Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices

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Définition

On notera φ l’application défini par :

${\begin{aligned}\phi :\left({\mathcal {M}}_{n,m}(\mathbb {R} )\right)^{2}&\longrightarrow \mathbb {R} \\(M,N)&\longmapsto \operatorname {Tr} (^{t}M.N)\end{aligned}}$

Propriété 10

φ est une forme bilinéaire sur M_m,n(ℝ).

Début d'une démonstration

Démonstration

En effet :

${\begin{aligned}\forall (\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}\qquad \forall (A,B,C)\in \left({\mathcal {M}}_{n,m}(\mathbb {R} )\right)^{2}\qquad \phi (\alpha A+\beta B,C)&=\operatorname {Tr} \left(^{t}(\alpha A+\beta B).C\right)\\&=\operatorname {Tr} \left((\alpha ^{t}A+\beta ^{t}B).C\right)\\&=\operatorname {Tr} \left(\alpha ^{t}A.C+\beta ^{t}B.C\right)\\&=\alpha \operatorname {Tr} (^{t}A.C)+\beta \operatorname {Tr} (^{t}B.C)\\&=\alpha \phi (A,C)+\beta \phi (B,C)\end{aligned}}$

Et on a aussi :

${\begin{aligned}\forall (\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}\qquad \forall (A,B,C)\in \left(M_{n,m}(\mathbb {R} )\right)^{2}\qquad \phi (C,\alpha A+\beta B)&=\operatorname {Tr} \left(^{t}C.(\alpha A+\beta B)\right)\\&=\operatorname {Tr} \left(\alpha ^{t}C.A+\beta ^{t}C.B\right)\\&=\alpha \operatorname {Tr} (^{t}C.A)+\beta \operatorname {Tr} (^{t}C.B)\\&=\alpha \phi (C,A)+\beta \phi (C,B)\end{aligned}}$

Fin de la démonstration

Propriété 11

φ est un produit scalaire sur M_m,n(ℝ).

On rappelle qu’un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive.

φ est une forme bilinéaire d’après la propriété 10.

φ est symétrique d’après la propriété 9.

φ est définie d’après la propriété 8.

φ est positive d’après la propriété 7.

φ est donc un produit scalaire.

Muni de ce produit scalaire M_m,n(ℝ) est un espace Euclidien.

Ce produit scalaire généralise le produit scalaire classique étudié en lycée.

En effet, si l’on considère un espace vectoriel de dimension n et que l’on assimile chaque vecteur de cet espace à la matrice colonne de ses coordonnées dans une base de cet espace, on aura :

${\begin{aligned}\forall u={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\quad \forall v={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\qquad \phi (u,v)&=\operatorname {Tr} \left(^{t}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\right)=\operatorname {Tr} \left({\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\right)\\&=\operatorname {Tr} \left((x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})\right)=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}\end{aligned}}$

Et l’on reconnaît le produit scalaire tel qu’il a été défini au lycée.

$u.v=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}$

Nous noterons par la suite pour toute matrice A,B,C,D appartenant à M_m,n(ℝ) :

$\langle A|B\rangle =\phi (A,B)$

Nous noterons aussi :

${\overrightarrow {AB}}=B-A$

${\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {CD}}=\phi (B-A,D-C)=\langle B-A|D-C\rangle =\operatorname {Tr} \left(^{t}(B-A)(D-C)\right)$

$AB={\sqrt {{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}}}={\sqrt {\phi (B-A,B-A)}}={\sqrt {\langle B-A|B-A\rangle }}={\sqrt {\operatorname {Tr} \left(^{t}(B-A)(B-A)\right)}}$

AB sera alors la distance de la matrice A à la matrice B.

Si 0 est la matrice nulle, on notera simplement le vecteur :

${\overrightarrow {A}}={\overrightarrow {0A}}$

On introduit ainsi une géométrie matricielle.

Les propriétés générales des espaces euclidiens s’appliquent ainsi à M_m,n(ℝ).

On a par exemple :

Début d’un théorème

Théorème de Pythagore

Pour toutes matrices A,B,C appartenant à M_m,n(ℝ),

${\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}}=0\Leftrightarrow BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$

Autrement dit, dans tout triangle matriciel rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés.

Fin du théorème

Propriété 12

$\forall (A,B,C)\in \left({\mathcal {M}}_{n,m}(\mathbb {R} )\right)^{3}\qquad \langle A.B|C\rangle =\langle B|^{t}A.C\rangle$

Début d'une démonstration

Démonstration

En effet :

$\langle A.B|C\rangle =\operatorname {Tr} \left(^{t}(AB)C\right)=\operatorname {Tr} \left(^{t}B^{t}AC\right)=\langle B|^{t}A.C\rangle$

Fin de la démonstration