Polynôme/Exercices/Racines de polynômes

Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes $P$ tels que $P(X^{2})=P(X)P(X+1)$.

Solution

Soit $\lambda$ une racine de $P$. On a $P(\lambda ^{2})=P(\lambda )P(\lambda +1)=0$.

Si $\left|\lambda \right|\notin \{0,1\},P$ admet une infinité de racines. Donc $P$ est le polynôme nul.

Donc tout polynôme non nul satisfaisant cette équation n'admet comme racine éventuelle que 1, -1 et 0.

Si $P(X)=aX^{n_{1}}(X-1)^{n_{2}}(X+1)^{n_{3}}$, avec a un scalaire, $n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {N}$.

$P(X^{2})=aX^{2n_{1}}(X^{2}-1)^{n_{2}}(X^{2}+1)^{n_{3}}=aX^{2n_{1}}(X-1)^{n_{2}}(X+1)^{n_{2}}(X-i)^{n_{3}}(X+i)^{n_{3}}$

$P(X)P(X+1)=a^{2}X^{n_{1}+n_{2}}(X-1)^{n_{2}}(X+1)^{n_{3}+n_{1}}(X+2)^{n_{3}}$

Par identification, on obtient le système :

${\begin{cases}a=a^{2}\\2n_{1}=n_{1}+n_{2}\\n_{2}=n_{2}\\n_{2}=n_{3}+n_{1}\\n_{3}=0\end{cases}}$ $\Leftrightarrow$ ${\begin{cases}a=1{\text{ ou }}0\\n_{1}=n_{2}\\n_{3}=0\end{cases}}$

Donc $P$ est nul ou $P$ est de la forme $P(X)=(X^{2}-X)^{n}{\text{, avec }}n\in \mathbb {N}$

Réciproquement, les polynômes de cette forme vérifient bien l'équation :

$P(X)P(X+1)=(X^{2}-X)^{n}((X+1)^{2}-(X+1))^{n}=(X^{2}-X)^{n}(X^{2}+2X+1-X-1)^{n}=X^{2n}(X^{2}-1)^{n}=P(X^{2})$

 

Exercice 1-2

On note $E_{n}$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ de $\mathbb {Z} [X]$ dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.

1. Montrer que $E$ est fini.
2. Soit $P=\prod _{k=1}^{n}(X-x_{k})$ un élément de $E_{n}$. On note $P'$ le polynôme $\prod _{k=1}^{n}(X-x_{k}^{2})$. Montrer que $P'\in E_{n}$.
3. Montrer que les racines des éléments de $E_{n}$ sont des racines de l'unité.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}