Applications techniques des nombres complexes/Annexe/Vecteur de Fresnel

En électricité, on utilise des fonctions sinusoïdales du temps t telles que :

$i(t)=I{\sqrt {2}}\cos(\omega t)\,$ pour l'intensité $u(t)=U{\sqrt {2}}\cos(\omega t+\varphi )\,$ pour la tension

Les tensions électriques sinusoïdales habituelles sont de fréquences constant ƒ = 50 Hz.

La pulsation est :

$\omega =2\pi f\approx 314\;\mathrm {rad} \cdot \mathrm {s^{-1}} \,$

C'est la même constante pour toutes les fonctions $i\,$ et $u\,$ ainsi définies.

Il en résulte que chaque fonction $u(t)\,$ est caractérisée par la donnée du réel positif $U\,$ et de la mesure en radians d'un angle $\varphi \,$.

Ainsi, on peut associer à chaque fonction $u\,$ le nombre complexe $[U,\varphi ]\,$

Définition

À toute tension sinusoïdale $u\,$ on associe le nombre complexe noté ${\underline {U}}\,$

• de module $U\,$, la valeur efficace de $u\,$,
• d'argument $\varphi \,$, la phase initiale de $u\,$.

À $u(t)=U{\sqrt {2}}\cos(\omega t+\varphi )\,$ on associe :

${\underline {U}}=U(\cos(\varphi )+j\sin(\varphi ))\,$

Remarque

En électricité, pour éviter les confusions avec l'intensité $i\,$, on note $j\,$ le nombre complexe habituellement noté $i\,$ en mathématiques.

Définition

Dans le plan complexe, si M est l'image de ${\underline {U}}=[U,\varphi ]\,$

le vecteur de Fresnel de la fonction sinusoïdale u est le vecteur ${\vec {OM}}\,$.

Exemple

Soit un dipôle soumis à la tension sinusoïdale $u(t)=220{\sqrt {2}}\cos \left(\omega t+{\frac {\pi }{4}}\right)\,$.

On peut associer à u le nombre complexe ${\underline {U}}=\left[220,{\frac {\pi }{4}}\right]\,$