Considérons un nombre complexe <math>z_1</math>, alors <math>z=r(cos(\theta)+i.sin(\theta))\,</math>.
Considérons un nombre complexe <math>z_1</math>, alors <math>z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))\,</math>.
* <math>z\times 1 = z</math> donc l'effet de la multiplication par <math>z_1</math> sur le premier vecteur de base <math>\overrightarrow{u}</math> est une rotation d'angle <math>\theta\,</math>.
* <math>z\times 1 = z</math> donc l'effet de la multiplication par <math>z_1</math> sur le premier vecteur de base <math>\overrightarrow{u}</math> est une rotation d'angle <math>\theta\,</math>.
:donc l'effet de la multiplication par <math>z_1</math> sur le second vecteur de base <math>\overrightarrow{v}</math> est également une rotation d'angle <math>\theta\,</math>
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Calcul avec les nombres complexes : Module et argument Calcul avec les nombres complexes/Module et argument », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Module d'un nombre complexe
Définition
Définition
Le module d'un nombre complexe est la distance qui sépare l'origine du repère complexe au point M d'affixe z.
De plus, pour , on a :
Démonstration
Début d’un principe
Démonstration
L'égalité découle du théorème de Pythagore.
De plus : , d'où
Fin du principe
Distance entre deux points
Début d’un théorème
Théorème
La distance entre A et B, respectivement d'affixes et , est donnée par :
Fin du théorème
Démonstration
Début d’un principe
Démonstration
Soient deux points A et B respectivement d'affixe et on a :
Or D'où
Fin du principe
Début de l'exemple
Exemples d'utilisation du module : Distance de deux points
Calculer la distance où et sont les affixes des deux points.
La distance AB est donc
Une mesure en radians de l'angle est appelé argument de z.
On le note souvent .
L'argument est défini à près.
On appelle argument principal celui qui est compris dans .
Début de l'exemple
Exemple
Soit z = 32 + 12 i . Trouver 3 arguments de z, donner l'argument principal.
Fin de l'exemple
Écriture trigonométrique
Cosinus et sinus
Soit un nombre complexe non nul, son module , d'argument principal , et M le point d'affixe z.
On considère le triangle dans le plan complexe, formé par l'origine, M et son projeté orthogonal sur l'axe des réels.
Les calculs respectivement du cosinus et du sinus d'une mesure de l'angle orienté donnent les deux propriétés suivantes :
Propriétés
: le cosinus de l'angle est le quotient de la partie réelle et du module.
: le sinus de l'angle est le quotient de la partie imaginaire et du module.
Forme trigonométrique
On sait que : et .
Et on a alors : .
Définition
On appelle la forme trigonométrique d'un nombre complexe z, l'écriture :
de ce nombre pour n'importe quelle mesure de l'angle .
Dans cette écriture on retrouve directement le module et un argument (la plupart du temps l'argument principal).
Remarque importante : la forme trigonométrique d'un complexe est liée à ses coordonnées polaires , tandis que la forme algébrique est liée à ses coordonnées cartésiennes .
Remarque : on note souvent pour le module de z, la forme trigonométrique se note donc aussi .
Changer d'écriture
Soit z un nombre complexe non nul, sous la forme , de module et d'argument principal .
Les propriétés énoncées lors des calculs du cosinus et du sinus permettent de passer d'une écriture à une autre :
Passer d'une écriture trigonométrique à une écriture algébrique et vice-versa
avec .
Début de l'exemple
Exemple
La forme trigonométrique de est :
.
Il s'agit donc de trouver un facteur commun à x et y, ici , puis d'identifier un angle connu.
Fin de l'exemple
Égalité de deux nombres complexes
Égalité de deux nombres complexes
Soient z et z' deux nombres complexes non nuls.
Propriétés du module
Propriété
Les propriétés du module sont les mêmes que celles des normes vectorielles.
Opérations sur les modules :
(plus connue sous le nom d'inégalité triangulaire)
Module de l'opposé, du conjugué :
Propriétés algébriques de l'argument
Produit
Produit de deux nombres complexes
L'argument du produit de deux nombres complexes est la somme de leurs arguments :
.
Démonstrations
Début d’un principe
Une démonstration géométrique
Considérons un nombre complexe , alors .
donc l'effet de la multiplication par sur le premier vecteur de base est une rotation d'angle .
donc l'effet de la multiplication par sur le second vecteur de base est également une rotation d'angle
Soit vecteur quelconque .
La multiplication par étant distributive, son effet sur le vecteur est encore une rotation d'angle .
Soit un nombre complexe avec
alors est donc
Fin du principe
Début d’un principe
Démonstration (avec la forme trigonométrique)
Soit et avec on prend pour simplifier les calculs.
Nous passons de la deuxième à la troisième ligne en utilisant les formules de trigonométrie ce qui nous donne:
On a donc et nous pouvons faire la même remarque.
Fin du principe
Opposé d'un nombre complexe
L'argument de l'opposé d'un nombre complexe est :
.
Inverse et division
Inverse d'un nombre complexe
L'argument de l'inverse d'un nombre complexe non nul est l'opposé de son argument :
.
Division de deux nombres complexes
D'après les règles de la multiplication et de l'inverse, on a, avec deux nombres complexes z et z' :
pour .
Puissance
Puissance d'un nombre complexe
Par extension à la multiplication et à l'inverse, on a l'argument d'un nombre complexe puissance n, qui est n fois son argument :
avec .
Conjugués
Conjugué d'un nombre complexe
L'argument du conjugué d'un nombre complexe est l'opposé de son l'argument :
.
Cela s'explique par le fait que le conjugué d'un nombre complexe est le symétrique par rapport à l'axe des réels du nombre complexe en question.
Produit d'un nombre complexe et de son conjugué
L'argument du produit d'un nombre complexe et de son conjugué est :
.
C'est une explication géométrique de pourquoi le produit d'un nombre complexe et de son conjugué est un réel positif.
Calcul de l'argument
Calcul avec le cosinus et le sinus
Connaissant la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe, on peut calculer son et son .
Propriétés
Soit un nombre complexe non nul et l'argument principal que l'on cherche à connaître.
Il faut ensuite en déduire un angle en « reconnaissant » les valeurs usuelles de cosinus et sinus.
Début de l'exemple
Exemple
Si alors .
Donc : et
On reconnait alors : .
Fin de l'exemple
Propriété
Si on ne reconnaît aucun angle particulier, on peut utiliser les fonctions trigonométriques réciproques :
Calcul avec la tangente
Propriété
Soit .
On a si et seulement si z n'est pas un imaginaire pur, c'est-à-dire :
Ce qui implique que :
L'argument est alors déterminé à près, il faut décider entre et en utilisant le signe de a (généralement, on cherche la mesure principale, c'est celle qui est dans [-] ):
si alors est dans
si alors si alors et si alors
si alors est dans
Remarque : Une rapide représentation des complexes , , et sur le cercle trigonométrique permet de synthétiser les règles précédentes. Remarque : Les calculatrices renvoient généralement l'angle dans mais ce résultat doit être révisé suivant la règle ci-dessus. Notons qu'en électricité, l'argument est :
Inférieur ou égal à pour les montages du premier ordre (RC ou RL).
Inférieur ou égal à pour les montages du second ordre (RLC).
Inférieur ou égal à pour les montages du troisième ordre.
Inférieur ou égal à pour les montages du quatrième ordre.
Il faut donc impérativement tenir compte des modifications des remarques précédentes, en particulier pour l'étude de la stabilité des systèmes bouclés (se référer aux cours d'automatique).
Remarque: En électronique la phase est fonction de la fréquence du signal qui parcourt le système.
Argument d'une différence
Propriété
Si A et B sont deux points distincts d'affixes respectives a et b.
alors
Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts d'affixes respectives a, b, c et d :