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Ce n'est plus une ébauche |
→Exercice 1 : +++ |
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# On pose <math>F=\{f\in E~/~f(0)=\alpha,~f(1)=\beta\}</math>. Calculer <math>\inf_{f\in F} \int_0^1 f^2(t)+f'^2(t)\,{\rm d}t</math> |
# On pose <math>F=\{f\in E~/~f(0)=\alpha,~f(1)=\beta\}</math>. Calculer <math>\inf_{f\in F} \int_0^1 f^2(t)+f'^2(t)\,{\rm d}t</math> |
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{{Solution |
{{Solution|contenu= |
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# On reconnait <math>(\cdot|\cdot)</math> comme étant le produit scalaire sur <math>\mathcal C^1([0;1],\R)</math>. |
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#* La bilinéarité vient de la linéarité de la dérivation et de l'intégrale. |
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#* La symétrie est évidente. |
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#* Il reste à montrer que cette forme est définie positive. Soit <math>f \in \mathcal C^2([0;1],\R)</math>. |
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#*:<math>(f|f)=0 \Leftrightarrow \int_0^1 f(t)^2\,{\rm d}t \Leftrightarrow 0</math>. |
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#:<math>(\cdot|\cdot)</math> est donc bien un produit scalaire sur ''E''. |
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## Soient <math>v \in V, w \in W</math>. Une intégration par parties donne : |
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##:<math>(v|w) = \int_0^1\left[v(t)w(t)+v'(t)w'(t)\right]\,{\rm d}t = \int_0^1 v(t)w(t) \,{\rm d}t + \left[v(t) w'(t) \right]_0^1- \int_0^1 v(t)w''(t)\,{\rm d}t</math>. |
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##:Or, <math>v \in V \Rightarrow \left[v(t) w'(t) \right]_0^1 = 0</math> et donc :<math>(v|w) = \int_0^1 v(t) (w(t) - w''(t)) \,{\rm d}t=0</math>, car <math>w \in W</math>. |
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## Soit <math>f \in E</math>. On remarque que <math>f - f(0) (1-x) - f(1) x \in V</math>. |
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== Exercice 2 == |
== Exercice 2 == |
Version du 3 juin 2012 à 01:08
Exercice 1
On pose
- Vérifier que est un produit scalaire sur E
- On pose et
- Vérifier que V et W sont orthogonaux
- Exprimer la projection orthogonale de E sur V
- On pose . Calculer
Solution
- On reconnait comme étant le produit scalaire sur .
- La bilinéarité vient de la linéarité de la dérivation et de l'intégrale.
- La symétrie est évidente.
- Il reste à montrer que cette forme est définie positive. Soit .
- .
- est donc bien un produit scalaire sur E.
-
- Soient . Une intégration par parties donne :
- .
- Or, et donc :, car .
- Soit . On remarque que .
- Soient . Une intégration par parties donne :
Exercice 2
Soient a et b deux vecteurs non nuls de E. On pose
Déterminer les bornes inférieure et supérieure de phi sur
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Exercice 3
Soit continue strictement positive
Démontrer l'existence d'une famille de polynômes telle que et
Dans ce cas, démontrer que chaque polynôme admet n racines strictes dans ]a,b[
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?