont la forme d'un icosaèdre régulier. Les structures virales sont construites sur des sous-unités de protéines identiques répétées et l'icosaèdre est la forme la plus facile à assembler en utilisant ces sous-unités. Un polyèdre régulier est utilisé car il peut être construit à partir d'une unité de protéine basique utilisée indéfiniment, ceci engendre un espace dans le génome viral.

En météorologie et en climatologie, les modèles numériques globaux des flux atmosphériques sont d'un intérêt croissant. Ils emploient des grilles qui sont basées sur un icosaèdre (raffiné par triangulation) à la place de la grille longitude/latitude plus communément utilisée. Ceci a l'avantage d'avoir une résolution spatiale également distribuée sans singularités (i.e. les pôles géographiques) aux dépens d'une certaine difficulté numérique plus grande.

La géométrie des Modèle:Lien est souvent basée sur les solides de Platon. Dans le système MERO, les solides de Platon sont utilisés pour la convention de nomenclature des diverses configurations d'armatures d'espace. Par exemple ½O+T fait référence à une configuration faite d'un demi-octaèdre et un tétraèdre.

Les solides de Platon sont souvent utilisés pour fabriquer des dés. Les dés à 6 faces sont très communs, mais les autres nombres sont communément utilisés dans les jeux de rôle. De tels dés sont souvent appelés dnn est le nombre de faces (d8, d20, etc.);

Les dés polyédriques sont souvent utilisés dans les jeux de rôle. On leur ajoute couramment le trapézoèdre pentagonal, qui n'est pas un solide de Platon.

Ces formes apparaissent fréquemment dans d'autres jeux ou d'autres puzzles. Des puzzles similaires aux Rubik's Cube ont vu le jour dans toutes ces formes — voir Modèle:Lien.

Polyèdres reliés et polytopes

Polyèdres uniformes

Il existe quatre polyèdres réguliers qui ne sont pas convexes, appelés les solides de Kepler-Poinsot. Ceux-ci ont tous la symétrie icosaédrique et peuvent être obtenus par stellations du dodécaèdre et de l'icosaèdre.


Cuboctaèdre

Icosidodécaèdre

Les prochains polyèdres convexes les plus réguliers après les solides de Platon sont le cuboctaèdre, qui est une Modèle:Lien du cube et de l'octaèdre, et l'icosidodécaèdre, qui est une rectification du dodécaèdre et de l'icosaèdre (la rectification du polyèdre auto-dual, le tétraèdre est un octaèdre régulier). Ils sont tous les deux quasi-réguliers ce qui signifie qu'ils sont de sommet et d'arête uniformes et qu'ils ont des faces régulières, mais les faces ne sont pas toutes isométriques (provenant de deux classes différentes). Ils forment deux des treize solides d'Archimède, qui sont des polyèdres uniformes convexes avec une symétrie polyédrique.

Les polyèdres uniformes forment une classe beaucoup plus grande de polyèdres. Ces solides sont de sommets uniformes et on un ou plusieurs types de polygones réguliers (convexes ou étoilés) pour faces. Ceux-ci incluent tous les polyèdres mentionnés ci-dessus avec l'ensemble infini des prismes, l'ensemble infini des antiprismes ainsi que 53 autres formes non-convexes.

Les solides de Johnson sont des polyèdres convexes qui ont des faces régulières mais qui ne sont pas uniformes.

Pavages

Les trois pavages réguliers du plan sont fortement reliés aux solides de Platon. En effet, on peut regarder les solides de Platon comme les cinq pavages réguliers de la sphère. Ceci est effectué en projetant chaque solide sur une sphère concentrique. Les faces projettent sur des polygones sphériques réguliers qui couvrent exactement la sphère. On peut montrer que chaque pavage régulier de la sphère est caractérisé par une paire d'entiers {p, q} avec 1/p + 1/q > 1/2. De même, un pavage régulier du plan est caractérisé par la condition 1/p + 1/q = 1/2. Il existe trois possibilités :

D'une manière similaire, on peut considérer les pavages réguliers sur le plan hyperbolique. Ils sont caractérisés par la condition 1/p + 1/q < 1/2. Il existe un nombre infini de tels pavages.

Dimensions plus élevées

Lorsqu'il y a plus de trois dimensions, les polyèdres se généralisent aux polytopes. Dans le milieu du XIXe siècle, le mathématicien suisse Ludwig Schläfli découvrit les analogues quadridimensionnels des solides de Platon, appelés les 4-polytopes réguliers convexes. Il existe exactement six de ces figures ; cinq sont analogues aux solides de Platon, tandis que le sixième, le 24-cellules, n'a pas d'analogue en dimension inférieure.

Dans les dimensions plus élevées que quatre, il existe seulement trois polytopes réguliers convexes : le simplexe, l’hypercube et l’hyperoctaèdre. En trois dimensions, ceux-ci coïncident avec le tétraèdre, le cube et l’octaèdre.

Notes et références

  1. Dans le contexte de cette page, le mot régulier est implicite et généralement omis. Le mot irrégulier est parfois utilisé pour souligner le fait qu'un polyèdre n’est pas régulier, bien qu'il soit encore supposé avoir la même topologie que la forme régulière. D'autres formes topologiques très différentes, telles que le dodécaèdre rhombique qui possède douze faces rhombiques, ou un polyèdre étoilé non-convexe, comme le grand dodécaèdre, ne sont jamais données avec des noms raccourcis.
  2. (en) The Scottish solids hoax
  3. (de) Eva Sachs, Die fünf platonischen Körper, Berlin, 1917. Festugière, Etudes de philosophie grecque, p. 385.
  4. 4,0 et 4,1 Yvan Monka, Les solides de Platon
  5. Pour des valeurs approchées plus précises, voir http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Footsphe.htm#remplir.
  6. Pour les valeurs approchées de V/Vs, voir (en) http://www.thomasbending.co.uk/puzzles/geometry/spheresolids.htm, Volume of the circumscribed solid.
  7. (de) E. Haeckel, Kunstformen der Natur, 1904, rééd. (en) Art forms in nature, Prestel USA, 1998 (ISBN 3-7913-1990-6)
  • Platon, Timée (vers 358 av. J.-C.), 55e-56c. Trad. L. Brisson, Timée/Critias, Garnier-Flammarion, 3° éd. revue 1996
  • Euclide, Éléments (vers 300 av. J.-C.), livre XIII. Euclide, Les Éléments, volume IV, Livre XI-XIII, Géométrie des solides ; trad. du texte par Heiberg et commentaires par Bernard Vitrac. Paris : Presses universitaires de France, 2001. (Bibliothèque d'histoire des sciences). 482 p. (ISBN 2-13-051927-X)

Modèle:Traduction/Référence

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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