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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Équation de bilan de la quantité de mouvement : Forme locale Équation de bilan de la quantité de mouvement/Forme locale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
En exprimant la forme globale
∫
∫
∫
V
(
∂
(
ρ
v
→
)
∂
t
+
d
i
v
→
(
ρ
v
→
⊗
v
→
)
)
d
V
=
∫
∫
∫
V
f
V
→
d
V
+
∫
∫
∫
V
div
→
τ
¯
¯
d
V
{\displaystyle \int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial (\rho {{\overrightarrow {v}})}}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathrm {div} }}\left(\rho {\overrightarrow {v}}\otimes {\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {f_{V}}}\,\mathrm {d} V+\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}{\mathrm {d} V}}
,
il vient la forme conservative de l'équation de bilan de la quantité de mouvement :
∂
(
ρ
v
→
)
∂
t
+
d
i
v
→
(
ρ
v
→
⊗
v
→
)
=
f
V
→
+
div
→
τ
¯
¯
{\displaystyle {\frac {\partial (\rho {\overrightarrow {v}})}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathrm {div} }}\left(\rho {\overrightarrow {v}}\otimes {\overrightarrow {v}}\right)={\overrightarrow {f_{V}}}+{\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}}
,
qui peut aussi s'exprimer sous sa forme non-conservative :
ρ
d
v
→
d
t
=
f
V
→
+
div
→
τ
¯
¯
⟺
ρ
∂
v
→
∂
t
+
ρ
(
v
→
⋅
g
r
a
d
→
)
v
→
=
f
V
→
+
div
→
τ
¯
¯
{\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}={\overrightarrow {f_{V}}}+{\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}\ \ \Longleftrightarrow \ \ \rho \,{\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}+\rho \left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\right){\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {f_{V}}}+{\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}}
.