« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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== Exercice 1-2 == |
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On note <math>E_n</math> |
On note <math>E_n</math> l’ensemble des polynômes unitaires de degré <math> n </math> de <math> \mathbb Z [X] </math> dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1. |
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# Montrer que <math> E </math> est fini. |
# Montrer que <math> E </math> est fini. |
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# Soit <math> P = \prod_{k=1}^n (X - x_k) </math> un élément de <math> E_n </math>. On note <math> P' </math> le polynôme <math> \prod_{k=1}^n (X - x_k ^2) </math>. Montrer que <math> P' \in E_n </math>. |
# Soit <math> P = \prod_{k=1}^n (X - x_k) </math> un élément de <math> E_n </math>. On note <math> P' </math> le polynôme <math> \prod_{k=1}^n (X - x_k ^2) </math>. Montrer que <math> P' \in E_n </math>. |
Version du 16 mai 2016 à 18:29
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Solution
Soit une racine de . On a .
Si admet une infinité de racines. Donc est le polynôme nul.
Donc tout polynôme non nul satisfaisant cette équation n'admet comme racine éventuelle que 1, -1 et 0.
Si , avec a un scalaire, .
Par identification, on obtient le système :
Donc est nul ou est de la forme
Réciproquement, les polynômes de cette forme vérifient bien l'équation :
Exercice 1-2
On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines des éléments de sont des racines de l'unité.
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?