« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions
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m Robot : Remplacement de texte automatisé (-\,</math> +</math>) |
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On a : |
On a : |
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<math>\phi'(x)=e^x-x |
<math>\phi'(x)=e^x-x</math> |
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et |
et |
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<math>\phi''(x)=e^x-1 |
<math>\phi''(x)=e^x-1</math> |
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Sur <math>[0;+\infty[</math> ,comme <math>e^x\geq 1</math> donc <math>\phi''(x)\geq 0</math>, donc <math>\phi'</math> est croissante sur <math>[0;+\infty[</math>. |
Sur <math>[0;+\infty[</math> ,comme <math>e^x\geq 1</math> donc <math>\phi''(x)\geq 0</math>, donc <math>\phi'</math> est croissante sur <math>[0;+\infty[</math>. |
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Or <math>\phi'(0)=1 |
Or <math>\phi'(0)=1</math> donc <math>\phi'(x)\geq 0</math> sur <math>[0;+\infty[</math>, donc <math>\phi</math> est croissante sur <math>[0;+\infty[</math>. |
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Or <math>\phi(0)=1 |
Or <math>\phi(0)=1</math> donc <math>\phi(x)\geq 0</math> sur <math>[0;+\infty[</math> |
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On en déduit avec l'expression de <math>\phi(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2</math>, que sur <math>[0;+\infty[</math> : |
On en déduit avec l'expression de <math>\phi(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2</math>, que sur <math>[0;+\infty[</math> : |
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donc : |
donc : |
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<math>\frac{e^x}{x}\geq \frac{1}{2}x |
<math>\frac{e^x}{x}\geq \frac{1}{2}x</math>. |
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Or <math>\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}x=+\infty |
Or <math>\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}x=+\infty</math> donc par comparaison, <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty</math>}} |
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== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en - ∞ == |
== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en - ∞ == |
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Ligne 99 : | Ligne 99 : | ||
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}</math> |
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{{Solution|contenu=On pose <math>X=x^2 |
{{Solution|contenu=On pose <math>X=x^2</math>. |
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* Pour tout <math>x\in\R,~\frac x{e^{(x^2)}}=\frac{\sqrt X}{e^X}</math> |
* Pour tout <math>x\in\R,~\frac x{e^{(x^2)}}=\frac{\sqrt X}{e^X}</math> |
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* On sait que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math> |
* On sait que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math> |
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Ligne 114 : | Ligne 114 : | ||
* <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x</math> |
* <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x</math> |
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{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-x |
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-x</math>. |
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* Soit <math>x\in\R</math>. |
* Soit <math>x\in\R</math>. |
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* On a |
* On a |
Version du 27 octobre 2014 à 08:49
Comparaison entre ex et x en + ∞
On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers quand x tend vers , et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (en).
Pour formaliser ceci, on étudie la limite :
qui est une forme indéterminée .
On étudie sur la fonction .
On a :
et
Sur ,comme donc , donc est croissante sur .
Or donc sur , donc est croissante sur .
Or donc sur
On en déduit avec l'expression de , que sur :
donc:
donc :
.
Or donc par comparaison,
Comparaison entre ex et x en - ∞
On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers 0 quand x tend vers , à la vitesse de la suite géométrique (e-n).
Pour formaliser, on étudie la limite :
qui est une forme indéterminée
Preuve:
En posant , on a
Application
Déterminer les limites suivantes :
- Donc
- Pour tout
- Or,
- De plus,
- Donc
Pour tout .
- Pour tout , on pose
- On a alors pour tout .
- On sait que
- Donc
- De plus,
- Donc
On pose .
- Pour tout
- On sait que
- Donc .
- Pour tout
- On a
- De plus,
- Donc
Pour tout , on pose .
- Soit .
- On a
- On sait que
- et que
- Donc
- Pour tout
- On a montré plus haut que
- Donc
Soit :
- Donc
- De plus,
- Donc
Soit :
- Donc
- De plus,
- Donc
Extension aux puissances de x
En résumé
Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».