« Ondes électromagnétiques/Exercices/Propagation dans un métal réel » : différence entre les versions
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Dans un métal conducteur, les équations de Maxwell deviennent : |
Dans un métal conducteur, les équations de Maxwell deviennent : |
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<math>\overrightarrow{\rm rot}(\vec E_t)=-\frac{\partial \vec B_t}{\partial t}</math> |
:<math>\overrightarrow{\rm rot}(\vec E_t)=-\frac{\partial \vec B_t}{\partial t}</math> |
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<math>{\rm div}(\vec E_t)=0</math> |
:<math>{\rm div}(\vec E_t)=0</math> |
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<math>\overrightarrow{\rm rot}(\vec B_t)=\mu_0\vec i+\frac1{c^2}\frac{\partial \vec E_t}{\partial t}</math> |
:<math>\overrightarrow{\rm rot}(\vec B_t)=\mu_0\vec i+\frac1{c^2}\frac{\partial \vec E_t}{\partial t}</math> |
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<math>{\rm div}(\vec B_t)=0</math> |
:<math>{\rm div}(\vec B_t)=0</math> |
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On effectue la manipulation standard pour éliminer <math>\vec B_t</math> des expressions : |
On effectue la manipulation standard pour éliminer <math>\vec B_t</math> des expressions : |
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<math>\begin{align} |
:<math>\begin{align} |
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\overrightarrow{\rm rot}(\overrightarrow{\rm rot}(\vec E_t)) &= \vec\nabla({\rm div}(\vec E_t))-\vec\Delta\vec E_t = -\vec\Delta\vec E_t\\ |
\overrightarrow{\rm rot}(\overrightarrow{\rm rot}(\vec E_t)) &= \vec\nabla({\rm div}(\vec E_t))-\vec\Delta\vec E_t = -\vec\Delta\vec E_t\\ |
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&=\overrightarrow{\rm rot}\left(-\frac{\partial \vec B_t}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow{\rm rot}(\vec B_t)\right) = -\mu_0\frac{\partial\vec i}{\partial t}-\frac1{c^2}\frac{\partial^2 \vec E_t}{\partial t^2} |
&=\overrightarrow{\rm rot}\left(-\frac{\partial \vec B_t}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow{\rm rot}(\vec B_t)\right) = -\mu_0\frac{\partial\vec i}{\partial t}-\frac1{c^2}\frac{\partial^2 \vec E_t}{\partial t^2} |
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<math>\vec E_t</math> est donné sous la forme d'une onde plane. On peut donc prendre la liberté d'exprimer le champ magnétique en utilisant la formule : |
<math>\vec E_t</math> est donné sous la forme d'une onde plane. On peut donc prendre la liberté d'exprimer le champ magnétique en utilisant la formule : |
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<math>\begin{align} |
<math>\begin{align} |
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\vec B_t &= \frac{\vec{k'}\wedge\vec E_t}\omega\\ |
\vec B_t &= \frac{\vec{k'}\wedge\vec E_t}\omega\\ |
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Ligne 137 : | Ligne 138 : | ||
De plus, l'hypothèse <math>\vec j_S\approx 0</math> implique la continuité des composantes tangentielles du champ magnétique. On peut ainsi écrire |
De plus, l'hypothèse <math>\vec j_S\approx 0</math> implique la continuité des composantes tangentielles du champ magnétique. On peut ainsi écrire |
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<math>\begin{align} |
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\vec k\wedge(\vec E_i-\vec E_r)=\vec k'\wedge \vec E_t |
\vec k\wedge(\vec E_i-\vec E_r)=\vec k'\wedge \vec E_t |
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Ligne 158 : | Ligne 160 : | ||
On va calculer les moyennes temporelles des vecteurs de Poynting des ondes incidente et transmise au niveau de la surface : |
On va calculer les moyennes temporelles des vecteurs de Poynting des ondes incidente et transmise au niveau de la surface : |
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<math>\begin{align} |
<math>\begin{align} |
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Ligne 171 : | Ligne 174 : | ||
D'où : |
D'où : |
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\langle\vec \Pi_i \rangle &= \frac{\Re(\vec E_i\wedge \vec B_i^*)}{2\mu_0}\\ |
\langle\vec \Pi_i \rangle &= \frac{\Re(\vec E_i\wedge \vec B_i^*)}{2\mu_0}\\ |
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Ligne 210 : | Ligne 214 : | ||
;Question 9 |
;Question 9 |
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La puissance surfacique moyenne perdue par effet joule est la puissance transmise dans le métal : |
La puissance surfacique moyenne perdue par effet joule est la puissance transmise dans le métal : |
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<math>\begin{align} |
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\langle\mathcal P_S\rangle &= T\,||\langle\vec\Pi_i\rangle||\\ |
\langle\mathcal P_S\rangle &= T\,||\langle\vec\Pi_i\rangle||\\ |
Version du 30 octobre 2013 à 09:20
On considère l'espace muni d'une base orthonormée directe .
Un métal homogène non magnétique de conductivité occupe le demi-espace .
Une onde plane monochromatique de fréquence , polarisée rectilignement suivant se propage dans le vide vers les z croissants. Son champ électrique vaut . Lorsque cette onde arrive sur le métal :
- une partie est transmise ; la forme de l'onde transmise dans le métal est
- une partie est réfléchie ; la forme de l'onde réfléchie est avec
- Établir la relation de dispersion dans le métal.
- Montrer que pour le domaine de fréquence , on a .
- En déduire que la relation de dispersion se réduit à . Exprimer δ en fonction de ω, ε₀, c et γ.
- Quelle est la signification physique de δ ?
- Les conditions ci-desus étant supposées remplies, calculer le rapport des vitesses de phase de l'onde dans le métal et dans le vide en fonction de ω, ε₀ et γ.
- Exprimer le champ magnétique de l'onde transmise. Déterminer en tout point de cote z du métal :
- le déphasage entre les champs et
- le rapport des amplitudes des champs et en fonction de α et c.
- Déterminer en fonction de α les coefficients complexes de transmission et de réflexion en amplitude. On pourra supposer que, γ étant fini, on aura .
- Exprimer en fonction de α les facteurs de réflexion R et de transmission T, définis respectivement comme les fractions de puissance réfléchie et transmise moyenne.
- Examiner le cas
- Calculer les valeurs numériques de λ, δ, α et T pour et
- Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans une portion de métal de section unité en fonction de ω, γ, c, E0i et ε₀.
- Question 1
Dans un métal conducteur, les équations de Maxwell deviennent :
On effectue la manipulation standard pour éliminer des expressions :
De plus, le laplacien vaut :
Enfin, on suppose pouvoir appliquer la loi d'Ohm :
Finalement, la relation de dispersion est
Si on revient à k', on aboutit à :
- La partie réelle de k' joue son rôle habituel en jouant sur la parie oscillante de l'onde
- La partie imaginaire de k', elle, quantifie l'atténuation de l'onde qui est transmise dans le métal.
- Question 2
- On calcule que
Finalement
- Question 3
On revient à k' en prenant les racines carrées :
Finalement avec
- Question 4
Si on examine le champ électrique transmis, on s'aperçoit qu'on peut l'écrire sous la forme
Cela montre bien que le champ électrique transmis est présent essentiellement pour des faibles profondeurs par rapport à δ. On appelle cela l'effet de peau.
δ s'appelle alors l'épaisseur de peau et correspond à la cote à laquelle l'amplitude de l'onde subit un amortissement de e.
- Question 5
- Dans le vide, la vitesse de phase vaut
- Pour trouver la vitesse de phase dans le métal, il faut faire le même petit raisonnement que pour montrer que, dans le cas de l'onde plane progressive monochromatique dans le vide, les plans équiphase donc orthogonaux au vecteur d'onde.
À l'instant t et à la cote z, on a la phase φ. On cherche le couple tel que φ reste constante.
La vitesse de phase est lorsque , c'est-à-dire
- Question 6
est donné sous la forme d'une onde plane. On peut donc prendre la liberté d'exprimer le champ magnétique en utilisant la formule :
- Question 6.1
est en retard de phase sur de
- Question 6.2
- Question 7
À la cote , on a la relation . On obtient ainsi les deux résultats suivants :
De plus, l'hypothèse implique la continuité des composantes tangentielles du champ magnétique. On peut ainsi écrire
- Question 8
On va calculer les moyennes temporelles des vecteurs de Poynting des ondes incidente et transmise au niveau de la surface :
D'où :
De plus, supposer revient à supposer qu'il n'y a pas de pertes joule à l'interface entre les deux milieux. On a donc la relation
- Question 8.1
- Question 8.2
- Question 9
La puissance surfacique moyenne perdue par effet joule est la puissance transmise dans le métal :