« Continuité et variations/Théorème des valeurs intermédiaires » : différence entre les versions
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On pose <math>a_0 = a</math> et <math>b_0 = b</math>, on vérifie <math>f(a_0) \leq y \leq f(b_0)</math> |
On pose <math>a_0 = a</math> et <math>b_0 = b</math>, on vérifie <math>f(a_0) \leq y \leq f(b_0)</math>. |
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Version du 5 novembre 2016 à 16:19
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit une fonction continue sur un intervalle et .
Pour tout réel tel que : ,
il existe (au moins) un réel vérifiant l'équation : .
Quitte à considérer et passer le problème à l'opposé, on peut supposer .
Soit . On souhaite établir l’existence de vérifiant .
On va construire par un procédé dichotomique deux suites adjacentes et dont la limite commune sera un tel que .
Etape initiale :
On pose et , on vérifie .
Etape 1 :
On introduit .
Si , on pose et .
Si , on pose et .
Dans les deux cas, on vérifie .
Etape n+1 :
On introduit .
Si , on pose et .
Si , on pose et .
Dans les deux cas, on vérifie .
On définit ainsi deux suites et , et par construction on vérifie :
La suite est croissante, la suite est décroissante et .
Ainsi ces deux suites sont adjacentes.
Notons leur limite commune. Puisque et , on a et .
Or, pour tout , , donc par le théorème des gendarmes, on obtient .
L'existence est ainsi établie.
Pour montrer qu'une fonction continue s'annule sur ,
il suffit de montrer qu'elle change de signe sur .
Interprétation graphique
La droite d'équation coupe au moins une fois la courbe représentative de f.
Interprétation en termes d'équations
Soit f une fonction continue d'un intervalle I, a et b deux réels de I.
Pour tout réel u compris entre f(a) et f(b),
l'équation admet (au moins) une solution c comprise entre a et b. On peut démontrer l'unicité de cette solution si est strictement monotone sur et les conditions d'application du théorème.
Remarque : Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d'existence qui ne précise pas la valeur des solutions.
Néanmoins des méthodes algorithmiques (comme la méthode de dichotomie) l'utilisent pour déterminer des valeurs approchées des solutions.