« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions
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Une suite <math>(u_n)\,</math> d'éléments de <math>E\,</math> est '''une suite de Cauchy''' si, et seulement si :<br /> |
Une suite <math>(u_n)\,</math> d'éléments de <math>E\,</math> est '''une suite de Cauchy''' si, et seulement si :<br /> |
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<center>{{ |
<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall \varepsilon > 0 ,\; \exist n_{\varepsilon} \in\N| \forall (n,p)\in\N^2 , n \ge n_{\varepsilon} \Rightarrow \|u_{n+p} - u_n\| < \varepsilon\,</math> }}</center> |
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* <math>\forall n\in\N,\;F_{n+1} \subset F_n \mathrm{\;et\;} F_n\ne \varnothing\,</math> |
* <math>\forall n\in\N,\;F_{n+1} \subset F_n \mathrm{\;et\;} F_n\ne \varnothing\,</math> |
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* <math>\lim_{n\to +\infty}\left(\sup_{x,y\in F_n} \|x-y\|\right)= 0\,</math> |
* <math>\lim_{n\to +\infty}\left(\sup_{x,y\in F_n} \|x-y\|\right)= 0\,</math> |
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alors <center>{{ |
alors <center>{{Encadre|contenu=<math>\exist! x\in E\;|\; \bigcap_{n\in\N} F_n = \{x\}\,</math>}}</center> |
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Soient <math>E\,</math> et <math>F\,</math> deux Banach, <math>f : A\subset E \to F\,</math> et <math>a\in \bar A\,</math>.<br /> |
Soient <math>E\,</math> et <math>F\,</math> deux Banach, <math>f : A\subset E \to F\,</math> et <math>a\in \bar A\,</math>.<br /> |
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<math>\lim_{x\to a}f(x)\,</math> existe dans <math>F\,</math> si, et seulement si : <br /> |
<math>\lim_{x\to a}f(x)\,</math> existe dans <math>F\,</math> si, et seulement si : <br /> |
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<center>{{ |
<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall \varepsilon > 0,\;\exist\delta_{\varepsilon} >0|\forall x,y\in A , \|x-y\| < \delta_{\varepsilon} \Rightarrow \|f(x)-f(y)\| < \varepsilon\,</math>}}</center> |
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* '''Existence du point fixe :'''Puisque <math>f\,</math> est <math>k\,</math>-contractante, on a donc :<br /> |
* '''Existence du point fixe :'''Puisque <math>f\,</math> est <math>k\,</math>-contractante, on a donc :<br /> |
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<math>\|u_{n+1}-u_n\| = \|f(u_n) - f(u_{n-1})\| \le k \|u_n-u_{n-1}\|\,</math> . On en déduit par une récurrence facile que :<br /> |
<math>\|u_{n+1}-u_n\| = \|f(u_n) - f(u_{n-1})\| \le k \|u_n-u_{n-1}\|\,</math> . On en déduit par une récurrence facile que :<br /> |
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<center>{{Encadre|contenu=<math>\|u_{n+1}-u_n\| \le k^n\|u_1-u_0\|\,</math>}}</center><br /> |
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puis que :<br /> |
puis que :<br /> |
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<math>\forall (n,p)\in\N^2\,</math><br /> |
<math>\forall (n,p)\in\N^2\,</math><br /> |
Version du 1 mars 2014 à 13:53
Dans toute la suite, est un espace vectoriel normé (evn).
Définitions
Voici une propriété vraie dans tout evn et qu'on démontre comme dans :
Définition : Espace de Banach
- Un evn est dit complet si, et seulement si, toute suite de Cauchy y est convergente.
- On appelle espace de Banach tout espace vectoriel normé complet.
Théorèmes
Dans tout ce paragraphe, est un espace de Banach (parfois appelé "Banach").
(démonstration à faire)
Théorème : Critère de Cauchy pour les fonctions
Soient et deux Banach, et .
existe dans si, et seulement si :
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(démonstration à faire)
Théorème du point fixe de Banach
Soient un Banach et une application -contractante .
Alors :
- la fonction admet un unique point fixe sur (c'est-à-dire )
- est la limite de toute suite de définie par et .
c'est-à-dire -lipschitzienne avec .
Démonstration
- Existence du point fixe :Puisque est -contractante, on a donc :
. On en déduit par une récurrence facile que :
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puis que :
donc est de Cauchy et converge vers . En passant à la limite dans , on obtient bien que et que est un point fixe de .
- Unicité du point fixe : Supposons que et soient deux points fixes de . Alors :
(car ) , ce qui est absurde sauf si .