Topologie générale/Continuité et homéomorphismes

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Approche intuitive et historique

Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon !
La notion de continuité s'est clarifiée au XIXe siècle, grâce notamment aux travaux de Cauchy.

Définition de la continuité

continuité en un point

Soient $(E,{\mathcal {T}})$ et $(F,{\mathcal {T'}})$ deux espaces topologiques et $f$ une application continue de $E$ dans $F$. Soit $A$ une partie de $E$ et $a\in E$.
On dit que $f$ est continue au point $a$ suivant $A$ si :
$\forall V\in {\mathcal {V}}(f(a)),\exists U\in {\mathcal {V}}(a){\text{ tq }}f(U\cap A)\subset V$

Caractérisation séquentielle

Si on admet l'axiome de choix, on dispose d'une propriété équivalente à la définition de la continuité, et qui est bien plus facile à mettre en œuvre lors des exercices :

f est continue en $a$ si pour tout suite $a_{n}$ convergeant vers $a$, la suite $f(a_{n})$ converge vers $f(a)$.