« Ondes électromagnétiques/Exercices/Propagation dans un métal réel » : différence entre les versions

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Contenu supprimé Contenu ajouté
LydieBot (discussion | contributions)
m Maintenance avec AWB
m MeP
Ligne 35 : Ligne 35 :


Dans un métal conducteur, les équations de Maxwell deviennent :
Dans un métal conducteur, les équations de Maxwell deviennent :
<math>\overrightarrow{\rm rot}(\vec E_t)=-\frac{\partial \vec B_t}{\partial t}</math>
:<math>\overrightarrow{\rm rot}(\vec E_t)=-\frac{\partial \vec B_t}{\partial t}</math>
<math>{\rm div}(\vec E_t)=0</math>
:<math>{\rm div}(\vec E_t)=0</math>
<math>\overrightarrow{\rm rot}(\vec B_t)=\mu_0\vec i+\frac1{c^2}\frac{\partial \vec E_t}{\partial t}</math>
:<math>\overrightarrow{\rm rot}(\vec B_t)=\mu_0\vec i+\frac1{c^2}\frac{\partial \vec E_t}{\partial t}</math>
<math>{\rm div}(\vec B_t)=0</math>
:<math>{\rm div}(\vec B_t)=0</math>


On effectue la manipulation standard pour éliminer <math>\vec B_t</math> des expressions :
On effectue la manipulation standard pour éliminer <math>\vec B_t</math> des expressions :
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
\overrightarrow{\rm rot}(\overrightarrow{\rm rot}(\vec E_t)) &= \vec\nabla({\rm div}(\vec E_t))-\vec\Delta\vec E_t = -\vec\Delta\vec E_t\\
\overrightarrow{\rm rot}(\overrightarrow{\rm rot}(\vec E_t)) &= \vec\nabla({\rm div}(\vec E_t))-\vec\Delta\vec E_t = -\vec\Delta\vec E_t\\
&=\overrightarrow{\rm rot}\left(-\frac{\partial \vec B_t}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow{\rm rot}(\vec B_t)\right) = -\mu_0\frac{\partial\vec i}{\partial t}-\frac1{c^2}\frac{\partial^2 \vec E_t}{\partial t^2}
&=\overrightarrow{\rm rot}\left(-\frac{\partial \vec B_t}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow{\rm rot}(\vec B_t)\right) = -\mu_0\frac{\partial\vec i}{\partial t}-\frac1{c^2}\frac{\partial^2 \vec E_t}{\partial t^2}
Ligne 116 : Ligne 116 :


<math>\vec E_t</math> est donné sous la forme d'une onde plane. On peut donc prendre la liberté d'exprimer le champ magnétique en utilisant la formule :
<math>\vec E_t</math> est donné sous la forme d'une onde plane. On peut donc prendre la liberté d'exprimer le champ magnétique en utilisant la formule :

<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
\vec B_t &= \frac{\vec{k'}\wedge\vec E_t}\omega\\
\vec B_t &= \frac{\vec{k'}\wedge\vec E_t}\omega\\
Ligne 137 : Ligne 138 :


De plus, l'hypothèse <math>\vec j_S\approx 0</math> implique la continuité des composantes tangentielles du champ magnétique. On peut ainsi écrire
De plus, l'hypothèse <math>\vec j_S\approx 0</math> implique la continuité des composantes tangentielles du champ magnétique. On peut ainsi écrire

<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
\vec k\wedge(\vec E_i-\vec E_r)=\vec k'\wedge \vec E_t
\vec k\wedge(\vec E_i-\vec E_r)=\vec k'\wedge \vec E_t
Ligne 158 : Ligne 160 :


On va calculer les moyennes temporelles des vecteurs de Poynting des ondes incidente et transmise au niveau de la surface :
On va calculer les moyennes temporelles des vecteurs de Poynting des ondes incidente et transmise au niveau de la surface :

<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


Ligne 171 : Ligne 174 :


D'où :
D'où :

<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
\langle\vec \Pi_i \rangle &= \frac{\Re(\vec E_i\wedge \vec B_i^*)}{2\mu_0}\\
\langle\vec \Pi_i \rangle &= \frac{\Re(\vec E_i\wedge \vec B_i^*)}{2\mu_0}\\
Ligne 210 : Ligne 214 :
;Question 9
;Question 9
La puissance surfacique moyenne perdue par effet joule est la puissance transmise dans le métal :
La puissance surfacique moyenne perdue par effet joule est la puissance transmise dans le métal :

<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
\langle\mathcal P_S\rangle &= T\,||\langle\vec\Pi_i\rangle||\\
\langle\mathcal P_S\rangle &= T\,||\langle\vec\Pi_i\rangle||\\

Version du 30 octobre 2013 à 09:20

Propagation dans un métal réel
Image logo représentative de la faculté
Exercices no4
Leçon : Ondes électromagnétiques

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Propagation dans un plasma
Exo suiv. :Énergie
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Propagation dans un métal réel
Ondes électromagnétiques/Exercices/Propagation dans un métal réel
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




On considère l'espace muni d'une base orthonormée directe .

Un métal homogène non magnétique de conductivité occupe le demi-espace .

Une onde plane monochromatique de fréquence , polarisée rectilignement suivant se propage dans le vide vers les z croissants. Son champ électrique vaut . Lorsque cette onde arrive sur le métal :

  • une partie est transmise ; la forme de l'onde transmise dans le métal est
  • une partie est réfléchie ; la forme de l'onde réfléchie est avec


  1. Établir la relation de dispersion dans le métal.
  2. Montrer que pour le domaine de fréquence , on a .
  3. En déduire que la relation de dispersion se réduit à . Exprimer δ en fonction de ω, ε₀, c et γ.
  4. Quelle est la signification physique de δ ?
  5. Les conditions ci-desus étant supposées remplies, calculer le rapport des vitesses de phase de l'onde dans le métal et dans le vide en fonction de ω, ε₀ et γ.
  6. Exprimer le champ magnétique de l'onde transmise. Déterminer en tout point de cote z du métal :
    1. le déphasage entre les champs et
    2. le rapport des amplitudes des champs et en fonction de α et c.
  7. Déterminer en fonction de α les coefficients complexes de transmission et de réflexion en amplitude. On pourra supposer que, γ étant fini, on aura .
  8. Exprimer en fonction de α les facteurs de réflexion R et de transmission T, définis respectivement comme les fractions de puissance réfléchie et transmise moyenne.
    1. Examiner le cas
    2. Calculer les valeurs numériques de λ, δ, α et T pour et
  9. Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans une portion de métal de section unité en fonction de ω, γ, c, E0i et ε₀.