Méthodologie en sciences calculatoires/Boîte à outils

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Lorsqu'un ouvrier a une tâche à accomplir, il vient avec une boîte à outils et choisit son outil sur place. De la même manière, l'élève ou étudiant dispose de formules et équations et doit choisir laquelle ou lesquelles utiliser. Et c’est là que se pose le premier problème…

L'idée de la méthode présentée ici est que le choix se fait visuellement : en écrivant sur le brouillon les formules à côté des données du problème, on peut déduire quelles formules utiliser et dans quel ordre. De la même manière, l'ouvrier détermine visuellement l'outil à utiliser : tournevis à lame plate ou cruciforme, grand ou petit. On n'a donc « pas à réfléchir ».

L'important est donc d'écrire sur le brouillon : il faut extraire la ou les formules concernant le domaine (de sa mémoire, du formulaire ou de la calculatrice) et les recopier.

Prenons un premier exemple : celui de la factorisation par des identités remarquables en mathématiques. Nous choisissons volontairement un exemple simple qui ne nécessite pas forcément de méthode particulière, pour bien présenter la chose.

Début de l'exemple

Factorisation par des identités remarquables

Énoncé

Factoriser x² + 14x + 49

Démarche

Brouillon

Formules		Problème
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2		x2 + 14x + 49
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2

On constate visuellement que c’est la première formule qui convient (le membre de droite contient trois éléments et elle n'a pas de signe moins), c’est donc elle que l’on va utiliser. On peut donc identifier

• a² → x², a = x ;
• 2ab → 14x, 2b = 14, b = 7 ;
• b² → 49, b = √49 = 7

soit

x² + 14x + 49 = (x + 7)².

Fin de l'exemple

Pour un problème de sciences physiques, il faut d’abord identifier les variables, c'est-à-dire

• relever dans le texte les mots qui correspondent à des valeurs numériques ;
• relever dans le formulaire les lettres utilisées dans les formules ;
• mettre en correspondance les mots et les lettres.

Début de l'exemple

Calcul du poids d'un cylindre

Énoncé

Calculer le poids d'un cylindre en acier de diamètre 20 mm, de hauteur 10 mm. On donne ρ_acier = 7,8 kg/dm³ et g = 9,81 m/s².

Formulaire

• V = πr²h ;
• m = ρV ;
• P = mg.

Démarche

Brouillon :

• poids : P ;
• diamètre : 2r ;
• hauteur : h.

Fin de l'exemple

Ensuite, on identifie les données, par exemple en reliant les variables des formules aux valeurs par des flèches. La grandeur demandée par l'énoncé est identifiée par un point d'interrogation. S'il faut utiliser deux formules, on peut ainsi identifier celle par laquelle on va finir — celle qui contient le point d'interrogation — et celle par laquelle on va commencer — celle dont toutes les grandeurs sont données sauf une, cette grandeur étant reprise dans la formule finale.

Début de l'exemple

Calcul du poids d'un cylindre

Énoncé

Comme ci-dessus.

Démarche

Brouillon

P =	m	g
↓		↓
?		9,81 m/s2
m =	ρ	V
	↓
	7,8 kg/dm3
V = π	r2	h
	↙	↓
∅20 mm		10 mm

On remarque que l’on part de la fin : on cherche à calculer le poids, donc on écrit la (seule) formule que l’on connaît qui contient le poids, de là on voit que l’on a besoin de la masse. Et ainsi de suite

Fin de l'exemple

Cette méthode permet de voir les formules qui doivent être « inversées ».

En effet, une formule est d'un point de vue mathématique une équation ; par exemple, la formule reliant la pression P à la force F et à l'aire S est :

P = F/S.

Cette formule est utilisable telle quelle si l’on cherche à calculer la pression en connaissant la force et l'aire. Mais si connaissant la force F (charge) et la pression à ne pas dépasser P (limite de rupture), l’on cherche l'aire minimale qu’il faudrait avoir, on a alors besoin d'inverser la formule pour obtenir

S = F/P,

c'est-à-dire d'un point de vue mathématique de résoudre l'équation, l'inconnue étant S.

De manière générale, si la grandeur inconnue d'une formule est à droite du signe égal, alors il faut inverser cette formule.

N'oublions pas toutefois qu’à partir d'un certain niveau, la première étape est la modélisation, la pose d'hypothèse, avant de se lancer dans la résolution. Dans ce cadre, la méthode de la boîte à outil permet aussi de mettre à plat les équations disponibles et donc la manière dont on peut modéliser le problème. On peut donc l’utiliser pour la mise en équations.