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La non-dégénérescence signifie exactement que le noyau de <math>\omega</math> est nul, ou encore, que <math>\omega</math> réalise un isomorphisme linéaire <math>V\rightarrow V^*</math>.
La non-dégénérescence signifie exactement que le noyau de ω est nul, ou encore, que ω réalise un isomorphisme linéaire <math>V\rightarrow V^*</math>.


:''Remarque :'' L'existence d'une forme symplectique implique que la dimension de ''V'' soit paire. Ce fait sera établi par la classification des formes symplectiques donnée ci-dessous.
:''Remarque :'' L'existence d'une forme symplectique implique que la dimension de ''V'' soit paire. Ce fait sera établi par la classification des formes symplectiques donnée ci-dessous.
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Appliquons ce résultat d'algèbre linéaire réelle au cas d'une forme symplectique <math>\omega</math>. Comme <math>\omega</math> est non-dégénérée, le noyau est nul (donc r = 0). Le théorème précédent donne l'existence d'une base <math>\scriptstyle (X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots, Y_k)</math> avec 2k la dimension de ''V''. On en déduit que :
Appliquons ce résultat d'algèbre linéaire réelle au cas d'une forme symplectique ω. Comme ω est non-dégénérée, le noyau est nul (donc r = 0). Le théorème précédent donne l'existence d'une base <math>\scriptstyle (X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots, Y_k)</math> avec 2k la dimension de ''V''. On en déduit que :


:''La dimension d'un espace symplectique est paire.''
:''La dimension d'un espace symplectique est paire.''
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{{Théorème
{{Théorème
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Si ''v'' est muni d'une forme symplectique <math>\omega</math>, une structure complexe ''J'' est dite <math>\omega</math>-compatible lorsque :
Si ''v'' est muni d'une forme symplectique ω, une structure complexe ''J'' est dite ω-compatible lorsque :


* ''J'' est un isomorphisme symplectique, ce qui équivaut à ce que <math>g_J(v,w)=\omega(v,Jw)</math> définisse une forme bilinéaire symétrique ;
* ''J'' est un isomorphisme symplectique, ce qui équivaut à ce que <math>g_J(v,w)=\omega(v,Jw)</math> définisse une forme bilinéaire symétrique ;
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{{Théorème
{{Théorème
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Pour tout espace vectoriel symplectique <math>(V,\omega)</math> il existe une structure presque complexe <math>\omega</math>-compatible.
Pour tout espace vectoriel symplectique <math>(V,\omega)</math> il existe une structure presque complexe ω-compatible.


De plus, l'nsemble ''I''(''V'') des structures complexes <math>\omega</math>-compatibles forme une partie connexe de GL(V). Les groupes <math>GL(V)</math> et <math>Sp(V,\omega)</math> agissent transitivement sur ''I''(''V'') par conjugaison.
De plus, l'nsemble ''I''(''V'') des structures complexes ω-compatibles forme une partie connexe de GL(V). Les groupes <math>GL(V)</math> et <math>Sp(V,\omega)</math> agissent transitivement sur ''I''(''V'') par conjugaison.
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* ''Existence :''
* ''Existence :''
:Soit ''g'' un produit euclidien sur ''V''. Il existe un unique endomorphisme ''g''-antisymétrique ''A'' tel que, pour tous vecteur ''v'' et ''w'' : <math>g(v,Aw)=\omega(v,w)</math>. La décomposition polaire donne : ''A''=''O''.''J'' où ''O'' est un endomorphisme orthogonal. Alors ''J'' est une structure complexe <math>\omega</math> compatible.
:Soit ''g'' un produit euclidien sur ''V''. Il existe un unique endomorphisme ''g''-antisymétrique ''A'' tel que, pour tous vecteur ''v'' et ''w'' : <math>g(v,Aw)=\omega(v,w)</math>. La décomposition polaire donne : ''A''=''O''.''J'' où ''O'' est un endomorphisme orthogonal. Alors ''J'' est une structure complexe ω compatible.


:Par construction, les endomorphismes ''J'' ainsi obtenus sont exactement toutes les structures complexes <math>\omega</math>-compatibles, et dépendent continument du produit euclidien ''g''. De fait, l'espace ''I''(''V'') est l'image continue de l'espace des produits euclidiens sur ''V''. De fait, il est connexe.
:Par construction, les endomorphismes ''J'' ainsi obtenus sont exactement toutes les structures complexes ω-compatibles, et dépendent continument du produit euclidien ''g''. De fait, l'espace ''I''(''V'') est l'image continue de l'espace des produits euclidiens sur ''V''. De fait, il est connexe.
* ''Action par conjugaison :''
* ''Action par conjugaison :''
:A compléter ...
:A compléter ...
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=== Réduction symplectique ===
=== Réduction symplectique ===
Si ''W'' est un sous-espace coisotropique de ''V'', alors <math>\omega</math> induit une forme symplectique sur l'espace quotient <math>W/W^{o}</math>.
Si ''W'' est un sous-espace coisotropique de ''V'', alors ω induit une forme symplectique sur l'espace quotient <math>W/W^{o}</math>.





Version du 17 décembre 2012 à 20:36

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Géométrie symplectique linéaire
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Chapitre no 1
Leçon : Géométrie symplectique
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Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire
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L'étude des formes bilinéaires symétriques donne lieu à la géométrie euclidienne, la géométrie riemannienne, et la géométrie pseudo-riemannienne. Au contraire, l'étude des formes bilinéaires alternées donne lieu à la géométrie symplectique. Ce cours a pour objectif d'introduire les principales définitions et les propriétés élémentaires des formes symplectiques, en commençant par une première étude en algèbre linéaire.

Rappels d'algèbre linéaire


Espace vectoriel symplectique


La non-dégénérescence signifie exactement que le noyau de ω est nul, ou encore, que ω réalise un isomorphisme linéaire .

Remarque : L'existence d'une forme symplectique implique que la dimension de V soit paire. Ce fait sera établi par la classification des formes symplectiques donnée ci-dessous.


En particulier, les transformations canoniques d'un espace symplectique dans lui-même forment un sous-groupe du groupe des isomorphismes linéaires de V, noté . On reviendra sur l'étude de ce groupe.

L'exemple suivant est fondamental :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


C'est essentiellement le seul espace symplectique de dimension 2n, du moins à isomorphisme linéaire près. Ce point est démontré dans la section suivante. Cependant, l'isomorphisme n'est pas unique. En pratique, la manière dont se présente un espace symplectique joue un rôle important. D'autres exemples d'espaces symplectiques souvent utilisés seront donnés après la classification.

Classification

Rappelons le résultat suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Appliquons ce résultat d'algèbre linéaire réelle au cas d'une forme symplectique ω. Comme ω est non-dégénérée, le noyau est nul (donc r = 0). Le théorème précédent donne l'existence d'une base avec 2k la dimension de V. On en déduit que :

La dimension d'un espace symplectique est paire.

De plus, L'application qui à v associe ses coordonnées dans la base est visiblement symplectique pour la forme symplectique usuelle sur . D'où :

En dimension 2n, il n'existe à isomorphisme près qu'un unique espace vectoriel symplectique.

Exemples

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Structure complexe

En fait, tout espace vectoriel symplectique peut être obtenu comme dans l'exemple 4. Plus exactement, toute forme symplectique sur un espace vectoriel réel peut être vue comme la partie imaginaire d'une forme hermitienne sur V muni d'une structure complexe.


Alors :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Note : Dans le livre de Michèle Audin, il est rapporté un résultat de Sévennec établissant un difféomorphisme de I(V) sur un ouvert de l'espace des matrices symétriques.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Sous-espaces d'un espace symplectique



On a ainsi plusieurs cas particuliers :



L'orthogonal d'un hyperplan H est une droite D. L'orthogonal de D, à savoir H, doit contenir D. Autrement dit, l'orthogonal de H est contenu dans H : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Réduction symplectique

Si W est un sous-espace coisotropique de V, alors ω induit une forme symplectique sur l'espace quotient .