« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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== Exercice 1-2 ==
== Exercice 1-2 ==
On note <math>E_n</math> l'ensemble des polynômes unitaires de degré <math> n </math> de <math> \mathbb Z [X] </math> dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
On note <math>E_n</math> l’ensemble des polynômes unitaires de degré <math> n </math> de <math> \mathbb Z [X] </math> dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
# Montrer que <math> E </math> est fini.
# Montrer que <math> E </math> est fini.
# Soit <math> P = \prod_{k=1}^n (X - x_k) </math> un élément de <math> E_n </math>. On note <math> P' </math> le polynôme <math> \prod_{k=1}^n (X - x_k ^2) </math>. Montrer que <math> P' \in E_n </math>.
# Soit <math> P = \prod_{k=1}^n (X - x_k) </math> un élément de <math> E_n </math>. On note <math> P' </math> le polynôme <math> \prod_{k=1}^n (X - x_k ^2) </math>. Montrer que <math> P' \in E_n </math>.

Version du 16 mai 2016 à 18:29

Racines de polynômes
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Exercices no1
Leçon : Polynôme

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
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Polynôme/Exercices/Racines de polynômes
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Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes tels que .

Exercice 1-2

On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.

  1. Montrer que est fini.
  2. Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
  3. Montrer que les racines des éléments de sont des racines de l'unité.