Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels

• $\mathbb {K}$ désigne $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$
• E est un $\mathbb {K}$-espace vectoriel.

Être ou ne pas être un espace vectoriel ?

1. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathbb {R} ^{2}$ ?

a. $E_{1a}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},x\leq y\}$

b. $E_{1b}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},xy=0\}$

c. $E_{1c}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},x=y\}$

d. $E_{1d}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},x+y=1\}$

2. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ ?

a. E_2a = Ensemble des suites bornées

b. E_2b = Ensemble des suites monotones

c. E_2c = Ensemble des suites convergentes

d. E_2d = Ensemble des suites arithmétiques

3. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de ${\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ ?

a. $E_{3a}=\{f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),f{\textrm {~monotone}}\}$

b. $E_{3b}=\{f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),f{\textrm {~s'annule~en~}}0\}$

c. $E_{3c}=\{f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),f{\textrm {~s'annule}}\}$

d. $E_{3d}=\{f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),f{\textrm {~est~impaire}}\}$

Solution

Série 1

a. $v_{1}{\begin{array}{|l}1\\2\end{array}}\in E_{1a}$ et $-v_{1}{\begin{array}{|l}-1\\-2\end{array}}\not \in E_{1a}$

Donc E_1a n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{2}$.

b. $v_{1}{\begin{array}{|l}1\\0\end{array}}\in E_{1b}$ et $v_{2}{\begin{array}{|l}0\\1\end{array}}\in E_{1b}$ $(v_{1}+v_{2}){\begin{array}{|l}1\\1\end{array}}\not \in E_{1b}$

Donc E_1b n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{2}$.

c. Soit $(\lambda ,v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} \times E_{1c}^{2}$ $\exists x_{1}\in \mathbb {R} ^{2},~v_{1}{\begin{array}{|l}x_{1}\\x_{1}\end{array}}$ $\exists x_{2}\in \mathbb {R} ^{2},~v_{2}{\begin{array}{|l}x_{2}\\x_{2}\end{array}}$ $(\lambda v_{1}+v_{2}){\begin{array}{|l}\lambda x_{1}+x_{2}\\\lambda x_{1}+x_{2}\end{array}}$

Donc $\forall (\lambda ,v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} \times E_{1c}^{2},~\lambda v_{1}+v_{2}\in E_{1c}$

Donc E_1c est un sous-espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{2}$.

d. $v_{1}{\begin{array}{|l}1\\0\end{array}}\in E_{1d}$ et $v_{2}{\begin{array}{|l}0\\1\end{array}}\in E_{1d}$ $(v_{1}+v_{2}){\begin{array}{|l}1\\1\end{array}}\not \in E_{1d}$

Donc E_1d n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{2}$.

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Série 2

a. Oui b. Non c. Oui d. Oui

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Série 3

a. Non b. Oui c. Non d. Oui

 

Exercice 1

Soient les sous-ensembles de $\mathbb {R} ^{3}$ suivants :

• $F=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},x+y-z=0\}$
• $G=\{(a-b,a+b,a-3b),(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\}$

1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb {R} ^{3}$.

2. Déterminer $F\cap G$.

Solution

Question 1

• Soient $\lambda \in \mathbb {R} ,u_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})\in F,u_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})\in F$. Alors $\lambda u_{1}+u_{2}=(\lambda x_{1}+x_{2},\lambda y_{1}+y_{2},\lambda z_{1}+z_{2})$ et $(\lambda x_{1}+x_{2})+(\lambda y_{1}+y_{2})-(\lambda z_{1}+z_{2})=\lambda (x_{1}+y_{1}+z_{1})-(x_{2}+y_{2}+z_{2})=0$

F est bien un sous espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{3}$.

• Soient $\lambda \in \mathbb {R} ,(x_{1},x_{2})\in G^{2}$. Il existe alors $(a_{1},b_{1},a_{2},b_{2})\in \mathbb {R} ^{4}$ tels que

$x_{1}={\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\a_{1}+b_{1}\\a_{1}-3b_{1}\end{pmatrix}}$ et $x_{2}={\begin{pmatrix}a_{2}-b_{2}\\a_{2}+b_{2}\\a_{2}-3b_{2}\end{pmatrix}}$

Alors $\lambda x_{1}+x_{2}={\begin{pmatrix}\lambda (a_{1}-b_{1})+a_{2}-b_{2}\\\lambda (a_{1}+b_{1})+a_{2}+b_{2}\\\lambda (a_{1}-3b_{1})+a_{2}-3b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(\lambda a_{1}+a_{2})-(\lambda b_{1}+b_{2})\\(\lambda a_{1}+a_{2})+(\lambda b_{1}+b_{2})\\(\lambda a_{1}+a_{2})-3(\lambda b_{1}+b_{2})\end{pmatrix}}$

G est bien un sous espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{3}$.

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Question 2

Si $x\in F\cap G$, alors il existe $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ tel que : ${\begin{cases}x=(a-b,a+b,a-3b)\\(a-b)+(a+b)-(a-3b)=0\end{cases}}$

Le couple (a,b) vérifie alors $a+3b=0$.

Ainsi, $F\cap G\subseteq \{(-4b,-2b,-6b),b\in \mathbb {R} \}={\rm {{Vect}\{(2,1,3)\}}}$

Réciproquement, on vérifie que le vecteur (2,1,3) est bien dans F et dans G, ce qui permet de conclure :

$F\cap G={\rm {{Vect}\{(2,1,3)\}}}$

 

Exercice 2

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que $F\cap G=F+G\Leftrightarrow F=G$

Solution

$F+G=F\cup G$ de façon évidente (définition de la réunion de deux ensembles). Or $F\cap G=F+G=F\cup G$. On a donc $F\cap G=F\cup G$ et donc $F=G$.

 

Exercice 3

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel de E $\Leftrightarrow$ $F\subset G$ ou $G\subset F$.

Solution

$\Rightarrow$ :

On suppose que $F\cup G$ est un espace vectoriel et on montre que soit $F\subset G$ soit $G\subset F$.

Supposons que $F\not \subset G$ (on raisonnerai de même en supposant que $G\not \subset F$) et on va montrer que $G\subset F$.

Dire que $F\not \subset G$ signifie qu'il existe $x_{0}\in F$ tel que $x_{0}\not \in G$.

Soit à présent $x\in G$, alors $x\in F\cup G$ et puisque $x_{0}\in F$ alors $x_{0}\in F\cup G$ et comme $F\cup G$ est, par hypothèse, un espace vectoriel $z=x+x_{0}\in F\cup G$.

Par définition de l'union cela signifie que soit $z\in F$ soit $z\in G$. Mais si $z\in G$ alors puisque $x$ est aussi dans $G$ (et que ce dernier est un espace vectoriel) $x_{0}=z-x\in G$ ce qui est absurde par construction de $x_{0}$. Donc nécéssairement $z\in F$ et alors $x=z-x_{0}$ est aussi dans $F$.

Nous avons pris un $x\in G$ arbitraire et prouvé que $x\in F$. Ceci prouve donc que $G\subset F$.

$\Leftarrow$ :

Si $F\subset G$ alors $F\cup G=G$ qui est donc un espace vectoriel.

Si $G\subset F$ alors $F\cup G=F$ qui est donc un espace vectoriel.

 

Exercice 4

Soient les espaces :

• $F=\left\{f\in {\mathcal {C}}([-1;1],\mathbb {C} ),~\int _{-1}^{1}f(t)~\mathrm {d} t=0\right\}$
• $G=\left\{f\in {\mathcal {C}}([-1;1],\mathbb {C} ),~f{\textrm {~constante}}\right\}$

Montrer que F et G sont deux sous-espaces supplémentaires de ${\mathcal {C}}([-1;1],\mathbb {C} )$.

Solution

Pour montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires de ${\mathcal {C}}([-1;1],\mathbb {C} )$, ce que l'on écrit ${\mathcal {C}}([-1;1],\mathbb {C} )=F\oplus G$, il faut voir que

(i) $F\cap G=\{0\}$,

(ii) Toute fonction $f\in {\mathcal {C}}([-1;1],\mathbb {C} )$ s'ecrit $f=\alpha +\beta$ avec $\alpha \in F$ et $\beta \in G$.

(i) : Soit $f\in F\cap G$ ; puisque $f\in G$ alors $f$ est constante : $f(t)=c$ pour tout $t\in [-1;1]$. De plus, puisque $f$ est également dans $F$ alors $0=\int _{-1}^{1}f(t)~\mathrm {d} t=\int _{-1}^{1}c~\mathrm {d} t=c\int _{-1}^{1}1~\mathrm {d} t=2c$ et donc $f(t)=c=0$.
(ii) : On pose $\alpha =f-{\frac {1}{2}}~\int _{-1}^{1}f(t)~\mathrm {d} t$ et $\beta ={\frac {1}{2}}~\int _{-1}^{1}f(t)~\mathrm {d} t$. Alors naturelement $\beta$ est une constante, donc $\beta \in G$ ; utilisant la linéarité de l'intégrale, on observe que $\alpha \in F$. Finalement on a trivialement $f=\alpha +\beta$