« Topologie générale/Continuité et homéomorphismes » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m Robot : Remplacement de texte automatisé (-(\{\{[cC]hapitre[^\}]*)\|\s*titre\s*=[^\n]*\s* +\1) |
|||
Ligne 15 : | Ligne 15 : | ||
== Définition de la continuité == |
== Définition de la continuité == |
||
{{Définition |
|||
| titre = continuité en un point |
|||
⚫ | |||
| contenu = Soient <math>(E,\mathcal{T})</math> et <math>(F, \mathcal{T'})</math> deux espaces topologiques et <math>f</math> une application continue de <math>E</math> dans <math>F</math>. Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math> et <math>a \in E</math>.<br /> |
|||
<math> \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in \R \quad \Big[|x - a| <\eta \implies |f(x) - f(a)|<\varepsilon\Big] </math> |
|||
⚫ | |||
<math>\forall V\in \mathcal{V}(f(a)), \exists U \in \mathcal{V}(a)\text{ tq } f(U\cap A)\subset V</math> |
|||
Plus généralement, si on s'intéresse à une fonction f de E (muni de la distance d) à valeurs dans F (muni de la distance d') : <br /> |
|||
}} |
|||
<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in E \quad \Big[d(x,a)<\eta \implies d'(f(x),f(a))<\varepsilon\Big]</math> |
|||
Cela signifie , pour une fonction continue en <math> a </math>, que l'on peut s'approcher aussi près que l'on veut de <math> f(a) </math> en s'approchant suffisamment de <math> a </math>. |
|||
== Caractérisation séquentielle == |
== Caractérisation séquentielle == |
Version du 17 août 2012 à 18:48
Approche intuitive et historique
Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon !
La notion de continuité s'est clarifiée au XIXe siècle, grâce notamment aux travaux de Cauchy.
Définition de la continuité
continuité en un point
Soient et deux espaces topologiques et une application continue de dans . Soit une partie de et .
On dit que est continue au point suivant si :
Caractérisation séquentielle
Si on admet l'axiome de choix, on dispose d'une propriété équivalente à la définition de la continuité, et qui est bien plus facile à mettre en œuvre lors des exercices :
f est continue en si pour tout suite convergeant vers , la suite converge vers .