Soit le cercle C de centre A (1;-1) et de rayon <math>\sqrt{2}</math>.
Soit le cercle <math>\mathcal C</math> de centre A (1;-1) et de rayon <math>\sqrt{2}</math>.
'''1.''' Démontrer que B(2,0) appartient à C.
'''1.''' Démontrer que B(2,0) appartient à <math>\mathcal C</math>.
'''2.''' Donner une équation de la tangente à C au point B.
'''2.''' Donner une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point B.
{{Solution}}
{{Solution|contenu=
# L'équation du cercle <math>\mathcal C</math> est <math>(x-1)^2 + (y+1)^2 = 2</math>. On vérifie alors facilement que B est sur le cercle : <math>(2-1)^2 + (0+1)^2 = 2</math>.
# Un vecteur normal à cette tangente est <math>\mathcal C</math> est <math>\overrightarrow{AB} = \binom{1}{1}</math>. L'équation de la tangente est donc l'ensemble des points <math>M(x,y)</math> tels que :
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : produit scalaire Produit scalaire dans le plan/Exercices/Applications directes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Calculs avec les coordonnées
On définit trois vecteurs du plan par leurs coordonnées dans une base orthonormée.
, ,
1. Calculer ; ; .
2. Parmi ces vecteurs, y en a-t-il qui sont orthogonaux ?
Solution
1.
2.. De plus, ni ni ne sont nuls.
Donc et sont orthogonaux.
Coordonnées et angles
Dans une base orthonormée.
et
1. Calculer
2. Calculer et
3. En déduire une mesure de l'angle en radians puis en degrés.
Solution
1.
2. et
3. On déduit
Donc, , soit 135°.
Coordonnées et angles
Dans une base orthonormée.
et
Donner une mesure de l'angle en radians puis en degrés.
Solution
On procède précédemment :
et
Donc, .
Coordonnées et angles
Dans une base orthonormée.
et
Donner une mesure de l'angle en radians puis en degrés.
Solution
On reconnait les vecteurs comme les vecteurs opposés de ceux de l'exercice précédent. Grâce aux propriétés du produit scalaire, il vient que
.
Coordonnées et angles
Dans une base orthonormée.
et
Donner une mesure de l'angle en radians puis en degrés.
Solution
On procède comme précédemment :
et
Donc, .
Vecteur orthogonal
Donner un vecteur orthogonal au vecteur .
Solution
Soit un vecteur orthogonal à .
Les coordonnées de et de vérifient donc l'équation :
Ainsi, si l'on prend et , l'équation est vérifiée. En effet
Le vecteur est un vecteur orthogonal à .
Droite
Soit la droite D dont l'équation dans un repère orthonormé est :
1. Donner un vecteur directeur de la droite D.
2. Donner un vecteur orthogonal à la droite D (vecteur normal)
Solution
1. On utilise les résultats classiques :
2. D'après l'exercice précédent, est un vecteur normal.
Droite définie par un point et un vecteur normal
Soit, dans un repère orthonormé, la droite passant par et
orthogonale au vecteur .
Déterminer une équation de la droite en notant un point de
et en écrivant que :
Solution
appartient à si, et seulement si .
Or
⇔
Somme de deux vecteurs
Soit deux vecteurs et tels que :
1. Développer
2. En déduire la norme du vecteur
Solution
1.
2.
Théorème d'Al Kashi
Soit ABC un triangle.
1. Démontrer en développant
que :
2. En utilisant la formule de 1°, calculer BC avec :
; et .
3. En utilisant la formule de 1°, calculer BC avec :
; et .
Solution
1.
.
Mais en utilisant la relation de Chasles, on remarque que :
, d'où l'égalité recherchée.
2..
Soit .
3..
Soit
Tangente à un cercle
Soit le cercle de centre A (1;-1) et de rayon .
1. Démontrer que B(2,0) appartient à .
2. Donner une équation de la tangente à au point B.
Solution
L'équation du cercle est . On vérifie alors facilement que B est sur le cercle : .
Un vecteur normal à cette tangente est est . L'équation de la tangente est donc l'ensemble des points tels que :