Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie comme solution d'une équation paramétrée

Exercice 5-1

On considère la fonction φ_n définie par :

$\forall k\geqslant 2,\ \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\qquad \phi _{k}(x)=k(x-1)-x\ln(x)$

1. Montrer que l'équation φ_k(x) = 0 admet une racine a_k et une seule dans ]e^k-1 ; e^k[.
2. Montrer qu'un développement asymptotique de la suite (a_n)_n∈ℕ est donné par a_k = e^k - k + o(k).

Solution

1 - Étudions cette fonction sur ]0 ; +∞[.

On a :

$\phi _{k}'(x)=k-\ln(x)-1$

On obtient donc le tableau de variation :

${\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline x&0&&1&&e^{k-1}&&&&+\infty \\\hline \phi _{k}'(x)&&&+&&0&&-&&\\\hline &&&&&e^{k-1}-k&&&&\\&&&&\nearrow &&\searrow &&&\\\phi _{k}&&&0&&&&\searrow &&\\&&\nearrow &&&&&&\searrow &\\&-k&&&&&&&&-\infty \\\hline \end{array}}$

Comme φ_k(1) = 0, nous voyons clairement que l’équation φ_k(x) = 0 a une solution que l’on notera a_k vérifiant e^k-1 < a_k. De plus, on a :

$\phi _{k}(e^{k})=k(e^{k}-1)-e^{k}\ln(e^{k})=ke^{k}-k-ke^{k}=-k<0$

Par conséquent, on a aussi a_k < e^k

L’équation φ_k(x) = 0 admet donc une solution notée a_k vérifiant e^k-1 < a_k < e^k.

2 - Nous allons essayer de trouver un développement asymptotique de la suite (a_n)_n∈ℕ

Nous savons que nous avons besoin d’une fonction h_k vérifiant h_k(a_k) = a_k et dont la dérivée dans l’intervalle ]e^k-1;e^k[ soit inférieure à 1.

Considérons l’équation :

$k(x-1)-x\ln(x)=0\Leftrightarrow k(x-1)=x\ln(x)$

La variable x figure trois fois dans l’équation. On peut donc exprimer x comme fonction de x de trois manières différentes.

Soit :

$x={\frac {x\ln(x)}{k}}+1$

Soit :

$x={\frac {k(x-1)}{\ln(x)}}$

Soit :

$x=e^{k{\frac {x-1}{x}}}$

Posons :

$f_{k}(x)={\frac {x\ln(x)}{k}}+1\qquad \qquad g_{k}(x)={\frac {k(x-1)}{\ln(x)}}\qquad \qquad h_{k}(x)=e^{k{\frac {x-1}{x}}}$

Le lecteur peut vérifier aisément que dans l’intervalle ]e^k-1;e^k[, seule la fonction h_k à une dérivée inférieure à 1. c’est donc elle que nous adopterons.

Nous avons :

$e^{k-1}<a_{k}<e^{k}$

En prenant l’image par h_n des trois membres nous obtenons :

$h_{k}\left(e^{k-1}\right)<h_{k}(a_{k})<h_{k}\left(e^{k}\right)$

C’est-à-dire :

$e^{k}e^{\frac {-k}{e^{k-1}}}<a_{k}<e^{k}e^{\frac {-k}{e^{k}}}$

En considérant un développement limité en 0 de x ↦ e^x, on obtient :

$e^{k}\left(1-{\frac {k}{e^{k-1}}}+o\left({\frac {k}{e^{k}}}\right)\right)<a_{k}<e^{k}\left(1-{\frac {k}{e^{k}}}+o\left({\frac {k}{e^{k}}}\right)\right)$

$e^{k}-{\frac {ke^{k}}{e^{k-1}}}+o(k)<a_{k}<e^{k}-{\frac {ke^{k}}{e^{k}}}+o(k)$

$e^{k}-ke+o(k)<a_{k}<e^{k}-k+o(k)$

Et nous voyons déjà que :

$a_{k}\sim e^{k}$

Prenons à nouveau l’image par h_k des trois membres de la dernière inégalité. nous obtenons :

$h_{k}\left(e^{k}-ke+o(k)\right)<h_{k}(a_{k})<h_{k}\left(e^{k}-k+o(k)\right)$

C’est à dire :

$e^{k}e^{-{\frac {k}{e^{k}-ke+o(k)}}}<a_{k}<e^{k}e^{-{\frac {k}{e^{k}-k+o(k)}}}$

Et en prenant à nouveau un développement limité, on obtient :

$e^{k}\left(1-{\frac {k}{e^{k}-ke+o(k)}}+o\left({\frac {k}{e^{k}-ke+o(k)}}\right)\right)<a_{k}<e^{k}\left(1-{\frac {k}{e^{k}-k+o(k)}}+o\left({\frac {k}{e^{k}-k+o(k)}}\right)\right)$

Simplifions :

$e^{k}-{\frac {ke^{k}}{e^{k}-k.e+o(k)}}+o\left({\frac {ke^{k}}{e^{k}-ke+o(k)}}\right)<a_{k}<e^{k}-{\frac {ke^{k}}{e^{k}-k+o(k)}}+o\left({\frac {ke^{k}}{e^{k}-k+o(k)}}\right)$

Soit :

$e^{k}-k{\frac {1}{1-k.e^{1-k}+o\left({\frac {k}{e^{k}}}\right)}}+o\left({\frac {k}{1-k.e^{1-k}+o\left({\frac {k}{e^{k}}}\right)}}\right)<a_{k}<e^{k}-k{\frac {1}{1-k.e^{-k}+o\left({\frac {k}{e^{k}}}\right)}}+o\left({\frac {k}{1-k.e^{-k}+o\left({\frac {k}{e^{k}}}\right)}}\right)$

Que nous pouvons écrire sous la forme :

$e^{k}-k+o_{1}(k)<a_{k}<e^{k}-k+o_{2}(k)$

Nous pouvons en conclure :

$a_{k}=e^{k}-k+o(k)$

 

Exercice 5-2

On considère l’équation :

$x^{n}e^{x}=1$

1. Montrer que pour tout n, cette équation admet une solution dans l’intervalle ]0;1[ que l’on notera x_n.
2. Trouver un développement asymptotique à l'ordre 3 de (x_n)_n∈ℕ.

Solution

1 - Montrons que pour tout n, cette équation admet une solution dans l’intervalle ]0;1[ que l’on notera x_n. Pour cela , on étudie la fonction f_n défini par f_n(x) = xⁿe^x - 1.

On a :

$f_{n}'(x)=(n+x)x^{n-1}e^{x}$

Cette dérivée est positive sur ]0 ;1[ et par conséquent f_n est croissante sur ]0 ;1[. Comme f_n(0) = -1 et f_n(1) = e – 1, nous en déduisons d’après le théorème de la bijection que l’équation f_n(x) = 0 admet une solution sur ]0 ;1[ que l’on notera x_n.

2 - Cherchons un développement de x_n. Nous avons besoin pour cela d’une fonction h_n vérifiant les deux conditions :

${\begin{cases}h_{n}(x_{n})=x_{n}\\\forall n,\forall x\in ]0;1[\quad |h_{n}'(x)|<1\end{cases}}$

Pour cela, nous remarquons que :

$x^{n}e^{x}=1\Leftrightarrow x=e^{-{\frac {x}{n}}}\Leftrightarrow x=-n\ln x$

$\scriptstyle {x\mapsto -n\ln x}$ a pour dérivée $\scriptstyle {x\mapsto -{\frac {n}{x}}}$ qui, visiblement, ne convient pas.

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/ » :): {\displaystyle \scriptstyle{x\mapsto e^{-\frac xn} } a pour dérivée $\scriptstyle {x\mapsto -{\frac {e^{-{\frac {x}{n}}}}{n}}}$ qui, comme on peut le vérifier, remplit bien les deux conditions précédentes.

Nous poserons donc :

$h_{n}=e^{-{\frac {x}{n}}}$

Comme h_n est décroissante, on a :

$0<x_{n}<1\Rightarrow h_{n}(1)<h_{n}(x_{n})<h_{n}(0)$

Et par conséquent, on a :

$e^{-{\frac {1}{n}}}<x_{n}<1$

En considérant le développement limité de la fonction $x\mapsto e^{x}$, on peut écrire :

$1-{\frac {1}{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)<x_{n}<1$

On en déduit :

$x_{n}=1+o(1)$

On peut prendre à nouveau l’image par h_n des trois membres de l’inégalité précédente.

Comme h_n est décroissante, on a :

$1-{\frac {1}{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)<x_{n}<1\Rightarrow h_{n}(1]<h_{n}(x_{n})<h_{n}\left(1-{\frac {1}{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)\right)$

Et par conséquent, on a :

$e^{-{\frac {1}{n}}}<x_{n}<e^{-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

En considérant le développement limité de la fonction x ↦ e^x, on peut écrire :

$1-{\frac {1}{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)<x_{n}<1-{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$

On en déduit :

$x_{n}=1-{\frac {1}{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)$

On peut prendre à nouveau l’image par h_n des trois membres de l’inégalité précédente.

Comme h_n est décroissante, on a :

$1-{\frac {1}{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)<x_{n}<1-{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\Rightarrow h_{n}\left(1-{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\right)<h_{n}(x_{n})<h_{n}\left(1-{\frac {1}{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)\right)$

Et par conséquent, on a :

$e^{-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {3}{2n^{3}}}+o\left({\frac {1}{n^{3}}}\right)}<x_{n}<e^{-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

En considérant le développement limité de la fonction x ↦ e^x, on peut écrire :

$1-{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}-{\frac {8}{3n^{3}}}+o\left({\frac {1}{n^{3}}}\right)<x_{n}<1-{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$

On en déduit :

$x_{n}=1-{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$

On peut prendre à nouveau l’image par h_n des trois membres de l’inégalité précédente.

Comme h_n est décroissante, on a :

${\begin{aligned}1-{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}-{\frac {8}{3n^{3}}}+o&\left({\frac {1}{n^{3}}}\right)<x_{n}<1-{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\\&\Rightarrow h_{n}\left(1-{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\right)<h_{n}(x_{n})<h_{n}\left(1-{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}-{\frac {8}{3n^{3}}}+o\left({\frac {1}{n^{3}}}\right)\right)\end{aligned}}$

Et par conséquent, on a :

$e^{-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {3}{2n^{3}}}+o\left({\frac {1}{n^{3}}}\right)}<x_{n}<e^{-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {3}{2n^{3}}}+{\frac {8}{3n^{4}}}+o\left({\frac {1}{n^{4}}}\right)}$

En considérant le développement limité de la fonction x ↦ e^x, on peut écrire :

$1-{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}-{\frac {8}{3n^{3}}}+o\left({\frac {1}{n^{3}}}\right)<x_{n}<1-{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}-{\frac {8}{3n^{3}}}+{\frac {125}{24n^{4}}}+o\left({\frac {1}{n^{4}}}\right)$

On en déduit :

$x_{n}=1-{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}-{\frac {8}{3n^{3}}}+o\left({\frac {1}{n^{3}}}\right)$