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Exercice 1

$E={\mathcal {C}}^{2}([0;1],\mathbb {R} )$

On pose $\forall (f,g)\in E^{2},~~(f|g)=\int _{0}^{1}\left[f(t)g(t)+f'(t)g'(t)\right]\,{\rm {d}}t$

1. Vérifier que $(\cdot |\cdot )$ est un produit scalaire sur E
2. On pose $V=\{f\in E~/~f(0)=f(1)=0\}$ et $W=\{f\in E~/~f=f''\}$
   1. Vérifier que V et W sont orthogonaux
   2. Exprimer la projection orthogonale de E sur V
3. On pose $F=\{f\in E~/~f(0)=\alpha ,~f(1)=\beta \}$. Calculer $\inf _{f\in F}\int _{0}^{1}f^{2}(t)+f'^{2}(t)\,{\rm {d}}t$

Solution

1. On reconnait $(\cdot |\cdot )$ comme étant le produit scalaire sur ${\mathcal {C}}^{1}([0;1],\mathbb {R} )$.
   • La bilinéarité vient de la linéarité de la dérivation et de l'intégrale.
   • La symétrie est évidente.
   • Il reste à montrer que cette forme est définie positive. Soit $f\in {\mathcal {C}}^{2}([0;1],\mathbb {R} )$.

     $(f|f)=0\Leftrightarrow \int _{0}^{1}f(t)^{2}\,{\rm {d}}t\Leftrightarrow 0$.

   $(\cdot |\cdot )$ est donc bien un produit scalaire sur E.

2. 1. Soient $v\in V,w\in W$. Une intégration par parties donne :

      $(v|w)=\int _{0}^{1}\left[v(t)w(t)+v'(t)w'(t)\right]\,{\rm {d}}t=\int _{0}^{1}v(t)w(t)\,{\rm {d}}t+\left[v(t)w'(t)\right]_{0}^{1}-\int _{0}^{1}v(t)w''(t)\,{\rm {d}}t$.

      Or, $v\in V\Rightarrow \left[v(t)w'(t)\right]_{0}^{1}=0$ et donc :$(v|w)=\int _{0}^{1}v(t)(w(t)-w''(t))\,{\rm {d}}t=0$, car $w\in W$.

   2. Soit $f\in E$. On remarque que $f-f(0)(1-x)-f(1)x\in V$.

 

Exercice 2

Soient a et b deux vecteurs non nuls de E. On pose $\varphi (x)={\frac {\langle x|a\rangle \langle x|b\rangle }{||x||^{2}}}$

Déterminer les bornes inférieure et supérieure de phi sur $E\backslash \{0\}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 3

Soit $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ continue strictement positive

Démontrer l'existence d'une famille $(P_{n})$ de polynômes telle que $\forall n\in \mathbb {N} ,~deg(P_{n})=n$ et $\forall n,m,~\int _{a}^{b}P_{n}(t)P_{m}(t)f(t)\,{\rm {d}}t=\delta _{n,m}$

Dans ce cas, démontrer que chaque polynôme $P_{n}$ admet n racines strictes dans ]a,b[

Solution

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